江苏南京外国语学校2026-2027学年度高三年级第一学期期初数学试题

南京外国语学校 2026一2027学年度高三年级第一学期期初数学试题 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题） 2 3 4 5 6 8 B D B A 二、多选题（共3小题） 9 10 11 AD ACD ACD 三、填空题（共3小题） 21 e 12.213.0 14.4-1,+∞ 四、解答题（共5小题) 15【解答1解：4()a,x0)】 若a≤0，则f()>0,所以f(四在(0，+o)上单调递捐 若a>0,当 0<x a时，f'()>0,当>a时，f"()<0, 1 0, (1,* 所以f(x)在a上单调递增，在a' 上单调递减 综上所述，当a≤0，f()在(0，+o)上单调递增： a0,在上. 上单调递减. (2)当a≤0时，(x）在(0，+0)上单调递增，f()有唯一的零点=1(L,e),不满足题意. 1<L<e a 则 f(e)<0 即 e lne-a(e-l)<0’ ,解得1<a<1' e-1 o的版m小 16,【解答】解：d)已知”，6，C分别 △ABC的内角”， 色ABC ”,所对的边， 已知V5 asinC+acosC=b+c a b c =2R 由正弦定理sin A sin B sin C 得： 3 sin Asin C+sin Acos C=sin B+sin C 根据诱导公式和两角和的正弦公式可得： sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C 所以V5 sin AsinC=cos AsinC+sinC 因为C∈(0，，所以sinC>0,所以V3sinA-cosA=l, 根据三数的恒支可得2如4一君引-1 -<A-π<5 因为A∈(0，元)，所以6 66, A、π元 ,Asπ 所以66，所以3： (2)根据余弦定理可得0s1=+e2-a】 2bc 2. 又a=25,所以b2+c2=12+bc. 因为D是BC的中点，所以根据中点向量可得 两边平方，根据平面向量数量积公式可得： ⑩=4a+Ac+2A6.AC =4(e2+b2+2 becosA）=462+c2+bc)402+2bc) 因为b2+c≥2bc,所以12+bc≥2bc即bc≤12 所=4（2c+12)s42+2x12)=9 当且仅当b=C时，等号成立， 所以AD的最大值为3. 17.【解答】解：(1)记“前五局中甲恰好参与了四局”为事件A,记某选手获胜为“√”，失利为 “×”,轮空为“O”,则前四局甲有以下四类情况为恰好参与了四局： 1 ①×O√√，第五局一定参与，概率为 8 1 ②√×O√，第五局一定参与，概率为2 x1=1 8 1 1 ③√√×O,第五局一定参与，概率为 8 1)4 1 ④√√√×，第五局一定轮空，概率为216： 1 故所求概率 837 P(A) 91616: P (2)记第”局有甲参与的概率为”则第n+1局有甲参与的概率为 若第n局有甲参与，则第n+l局有甲参与的概率为2”， 1 若第m局没有甲参与，则第m+1局一定有甲参与，所以2P+1-P)】 21 因为P=1所以B了3， 所巴引生以写方，方为会的守t。 2 +5, 所以第n6两对打，即版有甲套与院率为小8=写门 18.【解答】解：(1)证明：由PA⊥底面ABCD,得PA⊥BC；又AD∥BC,∠DAB=90°， 府aC1AB.PMn8=4,片BC士子面P6,所BCLA M在以1C为直径的球面上，所MLMC,又BCAMC=C,所M上平面PBC. ，又 (2)以A为原点，AB为x轴，AD为'轴，AP为2轴建立坐标系， 则4(0,0,0)，B(2,0,0),C(2,20）.D(0,10).P(00,2) 由可知AM⊥CM,M⊥PB,4N⊥NC,所以AM:CM=0.A.C=0. 因为PA=AB,AM LPB,所以M为PB的中点，得M(L0,) PW=mPC=m(2,2,-2）=(2m,2m,-2m） 则V(2m,2m,2-2m）,AN=(2m,2m,2-2m）.Nc=(2-2m,2-2m,2m-2)】 1 n224 所以AN.NC=2m(2-2m)+2m(2-2m)-(2-2m2=0,解得m=3,即N气3'3'3 将-(3.0-(2.-0. .D-（3-2+6-+50=0 故瓜1CD,因此异面直线MN与CD的夹角为90° (3)由(2)可知PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0）,DC=(2,10). 设平面PBC的法向量为厅=(c,少，2)， i.PB=2x-2z=0 则BC=2y=0,取元=(10,1) 2 所以点D0,10)到平面PBC的距离dP+0+下 =2 又Mc=2,-,=2 (333 2 cos∠NMC= MC·MW 3 1 MC MN v6x63, 3 改5ae-方cn2Mc-6x5x292-2 333, 三性儿mc兮5d-}29反-号 33 9. 19【解答】解：小质数f()=21n+7的定文诚为0，+)， w220 因为x>0,所以x+1>0 所以当0<x<1时，()<0，f()单调莲减，当>1时，f()>0,()单调速箱， 所以()的单调递减区间是(0,1)，单调递增区同是（山，+切）， (2)当x>0时，8(Ke2+a,即8(x)-e-ar<0 h(x)-g(x)-e"*-ax-e*-c2-sinx-ax 则h(0)=0,h(x)=e-2e2-cosx-a.h(0)=-2-a 令(0)=0，则a=-2. 当a<-2时，h(0)>0,所以存在6>0，使得当r∈(0，⊙)时，h()>0,h(单调递增， 故当x∈(0,6)时，h()>h（0)=0,即8()>e+,不符合盟意， 当a≥-2时，h()sc-2e24-cosx+2,且当>0时，e-2c2-6osx+2<-e2-c0sx+2 今k(=-e25-cos+2,则当x>0时，因为-2e2<-2,所uK()=-2e2+sinx<0, 故当x>0时，k()单调递减，此时k()<k(O)=0, 所以当x>0时，h()<0,h(四单调递减，即当x>0时，h)<A(0)=0,即8()<c之+m 综上，0的取值范围是-2，+0）。 8期：-2h+之，f=子月 Xx. 则0r0)-2+7子+号 已知8()=e-sinx.g'(x)=e-cosx 则8(s)+8'()=2e'-(sins+coss)】 已0-=》 s() 要证f0)-f()>g()+g's)】 2nr+分-子7>2-(ms4oms, 即 因为s,te(0,1),所以l-s∈(0，l,ne(0,+m） 由（山）知(0)在（0,1)上单调递减，在仙，+切）上单调递增， 0-jsr0=1,8产go=1 又州为0-小8.前1-<1.0， 即s>0,t<1. 今F=2nr+子+2,6=20-ms 到F天导持F-子是是令0 对G(）求导得G'()=2e-(cosx-sinx)=2e+six-cosx>0, 所以F()在0,1)上单调递减，G(四在(0,1)上单调递增， 所以F()≥F0)=1,G(s)≤G(0=2e-(sin1+os1)<2e 国为-8.r0>G0. 即f)f'()>gs)+g'(s). 所以，0f'(0)>8()+g'(S得证 南京外国语学校 2026－2027学年度高三年级第一学期期初 数学试题 注意事项：本试卷包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上 1．若复数满足，则的虚部是（ ） A． B． C．1 D．3 2．若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知双曲线：，则的右焦点到其渐近线的距离为（ ） A．2 B．6 C． D． 4．已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的70%分位数，则的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 5．四棱锥底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在底面正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（ ） A． B． C． D． 6．已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ） A．2 B．1 C． D． 7．已知函数，若关于x的方程恒有解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知正实数，，满足，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的部分图像如图所示，为图像的最高点，，为图像与轴的交点，，，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数在上单调递增 C．函数在上的值域为 D．若，则 10．已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上的值域为 D．若函数，且，则在上单调递减 11．已知，为方程的两个实根，设，下列结论正确的是（ ） A． B．存在，使得 C．的个位数字为 D．为完全平方数 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．设函数，则__________． 13．在中，，，，则的面积为__________． 14．已知函数，若对任意，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分） 15．（13分）已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在区间内存在零点，求的取值范围． 16．（15分）已知，，分别为的内角，，所对的边，且． （1）求； （2）已知是边的中点，求的最大值． 17．（15分）乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． （1）求前五局中甲恰好参与了四局的概率； （2）求第局为乙、丙对打的概率； 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面，，，．以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）． （1）证明：平面； （2）求异面直线与的夹角； （3）求三棱锥的体积． 19．（17分）已知函数，． （1）求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，，且，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $