精品解析：江苏常州市宋剑湖高级中学2027届高三8月开学阶段性检测数学试题

2027届高三8月阶段测试 数学试卷 命题人：高三数学备课 2026.08 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数和绝对值不等式解出集合，再求交集即可. 【详解】，， 所以. 故选：B 2. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质及充分必要条件进行判断． 【详解】由及，得，则成立，即充分性成立， 由及，得或，则无法推出，则必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 已知函数的最大值为，则的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断出的最大值为等价于的最大值小于等于，可得；也可依次代入每个选项验证是否满足该条件即可. 【详解】因为，所以， 因为最大值为， 且当时，恰为. 因此只需保证对恒成立， 则，故. 另法：依次代入每个选项验证是否满足该条件. 当时，，最大值为1，不满足题意. 当时，，最大值为，满足题意. 当时，，最大值为，不满足题意. 当时，，最大值为，不满足题意. 综上所述，的最大值为5. 4. 已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性、特殊点法及排除法进行判断即可. 【详解】由函数的图象可知，函数是奇函数． 对于B：，此时为偶函数，与图象不符，故B错误； 对于C：当时，，与图象不符，故C错误； 对于D：，此时为偶函数，与图象不符，故D错误； 由排除法可知A正确， 故选：A. 5. 已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】令，分析可知函数在上有两个不同的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围． 【详解】∵，令，，令，如下图所示： 要使得函数在上有个零点，则函数在上有个不同的零点，显然， 所以，，解得． 故选：C． 6. 德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A. 0.2小时 B. 0.5小时 C. 0.8小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据记忆率为50%列方程，通过两边取常用对数，代入参考数据计算可得t的值. 【详解】由题意，记忆率， 代入函数得，，移项整理得， 两边取以10为底的对数，根据对数运算性质可得，， 将、代入， 结合参考数据，得， ，  因此， 则小时. 7. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：作出单位圆，由面积大小关系得到，从而得到，再利用作差法，二倍角公式得到，从而得到答案；方法二：通过构造函数和，求导判断函数的单调性即可比较大小. 【详解】方法一：设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点， 由三角函数定义可知，，， 设扇形的面积为，则，即， 故， 所以，即， 又，故，即， 由， 因为，所以，故， 综上可得，. 方法二：设函数，则， 因，可得，故，即函数在上单调递增， 故，即在上恒成立， 因，则，即，故； 再设函数，则， 令，则，即函数在上单调递增， 则，故函数在上单调递增， 则，故在上恒成立， 因，则，即. 综上可得. 8. 已知，，记集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的简图，可得及，由并结合图象建立关系求解即得. 【详解】作出函数的简图，如图， 由，得，而，解得，即， 由，得，则， 由及函数图象，得，整理得，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. ，，使得 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用和、差的正弦公式将转化为，然后利用和、差的正切公式以及二倍角公式依次判断即可. 【详解】已知，，， 由于，， 所以， 化简得，即， 对于A，若，则，， 由于，所以，解得，故A正确； 对于B，由前面的推导可知，故B正确； 对于C，假设存在，使得，代入等式，即， 由于， 所以，解得，由于，，矛盾， 因此不存在，使得，故C错误； 对于D，由于，所以， 由于，，所以， 根据基本不等式，，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当时， C. 函数的图象是中心对称图形 D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数求出递增区间判断A；取特值判断B；求出函数图象的对称中心判断C；利用单调性及对称性推理判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得，解得，则在上单调递增，A正确； 对于B，取，，则，B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点中心对称，C正确； 对于D，由且，得， 由在上单调递增，得，则，D正确. 11. 已知，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的取值范围是 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】变形已知等式，构造函数，利用单调性得，然后逐项分析判断. 【详解】由得， 设，都是增函数，则是增函数，且已知条件变为， 所以， 对A，不恒成立，A错； 对B，由以上分析可知，由得，则， 又，所以，，B正确； 对C，时，由于，所以，所以， ，解得且，所以，C正确； 对D，由题意，即，又， 所以，即，而，所以，所以，D错. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可. 【详解】令，则函数可看成由 与复合而成， 因为对数的底数且，所以是单调递减函数， 又因为函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到， 又在区间上，作为的真数要大于0恒成立， 所以，所以， 综上所述实数的取值范围为. 13. 已知，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过双曲线参数换元将所求表达式转化为关于正弦函数的二次函数，结合二次函数单调性与定义域求解最大值. 【详解】已知双曲线方程，设参数满足，， 其中，此时. 将代入所求表达式，得到 ， 由同角三角函数基本关系 ， 代入得 ，令， ， 则表达式转化为二次函数 . 该二次函数开口向下，对称轴为， 对称轴在定义域内，故最大值在处取得， 得到 ，即所求最大值为. 14. 已知函数，任取，定义集合：，点，，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， （1）的值为__________.； （2）函数的单调递增区间为__________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）利用数形结合，以为圆心，作半径为的圆，求出，，进而求解； （2）利用数形结合，以为圆心，作半径为的圆，集合的元素是函数在圆内的纵坐标，利用圆心在函数图象上的移动，可得，的变化规律，从而得到函数的单调区间. 【详解】由得周期，. （1）当时，，所以， 先作出的图像，再以A为圆心，为半径画圆， 观察图像，发现在圆内的那部分的最大值为0，最小值为，所以. （2）函数周期为，所以只考虑一个周期内的变化，其他按周期变化处理. 如图，以为圆心，作半径为的圆，集合的元素是函数在圆内的纵坐标. 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 当从时，则，从，所以从递增到； 当从时，则，从，所以从递减到； 当从时，则，从，所以从递增到； 当从时，则，从，所以从递减到. 所以的单调递增区间为. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 如图，在正四棱柱中，，，为线段中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）连接交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以 平面. （2）因为正四棱柱中，，，为线段中点， 所以， 因为，所以， 因为，所以平面. 【解析】 【分析】（1）作中位线，利用线线平行证明线面平行. （2）利用勾股定理得到，证得线面垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）求出单调递减区间与极值； （2）设函数，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求出在区间上的最大值和最小值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 【答案】（1）单调递减区间为；极大值为，极小值为。 （2）仅可选择条件①，此时最大值为，最小值为； 条件②无法使唯一，不符合要求. 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式化简为正弦型函数，结合正弦函数性质求解单调区间与极值； （2）根据所选条件推导的取值，验证唯一性后，代入区间求的最值. 【小问1详解】 因为 ， 由， 解得， 即的单调递减区间为； 当，即时，取极大值； 当，即时，取极小值； 【小问2详解】 因为，， 选择①：在区间上单调递增； 则， 所以，， 解得，， 所以，， 又因为， 所以， 所以，解析式唯一； 当时，， 所以， 所以， 所以最大值为，最小值为； 选择②：； 则的图象关于对称， 所以， 解得， 又因为， 所以或， 此时不满足函数存在且唯一. 综上，只能选择条件①，此时最大值为，最小值为. 17. 某校引入学情诊断系统做学情测评，待检测样本为200名学生，其中拔尖生50人，待提升学生150人.对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别待提升学生的概率为. （1）从这200名学生中随机抽选4人，求抽到的4人均是拔尖生的概率； （2）现从200名学生中每次随机抽取1人进行测评，测评后放回人群，共抽6次，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 5 6 【解析】 【分析】（1）分别计算从200名学生中随机抽选4人的所有可能情况的总数与从50名拔尖生中随机抽取4人的可能情况的总数，再利用古典概型计算抽4人均为拔尖生的概率； （2）先用全概率公式求单次抽1人AI识别正确的概率，再判断，进而求解分布列和数学期望。 【小问1详解】 设“抽到的4人均是拔尖生”为事件， . 【小问2详解】 设事件为“随机抽取一名学生，AI识别判断正确”， 事件为“随机抽取的学生为拔尖生”， 事件为“抽取的学生为待提升学生”. 则， 因此，可取. 所以，， ，， ，， ， 于是随机变量的分布列如下， 0 1 2 3 4 5 6 数学期望. 18. 已知函数. （1）判断在上的零点个数，并说明理由； （2）已知点的坐标为. （i）证明：当时，的图象恒在线段下方； （ii）设的两个零点为，证明：. 【答案】（1）零点个数：2 理由如下： 因为函数的定义域为，且， 令，可得， 又因为，则，解得， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 因为，， 则， ， 且，， 可知函数在，内均存在唯一零点，所以在上恰有两个零点. （2）（i）由题意可知直线的方程为，即， 令，， 则，可知在内单调递增， 因为， 令，，则， 可知在内单调递减，则，可得，， 且，可得，即； 又因为， 注意到在内单调递增，则， 即，可得； 可知在内存在唯一零点， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 则在内恒成立，即，， 所以当时，的图象位于线段下方； （ii）不妨设，由（1）可知：，， 则， 设，， 则，当且仅当时，等号成立， 可知在定义域内单调递增，且， 当时，，可得； 当时，，可得； 综上所述：当，时，. 可得，即， 令，，则， 可知在内单调递增，则， 则，，可得， 则， 可得，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理分析判断即可； （2）（i）可得直线的方程为，构建，，利用导数分析的单调性，结合单调性分析证明即可； （ii）不妨设，由（1）可知：，构建函数证明即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 定义的协调系数，其中为面积. （1）求等边三角形的； （2）判断等腰三角形是否具有不同的协调系数，并说明理由； （3）证明：. 【答案】（1） （2）等腰三角形的协调系数不一定相同，理由如下： 例如等腰直角三角形的边长分别为，则，协调系数为，再例如一个等腰三角形的边长分别为，则底边上的高为，面积为，协调系数为，所以等腰三角形的协调系数不一定相同. （3）证明：因为， 所以，所以，即， 由海伦公式知，其中， 所以， 设，则， 又，所以， 所以， ， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 【解析】 【分析】（1）根据协调系数的定义计算； （2）举两个等腰三角形的例子计算出协调系数后可得； （3）利用基本不等式得出，利用海伦公式得三角形面积，其中，结合均值不等式可证明，从而证得结论成立. 【小问1详解】 设等边三角形的边长为，则, 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三8月阶段测试 数学试卷 命题人：高三数学备课 2026.08 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的最大值为，则的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 4. 已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A. 0.2小时 B. 0.5小时 C. 0.8小时 D. 2小时 7. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知，，记集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. ，，使得 D. 的最大值为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当时， C. 函数的图象是中心对称图形 D. 当且时， 11. 已知，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的取值范围是 D. 当时， 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 13. 已知，则的最大值是__________. 14. 已知函数，任取，定义集合：，点，，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， （1）的值为__________.； （2）函数的单调递增区间为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 如图，在正四棱柱中，，，为线段中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 16. 已知函数. （1）求出单调递减区间与极值； （2）设函数，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求出在区间上的最大值和最小值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 17. 某校引入学情诊断系统做学情测评，待检测样本为200名学生，其中拔尖生50人，待提升学生150人.对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别待提升学生的概率为. （1）从这200名学生中随机抽选4人，求抽到的4人均是拔尖生的概率； （2）现从200名学生中每次随机抽取1人进行测评，测评后放回人群，共抽6次，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望. 18. 已知函数. （1）判断在上的零点个数，并说明理由； （2）已知点的坐标为. （i）证明：当时，的图象恒在线段下方； （ii）设的两个零点为，证明：. 19. 定义的协调系数，其中为面积. （1）求等边三角形的； （2）判断等腰三角形是否具有不同的协调系数，并说明理由； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $