第二十六课时-5.4.3正切函数的图象与性质同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学正切函数同步练以"基础巩固-技能应用-综合提升"分层设计，通过选择、填空、解答题梯度进阶，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|定义域、周期等单一考点|选择题1-8直接对应核心考点，强化概念记忆| |技能应用|公式简单运算|填空题9-12训练函数值、周期计算，提升运算能力| |综合提升|多性质综合应用|解答题13-15整合定义域、单调性等，培养逻辑推理与应用意识|

高一数学必修第一册 · 课时同步训练 第二十六课时 正切函数的图象与性质 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 正切函数的定义 正切函数 y ＝ tanx ＝ sinx/cosx，定义域为 {x | x ≠ π/2 ＋ kπ, k ∈ Z}，即终边不在 y 轴上的角。值域为 R。正切函数的图象叫做正切曲线，它是由无数条曲线组成的，被直线 x ＝ π/2 ＋ kπ（k ∈ Z）隔开。 考点二 正切函数的周期性 tan(x ＋ kπ) ＝ tanx（k ∈ Z），故正切函数的周期为 kπ，最小正周期为 T ＝ π。对于函数 y ＝ Atan(ωx ＋ φ)，其周期为 T ＝ π/ω。 考点三 正切函数的奇偶性 tan(－x) ＝ －tanx，故正切函数是奇函数，其图象关于原点对称。 考点四 正切函数的单调性 正切函数在每个开区间 (－π/2 ＋ kπ, π/2 ＋ kπ)（k ∈ Z）内单调递增。需要注意：正切函数在整个定义域上不是单调递增的，因为定义域不连续。正切函数无最大值和最小值。 考点五 正切函数的对称性 正切函数的对称中心为 (kπ/2, 0)（k ∈ Z），即图象关于点 (kπ/2, 0) 对称。正切函数没有对称轴。渐近线为 x ＝ π/2 ＋ kπ（k ∈ Z）。 知识结构思维导图 图1 正切函数的图象与性质知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数y ＝ tanx的定义域为（ ） A．R B．{x | x ≠ kπ, k ∈ Z} C．{x | x ≠ π/2 ＋ kπ, k ∈ Z} D．{x | x ≠ kπ/2, k ∈ Z} 2．函数y ＝ tanx的最小正周期为（ ） A．2π B．π C．π/2 D．π/4 3．函数y ＝ tanx的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 4．函数y ＝ tan(2x)的周期为（ ） A．2π B．π C．π/2 D．π/4 5．函数y ＝ tanx在下列哪个区间上单调递增（ ） A．(0, π) B．(－π/2, π/2) C．(π/2, 3π/2) D．(0, π/2) 6．函数y ＝ tanx的对称中心为（ ） A．(kπ, 0), k ∈ Z B．(kπ/2, 0), k ∈ Z C．(π/2 ＋ kπ, 0), k ∈ Z D．(kπ, π/2), k ∈ Z 7．tan(－π/4)的值为（ ） A．1 B．－1 C．0 D．不存在 8．函数y ＝ tanx的值域为（ ） A．[－1, 1] B．(－1, 1) C．R D．[0, ＋∞) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．tan(π/3) ＝ ____________。 10．函数y ＝ tan(3x)的周期为 ____________。 11．函数y ＝ tanx在(－π/2, π/2)上的零点为 ____________。 12．tan(5π/6) ＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）求下列函数的定义域： （1）y ＝ tan(x － π/4)； （2）y ＝ tan(2x ＋ π/3)。 14．（14分）已知函数f(x) ＝ tan(2x ＋ π/3)。 （1）求f(x)的周期； （2）求f(x)的单调递增区间； （3）求f(π/6)的值。 15．（14分）已知函数f(x) ＝ tanx ＋ tan(－x)。 （1）判断f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的周期； （3）求f(π/4)的值。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． C 2． B 3． A 4． C 5． B 6． B 7． B 8． C 9． 10． π/3 11． 0 12． －/3 ■ 详细解析 1．【答案】C 【解析】正切函数y ＝ tanx ＝ sinx/cosx，需cosx ≠ 0，即x ≠ π/2 ＋ kπ（k ∈ Z），故定义域为{x | x ≠ π/2 ＋ kπ, k ∈ Z}，选C。 2．【答案】B 【解析】tan(x ＋ π) ＝ tanx，故正切函数的最小正周期为π，选B。 3．【答案】A 【解析】tan(－x) ＝ －tanx，故正切函数是奇函数，选A。 4．【答案】C 【解析】y ＝ tan(2x)的周期T ＝ π/2，选C。本题关键：y ＝ tan(ωx)的周期为π/ω。 5．【答案】B 【解析】正切函数在(－π/2 ＋ kπ, π/2 ＋ kπ)内单调递增。当k ＝ 0时，区间为(－π/2, π/2)，选B。选项D (0, π/2)虽然也位于正切函数的单调递增区间内，但它只是(－π/2, π/2)的子区间，而本题要求选择正切函数单调递增的完整区间，故应选B。 6．【答案】B 【解析】正切函数的对称中心为(kπ/2, 0)（k ∈ Z），选B。本题关键：正切函数图象关于点(kπ/2, 0)对称。 7．【答案】B 【解析】tan(－π/4) ＝ －tan(π/4) ＝ －1，选B。本题关键：tan(－x) ＝ －tanx，tan(π/4) ＝ 1。 8．【答案】C 【解析】正切函数的值域为R，选C。本题关键：正切函数无最大值和最小值，可取任意实数。 ■ 填空题解析 9．【答案】 【解析】tan(π/3) ＝。本题关键：π/3 ＝ 60°，tan60° ＝ 。 10．【答案】π/3 【解析】y ＝ tan(3x)的周期T ＝ π/3。本题关键：y ＝ tan(ωx)的周期为π/ω。 11．【答案】0 【解析】tanx ＝ 0时x ＝ kπ（k ∈ Z），在(－π/2, π/2)内x ＝ 0，故零点为0。 12．【答案】－/3 【解析】tan(5π/6) ＝ tan(π － π/6) ＝ －tan(π/6) ＝ －/3。本题关键：5π/6 ＝ π － π/6，用诱导公式化简。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）{x | x ≠ 3π/4 ＋ kπ, k ∈ Z}；（2）{x | x ≠ π/12 ＋ kπ/2, k ∈ Z} 【解析】（1）y ＝ tan(x － π/4)有意义需x － π/4 ≠ π/2 ＋ kπ，即x ≠ 3π/4 ＋ kπ（k ∈ Z）。 故定义域为{x | x ≠ 3π/4 ＋ kπ, k ∈ Z}。 （2）y ＝ tan(2x ＋ π/3)有意义需2x ＋ π/3 ≠ π/2 ＋ kπ，即2x ≠ π/6 ＋ kπ，x ≠ π/12 ＋ kπ/2（k ∈ Z）。 故定义域为{x | x ≠ π/12 ＋ kπ/2, k ∈ Z}。 本题关键：tan(u)有意义需u ≠ π/2 ＋ kπ，由此求x的范围。 14．【答案】（1）周期π/2；（2）(－5π/12 ＋ kπ/2, π/12 ＋ kπ/2)（k ∈ Z）；（3）－ 【解析】f(x) ＝ tan(2x ＋ π/3)。 （1）ω ＝ 2，周期T ＝ π/2。 （2）令u ＝ 2x ＋ π/3，tanu在(－π/2 ＋ kπ, π/2 ＋ kπ)内递增。 即－π/2 ＋ kπ ＜ 2x ＋ π/3 ＜ π/2 ＋ kπ。 解得－5π/12 ＋ kπ/2 ＜ x ＜ π/12 ＋ kπ/2。 故单调递增区间为(－5π/12 ＋ kπ/2, π/12 ＋ kπ/2)（k ∈ Z）。 （3）f(π/6) ＝ tan(2 × π/6 ＋ π/3) ＝ tan(π/3 ＋ π/3) ＝ tan(2π/3)。 tan(2π/3) ＝ tan(π － π/3) ＝ －tan(π/3) ＝ －。本题关键：利用正切函数的单调性和诱导公式求值。 本题关键：利用正切函数的单调性和诱导公式求值。 15．【答案】（1）既奇又偶函数；（2）不存在最小正周期；（3）0 【解析】f(x) ＝ tanx ＋ tan(－x) ＝ tanx － tanx ＝ 0。 （1）f(－x) ＝ tan(－x) ＋ tan(x) ＝ －tanx ＋ tanx ＝ 0 ＝ f(x)。 又f(x) ＝ 0，f(－x) ＝ 0 ＝ －f(x) ＝ 0，故f(x)既是奇函数又是偶函数。 （2）f(x) ＝ 0恒成立，任意非零实数都是其周期，因此不存在最小正周期。 （3）f(π/4) ＝ tan(π/4) ＋ tan(－π/4) ＝ 1 ＋ (－1) ＝ 0。 本题关键：tan(－x) ＝ －tanx，故f(x) ＝ tanx ＋ tan(－x) ＝ 0。 高一数学必修第一册 · 第二十六课时 正切函数的图象与性质 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $