北京市第九中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

2026北京九中高三(上)开学考 数 学 (试卷满分150分,考试时间为120分钟) 一、选择题(每小题4分,共40分) 1.如果集合A={x∈Z-1≤x<3},B={-2,-1,0,1,2,3,那么A∩B=() A.{-1,0,1,2,3} B.{-1,01,2} c.{0,1,2 D.{0,1,2,3} 2.下列函数中,值域为(0,+0)的是() A.y=x-1 B.y=-1 -1 D.y- 1 C.y=In(x-1) 3设a=1b=+7c=42+0,共中11<0,则《】 A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 4.函数f(x)=(x3-x)sinx的图像关于() A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 5.设x∈R,则x-2<1”是“x2+x-6<0”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6将函数y=√2sin2x的图像向右平移兀个单位后,其图像的一条对称轴方程为 6 Ax 元 5 D.x= 7 B.X= C.x= 3 6 12 12 3 7.若tana=4,则cos2a+2sin2a= 4 第1页/共11页 64 16 A. 25 C.1 0 25 8.函数y=(x-I)-5的图象与直线y=k的交点个数的最大值为() A.0 B.1 C.2 D.3 9.设a,b∈R,ab≠0,且a>b,则() A. B. b a-2 ab a b C.sin(a-b)<a-b D.3>2 [(x-a2,x≤0 10.f(x)= 若f(O)是f(x)的最小值,则a的取值范围为() x+-+a,x>0 A.-1,2] B.[-1,0] c.[1,2] D.[0,2] 二、填空题(每小题5分,共25分) 11.全集U=R,集合A={x|x<3},B={x|-2<x<2},则A∩C,B= 9 12.21og23-l1og24+log,v5= 13.角0的顶点在原点,始边在x轴的正半轴,终边过点(2,-3),则tan20=」 14.如果当x>2时,2x+ 3x≥a恒成立,则实数a的取值范围是 x-2 l5.己知f(x)是定义在R上的可导函数.若函数F(x)=xf(x)满足F(x)>0对x∈R恒成立,给出下面 四个结论: ①f(I)+f(-1)>0:②f(x)>0对x∈R成立: ③f(x)可能是奇函数:④f(x)一定没有极值点. 其中,所有正确结论的序号是 三、解答题(共85分) 16.(13分)设函数f(x)=cos +2cos2x. 3 (1)求函数f(x)的最小正周期: (2)求函数f(x)的单调减区间. 第2页/共11页 17.(14分)设 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=√3 bcosA. (1)求角A大小: (2)再从以下三组条件中选择一组条件作为己知条件,使三角形存在且唯一确定,并求 ABC的面积, 条件①:a=V19,c=5; 条件②:cosC=3'c=4V2: 条件③:AB边上的高h=V3,a=3. 18.(14分)甲、乙两人进行飞碟射击比赛,共比赛10场,规定每场比赛分数最高者获胜,两人得分(单位: 分)情况统计如下: 场次 1 2 5 9 10 甲 9 13 8 12 14、 11 > 9 12 10 乙 8 11 10 > -12 8 8 10 10 13 用频率估计概率 (①)从上述10场比赛中随机选择一场,在甲获胜的前提下,求分差超过3分的概率: (2)从这10场比赛中任选3场,设X表示抽到的3场中甲获胜的场数,求X的分布列和数学期望; (3)记一次飞碟比赛成绩满分为15分,设n名运动员的得分分别为(b.(1≤k≤15)为n名运动员中得分至 少为k分的人数 记M为n名运动员的平均成绩,N=+++,直接写出M,N的大小关系(结论不用证明) n 19.(15分)己知函数.f(x)=xex+1 (I)a=-1时,求曲线y=x)与x轴平行的切线方程; (2)已知函数g(x)=x2-x (①)当a<0时,求曲线y=fx)与曲线yg(w)的交点个数 (如果存在实数t,使得两条曲线在式处有公共点,且两条曲线在xt处的导数也相同,则称这两条曲线 相切.求a的值,使得曲线y=(x)与曲线y=g(x)相切 04分)已如通政f=产经。a>0). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(O)处的切线方程; (2)讨论y=f(x)的单调性: (3)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的最大值. 第3页/共11页 21.(15分)给定正整数n23,集合.M={(,y)1x∈{1,2,,ny∈{1,2,,n},从M中选取不同的m个 元素组成一个向量序列((x1,y1),(x2,y2),…,(xmym),若该序列同时满足如下两条性质: ①(x1,y1)=(1,1),xm=n; ②a:=(x,y),a+1-a:∈{(1,0),(0,1),(0,-1)月,i=1,2,3,.,m-1, 则称该序列列为$列. (1)当n=3时,分别判断向量序列: A:(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),B(1,1);(1,2),(2,2),(2,1),(3,1)是否是S列(结论无需证明). (2)当n=4时,是否存在一个由M的全部元素组成的S列,满足(x,ym)=(n,n),并说明理由: (3)若S列:(x1,y1),(x2,y2),(x,ym)满足条件:yIi=1,2,,m}=1,2,,n,求这样的8列的个数. 第4页/共11页 参考答案 一、选择题(每小题4分,共40分) 题号 2 3 4 5 6 个 10 答案 D A 0 0 二、填空题(每小题5分,共25分) 11.【答案】(-∞,-2U[2,3) 【详解】先求C,B=(-0,-2U[2,+∞) AnC,B=(-o,-2]U[2,3) 12.【答案】拼2.5 2 【详解】21og3-1og2+1og,V3 =1og232-log24 +l1og332 =10g,9-og,9-1og,4)+21og,3 =10g24+2 1 1 =2+ 2 2 13.【答案】 【分析】先根据任意角正切函数的定义求出tanO,再代入二倍角的正切公式计算即可得解。 【详解】根据任意角三角函数的定义,角0终边过点(2,-3),其中横坐标x=2,纵坐标y=-3,因 此an0=y=-3-3 三一 x221 2> 2tan0 2 12 由二倍角的正切公式可得tan20= 1-tan20 2 14.【答案】(-0,7+4V3 第5页/共11页 【1=2x+”2-243-232父-8+22r-4*到 (x-2)2 (x-2)2 (x-22 令f)=0,解得x-4牡6=4-2 3,所以f()在2,2+)单调速减,在2+5,+切)单调 2 递增, =+)-2p+5+32)-4+2w5+25+3-74N3 2+V5-2 a≤f(x)m=7+4V3即可. 15.【答案】①② 【详解】对于①,因为F(x)>0对x∈R恒成立,所以函数F(x)=f(x)为递增函数, 可得F()>F(-1),即f(I)>-f(-1),所以f()+f(-1)>0,因此①正确: 对于②,当x<0时,F(x)<F(0)=0,即f()<0,因此f(x)>0: 当x>0时,F(x)>F(O)=0,即xf(x)>0,因此f(x)>0: 当x=0时,易知F'(0)>0,又因为F'(x)=f(x)+f'(x),所以F'(0)=f(O)+0>0,即 f(0)>0: 综上可知f(x)>0对x∈R成立,即②正确: 对于③,若f(x)是奇函数,则F(x)=f(x)为偶函数, 又因为偶函数不可能始终为递增函数,因此③错误: 对于④,不妨取f(x)=x2+1,此时F(x)=x3+x满足题意, 但函数∫(x)=x2+1有一个极小值点,即④错误 三、解答题(共85分) 16.【答案】(1) (2) [+a径+小ez 【小问1详解】 已知函数f(x)=co 2x-+2osx. 第6页/共11页 由于cos 2x- 3 -cos2xcos+sin2xsin 3 2c0s2x+ 3 -sin 2x,2cos2x=cos2x+1, 所以f(x)=2 2 因此函数∫(x)的最小正周期T=2 = 【小问2详解】 由于正弦函数y=sin1的单调递减区间 [+2a+2]ez 所以当2x+ 因此函数f(x)的单调减区间为 17.【答案】(1)A= 3 (2)选①:不符合题意: 选②:三角形唯一确定, ABC的面积S=4V3+3V2; 选③: ABC唯一, ABC的面积S=V5+32 【小问1详解】 因为asinB=√3 bcos4,由正弦定理可得sinAsinB=√3 sinBcosA, 又因为Be0,刘,所以sinB≠0.则sn1=5cos4,即am4=5,所以A=号 【小问2详解】 选①:由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA,即19=b2+25-5b,解得b=2或3,不符合题意: 选8因为Ce0.cosC-所以sinC=22 3 第7页/共11页 4v2x 由正弦定理a 2=33, sinA sinC 可得a=csin4 sinC 2W 3 此时三角形两角一边确定,故三角形唯一确定,符合题意, XsinB=sin(4+C)-sindcosC+cos4sinc=x 23'23 6 此时a48C的商积5=0sin-2x35x4反x255-4N5+35: 6 选③:因为4B边上的高h=√3,所以bsin”=V3,则b=3 =2 3 2 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA,即9=4+c2-2c,解得c=1+√6,c=1-V6(舍去), 故 ABC唯一,符合题意, t时AABC的面积S=besin=x2 1+V6xV3=V3+3W2 2 2 18.【答案】解:(1)记“甲获胜前提下,分差超过3分”为事件A,10场比赛中,甲获胜6场,其中, 1 超过3分的有1场则P(A)=二 6 (2)X可能取值为:0,1,2,3. P(X=0)= ic()=cic C30' P(X=2)= C2 P(X=3) CC=分布列为: C6 X 0 3 3 1 30 10 2 6 E(X)=0 +1x3+2 +3x-9 3 1 数学期望为: 30102 65 (3)M=N 19.【答案】解:(1)a=-1时,f(x)=xe1,f'(x)=(x+1)e1 …分 第8页/共11页 令f(x)=(x+1)e+1=0,有x=-1, …2分 此时f(x)=xex+=-1≠0… …4分(含有检验1分,写在别处亦可) 即切线方程为:y=一1,符合题意…5分 ①构造函数Fx)三了心)gU)=x和。2+x,原命题等价于Fx)的零点个数. …7分 又a<0时。1+1.4G(-e-分+1,则-e-2 2 令G(x)=0,有x=-n2,列表得: 所以G(x)≥G(-1n2)=3+h2 0, 2 …9分 所以e-a-二x+1>0,即F(x)只有一个零点0,也即两条曲线只有1个交点. …10分 2 (i)若两条曲线相切,则F()=F()=0,即F()=ea-P+1=0 2 由F'(x)=(x+1)e-a-x+1,有F(t)=(t+1)e-a-t+l=0…1l分 t=-1时,F'(t)=2≠0… …12分 1=-时d代入=0南11-0 …13分 t+12 若t=0,则ea=-1,矛盾: 若1≠0,则-1 t+12 +1=0,解得1=3,代入e-a=t- ,有a=3+1n2:…15分 t+1 综上所述,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相切时,a=3+2. 20.【答案】(1)y=x+1 (2)见解析 (3)2 【分析】(1)根据导数的几何意义得出切线方程: (2)分类讨论a的值,利用导数得出单调性; 第9页/共11页 (3)当0<a<2,由单调惟得出恒有)>1,当a>2,存在=2。 1a-2e0,0 a-=3),使得f)<1, 从而得出a的最大值. 【小问1详解】 1+xe,所以f0=1,因为f'(= 因为f=1-x x2+1 (1-x)2 ex,所以f(0)=1. 故曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1. 【小问2详解】 f)的定义域为(,lu0,w,∫)+20c 1-x)2 雪Q=2时,8。>0,即圈数在Q+9)上单调遥品 当0<a<2时,f=+20。>0,即函数f在(0,,o上单调递指 (1-x)2 当a>2时,0<a-2<1 0 令f'(x)=0,解得x=Va -2a-2 ,2a re0时对小o 若f'(x)<0时, 豆 即函数f(x)在 (。2儿后小o上, a-2a-2 a'va 上单调递减。 综上所述, 当0<a≤2时,f(x)在(-0,1),(1,+oo)上单调递增 a>2e(受厚小司) 上单调递 减. 【小问3详解】 由(2)可知,当0<a≤2时,f(x)在(0,1)上单调递增,恒有f(x)>f(0)=1: 第10页/共11页 当a>2时,由(2)可知,f(x)在 上单调递减, 存在x= 1a-2 21 a ∈(0, a-2),使得fx,)<f0)=l,故a>2不合题意: 综上,0<a≤2,即a的最大值为2 21.【答案】解:(1)A序列不是S列,B序列是S列;4分 (2)若存在一个由M的全部元素组成的S列,考虑该向量序列中每一项x,y,的和. 一方面,由性质②,a+1-,∈{(1,0),(0,1),(0,-1},所以(x+1++1)-(x+y=1, 所以相邻两项的x,y的和奇偶性不同,故(x6,y16),(x,)间隔15项,它们的和奇偶性不同. 另一方面n=4时,M集合共有42=16项元素,故m=16, 所以(x6+6)-(:+4)=6,两者奇偶性相同. 矛盾,所以n=4时,不存在一个由M的全部元素组成的S列.…9分 (3)注意到S列满足1-a,∈(1,0),(0,1),(0,-1)},即y分量上的变动步长为0或者1,且第一项为 (1,1),所以任一S列各项的y分量组成的集合为连续正整数集{1,2,,k},1≤k≤n. 同样的,由G+1-G∈{1,0),(0,1),(0,-1)},可知x分量是单调不减的,且x分量组成的集合为{1,2,,n仍 我们考虑一个列k行的方格阵,并将一个向量序列的每一项(x,)对应成第x,列第y,行的方格.则一个 S列对应一个从左上角格子出发,每步向右,向下或者向上移动一格,最终结束于最后一列某一个格子的路 径 用符号F(P,q)表示从左上角出发,到达第p列第q行的格子的方法数. 则由移动规则知,F(1,)=1,i=1,2,…,k 以第卫列任意一个格子向右移动1步后,都恰有唯一的方法可以抵达第p+1列第q行的格子,所以 F(p+1,q)=F(p,1)+F(p,2)+..+F(p,k) 结合这两条算式可知F(2,)=k,F(3,)=k2,,F(n,)=k”-1,i=1,2,,k. 由于S列可以以第n列任一方格为终点,所以对于一个列k行的方格阵,对应可行的S列个数为 F(n,1)+F(n,2)++F(n,k)=k". 所以对于各项的y分量组成的集合为1,2,,的向量序列,只需从总的n列n行的方格阵对应的S列个数 减去n列-1行的方格阵对应的S列个数,即为n-(n-1). 第11页/共11页