精品解析：江苏南京市第二十九中学2027届高三上学期综合测试1数学试卷

2027届高三综合测试1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列样本数据散点图中，变量和变量的样本相关系数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（ ） A. 96 B. 84 C. 72 D. 48 5. 已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知二面角的大小为，点在半平面内，且．现将射线在平面内绕点逆时针旋转形成射线，直至时停止旋转．记，，则在旋转过程中，随着的增大，（ ） A. ，也随之增大 B. 当为锐角时，先减小再增大 C. 当为直角时，先减小再增大 D. 当为钝角时，先减小再增大 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某生物公司研发的抗体的半衰期（单位：天）服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：若，则，） A. 的均值为45天 B. 的方差为5 C. D. 10. 设函数，(且)，则（ ） A. B. ， C. 的值域为 D. 若方程至少有一个实数解，则 11. 已知实数满足，则下列命题正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若，，则是的减函数 C. 若，，则是的周期函数 D. 若，，则是的偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线的斜率为____________． 13. 已知，，且，则的最小值为______. 14. 如图，在中，，，，分别交，于，两点，交于点，记的面积为，的面积为，则__________． 四、解答题：本大题共4小题.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，，求的值. 16. 某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 a 20 100 女业主 c d 100 合计 m 60 200 （1）求a，c，d，m，并判断是否有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关？ （2）从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附： α 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 17. 如图所示，在三棱台中，，其中，分别为棱与的中点，且平面． （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面的夹角的正弦值． 18. 口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只．现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分． （1）在取球过程中，记事件“恰好得分”的概率为， （i）求； （ii）求； （2）若共取球次，表示次取球中取到红球的次数，记．求证：． 19. 若函数满足：对任意的，，，都有，则称函数在区间上具有性质． （1）设函数，，分别判断，是否在上具有性质； （2）设函数，若在其定义域上具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图象是一条连续曲线，若在上单调递增，求证：是奇函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三综合测试1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列样本数据散点图中，变量和变量的样本相关系数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图，结合变量间的相关关系和相关系数的定义，即可求解. 【详解】由散点图（1）可得，变量与变量之间呈现正相关，所以； 由散点图（2）可得，变量与变量之间呈现不相关，所以； 由散点图（3）可得，变量与变量之间负相关，所以，所以. 2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由对数型复合函数的定义域确定集合，再结合交集运算即可求解. 【详解】由对数型复合函数的定义域可得：，即， 所以， 所以，有两个元素， 故选：C 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律和数量积坐标公式计算即可. 【详解】因，，则，， 由可得，解得. 故选：D. 4. 毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（ ） A. 96 B. 84 C. 72 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用间接法，先直接排序，再分正前后相邻或左右相邻两种情况，结合排列和计数原理知识解决. 【详解】先直接排序，站法种数为； 当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧， 另1人站在正后面，站法种数为； 当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素， 从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列， 所以站法种数为； 所以不同站法种数为. 故选：C. 5. 已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用底面直角三角形的性质求出底面外接圆半径，结合直棱柱高度确定球心位置及球心到底面的距离，根据求出球半径，进而计算表面积。 【详解】由，知为直角三角形，斜边为其外接圆直径. 计算， 故底面外接圆半径. 直三棱柱的高，球心位于上下底面外心连线的中点， 故球心到底面的距离. 设球半径为，则. 球的表面积. 6. 在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】二项式定理结合组合数的性质进行求解. 【详解】因为二项式的展开式中项的系数为，所以的展开式中含项的系数为 . 所以, 展开式中前2025项均含56因子能被8整除，余7，所以除以8余数是7. 7. 已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，根据两角差正切公式可得，结合根据在上单调递增即可求解. 【详解】由题意得，， 化简得，， 所以，可得， 根据在上单调递增，故，解得，所以. 故选：B 8. 如图，已知二面角的大小为，点在半平面内，且．现将射线在平面内绕点逆时针旋转形成射线，直至时停止旋转．记，，则在旋转过程中，随着的增大，（ ） A. ，也随之增大 B. 当为锐角时，先减小再增大 C. 当为直角时，先减小再增大 D. 当为钝角时，先减小再增大 【答案】B 【解析】 【分析】作出二面角的平面角，利用余弦定理用表示出，通过分析的变化情况，分析随的变化情况. 【详解】过作，垂足为， 在平面内过作的垂线，交于点. 设，因为，所以. 中，. 中，. 中， ， 当为直角时，，随的增大而增大；所以C错误； 当为锐角或钝角时，. 当为锐角时，， 所以为锐角，先从锐角增大到直角，再增大到钝角，所以先增大，后减小， 即的值先增大后减小，所以先减小再增大；所以B正确； 当为钝角时，， 所以为钝角，，所以随的增大而减小，且， 即的值随的增大而减小. 所以D错误. 综上所述，A错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某生物公司研发的抗体的半衰期（单位：天）服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：若，则，） A. 的均值为45天 B. 的方差为5 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，根据正态分布，可知均值为天，正确. 选项B，根据正态分布，可知方差为，错误. 选项C，,正确. 选项D，因为，所以. 又因为，所以，正确. 10. 设函数，(且)，则（ ） A. B. ， C. 的值域为 D. 若方程至少有一个实数解，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A.利用函数的周期性求解；B利用函数的周期性求解；.C.利用函数的单调性求值域；D. 方程 有解，分 和进行讨论. 【详解】由 时 ，， 所以，即 ，故 A错误； B.，， 时 ， 可知 是周期为 1的周期函数，，故 B正确。 C.分两种情况讨论底数 ： 若 , 在 单调递增，所以的值域为； 若 , 在 单调递减， 所以的值域为， 值域随 范围变化，不恒为 ，C错误。 D.方程 有解 存在 ，使得 ，即 , ，分情况： 若 ：，无解； 若 ： 在 值域 ，要存在 使 ，需 ，即 , 因此 D正确. 11. 已知实数满足，则下列命题正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若，，则是的减函数 C. 若，，则是的周期函数 D. 若，，则是的偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据的大小得到，即可得到的大小；对于B，利用已知条件得到关于的函数解析式，结合复合函数同增异减的原则判断即可；对于C，根据得到关于的函数解析式，结合余弦函数的周期判断即可；对于D，利用这一特例说明一个对应两个的值，即可判断. 【详解】对于A，当时，， 可得或，故A错误； 对于B，若，，则由可得， 根据在上为减函数，在上是增函数， 可知在上为减函数，故B正确； 对于C，因为，，， 所以，其中， 所以，即， 结合余弦函数的周期为，可知是的周期函数，故C正确； 对于D，若，，， 则当时，，可得或，一个对应两个的值， 所以不是关于的函数，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线的斜率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义进行求解. 【详解】因为曲线，所以， 将切点横坐标代入，则导数值： . 所以曲线在点处的切线的斜率为. 13. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以，即的最小值为11. 14. 如图，在中，，，，分别交，于，两点，交于点，记的面积为，的面积为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，通过已知向量写出D，E，F为所在直线的等分点位置，从而确定，，占的面积比，即可得到与的面积比． 【详解】由，，可得， ，，； 由，可得； 由，可得； 由，可得； 因为三点共线，故 ； 因为三点共线，故，解得； 故； 同理可得； ； 则， 故 四、解答题：本大题共4小题.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，，求的值. 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题可知， 由（）可得（）， 所以的递增区间为（）． 【小问2详解】 由，得，因为，所以， 若，则，不合题意 若，则，不合题意 所以，所以， 所以． 16. 某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 a 20 100 女业主 c d 100 合计 m 60 200 （1）求a，c，d，m，并判断是否有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关？ （2）从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附： α 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1），有关； （2），. 【解析】 【分析】（1）由数表信息列式计算，再求出观测值并与临界值比对即可得解. （2）由数表，利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 由数表得，解得， 零假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异， 根据数表经计算得， 依据的独立性检验，推断假设不成立，即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异， 所以有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关. 【小问2详解】 依题意，，，， ，， 所以，. 17. 如图所示，在三棱台中，，其中，分别为棱与的中点，且平面． （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为，且，分别为棱与的中点，则， 又因为，且平面，故平面， 因为平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）由平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）作于点，证得平面，得到为直线与平面所成角，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点， 由平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在等腰梯形中，由， 可得，则， 又由，可知，则，， 以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 18. 口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只．现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分． （1）在取球过程中，记事件“恰好得分”的概率为， （i）求； （ii）求； （2）若共取球次，表示次取球中取到红球的次数，记．求证：． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）由题知，因为，所以， 由，，，，，，． 得 ． 因为，所以， 又， ， 所以， 故． 所以． 【解析】 【分析】（1）（i）分两种情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；（ii）根据条件转化为关于数列的递推关系式，再求通项公式； （2）由条件可知，再写出随机变量的取值和期望公式，根据组合数公式和二项式定理化简. 【小问1详解】 （i）恰好得2分为第一次取到黄球，或者第一次与第二次均取到红球， 故恰好得2分的概率为． （ii）在取球过程中不得到分只有一种可能：得分后取到黄球得2分， 因此，，而，且，， 故． 【小问2详解】 略 19. 若函数满足：对任意的，，，都有，则称函数在区间上具有性质． （1）设函数，，分别判断，是否在上具有性质； （2）设函数，若在其定义域上具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图象是一条连续曲线，若在上单调递增，求证：是奇函数． 【答案】（1）函数在上不具有性质．在上具有性质． （2） （3）证明： 函数的定义域为， 要证是奇函数，只要证：对任意的实数，即可． 对任意实数，由函数具有性质，可知： 当时，．① 设， 当，即时，由①得， 即当时，；② 当，即时，由①得， 即当时，；③ 由曲线的连续性，可知在上存在零点，即．④ 由于函数在上单调递增，故在上也单调递增， 由②得，由③得，故有． 代入④得，． 故为奇函数． 【解析】 【分析】（1）证明函数不具有性质P时，可通过举反例的方式快速验证；证明函数具有性质P时，需对目标表达式进行代数变形，通过配方等方式证明其恒正. （2）首先根据性质P的定义转化出对应不等式，再结合函数的奇偶性，将不等式转化为函数单调递增的判定条件，最后通过导数恒非负求解参数的取值范围. （3）围绕奇函数定义，构造辅助函数，结合性质判断在不同区间的符号，再利用的单调性与零点存在性确定零点位置，即可推导出奇函数定义式. 【小问1详解】 函数在上不具有性质，在上具有性质． 一方面：对于函数，取，，则有， 故函数在上不具有性质． 另一方面：对任意的，，， ， 故函数在上具有性质． 【小问2详解】 函数的定义域为，由具有性质，可知 对任意的，，，都有， 因为，即函数为奇函数，所以 可化为， 从而在上单调递增，故， 即，即在上恒成立， ∵，∴， 从而． 【小问3详解】 略 【点睛】1. 处理新定义类函数问题的关键是准确翻译定义规则，否定类结论优先采用举反例法简化运算，肯定类结论需进行严谨的代数推导. 2. 求解函数单调性相关的参数范围问题时，可将单调性条件转化为导数恒成立问题，结合定义域求解参数的取值范围. 3. 证明抽象函数奇偶性结合新定义性质的问题，可以围绕奇偶性定义构造辅助函数，结合函数单调性、零点存在定理推导定义式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $