5.4.3 正切函数的性质与图象同步练习（提升版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 正切函数性质与图象同步练习（提升版），通过基础辨析、中档综合、提升探究三层设计，覆盖对称中心、周期、单调性等核心考点，强化从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|对称中心、周期等单一性质|单选辨析概念（如第1题对称中心判断），培养抽象能力与几何直观| |中档综合|图象识别与性质综合应用|多选+图象题深化理解（如第8题单调性与对称性分析），发展推理能力| |提升探究|参数范围与方程解综合问题|解答题探究应用（如第15题方程解的个数问题），强化数学表达与应用意识|

5.4.3 正切函数的性质与图象同步练习（提升版） 1．（2026·四川成都·三模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正切型函数的性质，求得，进而得到答案. 【详解】由点是函数图象的一个对称中心，可得， 解得，当时，取得最小正值为． 2．（25-26高一下·内蒙古·期中）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（   ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】A 【分析】由三角函数性质判断各项函数的周期，即可得答案. 【详解】①函数为偶函数，周期与相同，最小正周期； ②函数的周期是的一半，即； ③由余弦型函数性质； ④由正切型函数性质； 因此，最小正周期为的所有函数为①②③，故A正确. 3．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由正切函数的单调递增区间为，求得函数的单调递增区间为；再根据函数在上单调，得，从而得到不等式组，确定的取值，结合的条件，确定的最大值. 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. 4．（2026·湖南株洲·三模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案. 【详解】的最小正周期，两个对称中心的间隔为， 也即的对称中心的间隔为， 所以的最小正周期, 所以. 由，解得， 由，解得， 依题意，与图象的对称中心完全一致，， 所以. 5．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为且 B．函数的值域为 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】对A直接由正切函数的性质可得函数的定义域并判断可得；对B可将函数化简为，再结合正弦函数的性质可得函数的值域；对C直接根据正弦函数的最小正周期判断可得；对D直接用对称的定义验证可得. 【详解】对于A，由正切函数的性质可得， 又由， 因此，函数的定义域为且，故A错误； 对于B，由 ， 因为函数的定义域为且， 所以且，即， 因此，所以，故B错误； 对于C，由上分析知，所以， 且的最小正周期为，因此函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，由上分析知，所以， ， 显然等式不恒成立，因此函数的图象不关于直线对称，故D错误. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，，所以，由. 图象过点，所以， 所以，. 又因为，所以，. 图象过点，所以. 所以. 所以. 7．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设为不等于1的正实数，若不等式对任意都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，数形结合可得出，结合对数函数的单调性可求出实数的取值范围. 【详解】若，对任意的，，，不等式不成立. 所以，作出函数、在上的图象如下图所示： 要使得不等式对任意都成立，则， 故 因为对数函数在上为减函数，所以， 又因为，故，即实数的取值范围是. 8．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．若，，则在区间上单调递增 C．若，，则的图象关于点对称 D．若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 【答案】BCD 【分析】求出函数的定义域，可判断A选项；利用正切型函数的单调性可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；令，求出前三个零点的和，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由于，由得， 故函数的定义域为，A错； 对于B选项，若，，则， 当时，，故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，若，，则， 所以，故的图象关于点对称，C对； 对于D选项，若，则， 因为，当时，， 令，则， 因为，则， 因为，所以函数在区间不同零点共有个，D对. 9．（2026·湖南常德·一模）（多选）若函数 的部分图象如右图所示，且，则（    ） A． B． 是 的一个对称中心 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题得得即可判断A，再由定义域得，进而判断B，由结合诱导公式即可求得进而判断D，计算结合诱导公式即可判断C. 【详解】由题意得：，故A正确； 由，所以，又， 当时，， 所以，所以， 所以 是 的一个对称中心，故B正确； 又， 所以，故D正确； 所以， 所以， 又， 所以，故C错误. 10．（25-26高一下·广东汕尾·期中）（多选）已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 【答案】ABD 【分析】根据单调递增区间求出最小正周期，再利用周期公式求出，判断选项A；利用正切函数对称中心的性质判断选项B；利用正切函数的单调性判断选项C；根据的性质和图像，结合已知条件，判断选项D． 【详解】选项A：函数其中一个单调递增区间为， 该函数的最小正周期，依题意，，则，故A正确； 选项B：由题知，则，所以， 因正切函数的对称中心满足，解得， 当时，，即是对称中心，故B正确； 选项C：，即，， 解得，故C错误； 选项D：因函数和的图象均关于对称， 如图，两函数图象共个交点且两两关于对称，   ． 11．（25-26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】分析正切函数的单调区间，并根据恒成立问题求解. 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 12．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出，然后令，得到的最小值即可求解. 【详解】已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得， 因此， 因为，所以，所以， 令，因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以当时，有，所以，即． 13．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，若不等式在中的整数解有m个，则m的所有可能值构成的集合为________． 【答案】 【分析】令，代入不等式并求得，令函数，求得函数的周期及定义域，作出函数的部分图象，讨论的取值结合函数图象得到不等式的整数解的值，然后得到结果. 【详解】令，则不等式化简为，则， 由的周期，且，则， ∴函数的定义域为，函数大致图象如下， 在中的可能值讨论如下： 若，； 若，则内整数解为1，所以； 若，则内整数解为，所以； 若，则内整数解为3，所以； 若，则内整数解为，所以； 若，则内整数解为1，所以； 若，. 综上：m的所有可能值的集合为. 14．（25-26高一上·新疆·阶段检测）已知函数的图象过点． (1)求出的值， (2)求出的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3) 【分析】（1）根据函数图象过点，结合，可得； （2）根据正切型函数的单调性即可求出答案； （3）根据正切型函数的单调性解不等式即可求出答案. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，解得 ， 因为，所以. （2）由（1）知， 令， 即， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． （3）不等式，即， 解得，即， 所以不等式的解集为. 15．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数． (1)若的最小正周期为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知实数，满足，若对任意满足此条件的，若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正切型函数的周期公式求解； （2）依题意由，有，可求的取值范围； （3）依题意可知至少包含2025个周期，则有，求解的取值范围即可. 【详解】（1）函数的最小正周期为， 解得. （2）时，， 若在区间上单调递增，则有，解得， 所以的取值范围为. （3）方程，解得，即， 若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解， 则在区间内至少存在2026个不同的实数解，至少包含2025个周期， 由，得，所以， 所以的取值范围为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.3 正切函数的性质与图象同步练习（提升版） 1．（2026·四川成都·三模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·内蒙古·期中）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（   ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．①③ 3．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2026·湖南株洲·三模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为且 B．函数的值域为 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设为不等于1的正实数，若不等式对任意都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．若，，则在区间上单调递增 C．若，，则的图象关于点对称 D．若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 9．（2026·湖南常德·一模）（多选）若函数 的部分图象如右图所示，且，则（    ） A． B． 是 的一个对称中心 C． D． 10．（25-26高一下·广东汕尾·期中）（多选）已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 11．（25-26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 12．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 13．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，若不等式在中的整数解有m个，则m的所有可能值构成的集合为________． 14．（25-26高一上·新疆·阶段检测）已知函数的图象过点． (1)求出的值， (2)求出的单调区间； (3)求不等式的解集． 15．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数． (1)若的最小正周期为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知实数，满足，若对任意满足此条件的，若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解，求的取值范围． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $