3.3幂函数第四课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数的定义证明与图象综合，核心内容包括三次函数单调性（作差法）与奇偶性（定义法）证明，以及根式绝对值函数的图象绘制和性质讨论。课堂通过旧知回顾梳理单调性与奇偶性的检查要点，强调定义域前提，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以数学思维引导严谨推理，如三次函数作差后通过立方差分解和平方和结构判断符号。以数学语言规范表达，如奇偶性证明严格遵循定义域、代入计算、结论步骤。以数学眼光培养几何直观，如根式绝对值函数分段作图并利用对称性分析。小结注重定义、代数与图象的互相印证，助力学生系统掌握知识，教师可高效开展教学。

第三章 · 函数的概念与性质 3.3 幂函数 第四课时｜定义证明与图象综合 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 91 页 本课完成教材练习3和习题3.3第1题。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 学习任务 同一个函数，怎样同时证明单调性与奇偶性？ 02 会用作差法证明三次函数在R上递增。 会用定义判断三次函数的奇偶性。 会画根式绝对值函数图象并讨论性质。 同一个函数，怎样同时证明单调性与奇偶性？ [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 旧知回顾 单调性与奇偶性，检查的对象并不相同 03 单调性比较同一区间内两个函数值的大小。 奇偶性比较f(−x)与f(x)的关系。 两种证明都必须先检查定义域。 单调性与奇偶性，检查的对象并不相同 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 教材练习 练习3：先确定三次函数的研究范围 04 定义域为R，关于原点对称。 要分别证明：在R上递增，并且是奇函数。 教材第91页练习3。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 单调性证明 任取x₁<x₂，关键是判断乘积的符号 05 在R内任取x₁<x₂。 作差后提取因式x₁−x₂。 第一个因式为负，还要证明第二个因式为正。 任取x₁<x₂，关键是判断乘积的符号 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 作差 立方差分解后，问题集中到第二个因式 06 x₁−x₂<0。 接下来只需证明括号内的式子严格大于0。 立方差公式在此前代数知识范围内。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 判号 平方和结构保证第二个因式大于0 07 右侧是若干平方的和，并且不可能同时为0。 因此作差结果小于0，三次函数在R上递增。 若各平方同时为0则x₁=x₂=0，与x₁<x₂矛盾。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 奇偶性证明 奇偶性证明只需代入−x并化简 08 定义域R关于原点对称。 所以三次函数是奇函数，图象关于原点对称。 按奇函数定义完成证明。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 教材习题 习题1：绝对值把负半轴折到正半轴 09 先画正半轴上的根式函数图象。 再关于y轴对称，得到负半轴部分。 教材第91页习题3.3第1题。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 解析式转换 分段写法把两侧图象说清楚 10 x≥0时沿用根式函数；x<0时被开方数为−x。 两段在原点相接，函数定义域为R。 分段式根号完整，边界不重不漏。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 图象观察 图象关于y轴对称，最低点是原点 11 x y 定义域为R，值域为[0，+∞)。 根式绝对值函数图象。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 奇偶性 偶函数结论也可以直接由定义得到 12 定义域R关于原点对称。 所以函数是偶函数。 用绝对值性质验证偶函数定义。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 单调性 单调性必须分原点左右讨论 13 在（−∞，0]上，x增大时图象下降，函数递减。 在[0，+∞）上，x增大时图象上升，函数递增。 不能把两个区间合并成整个R上的单调性。 单调性必须分原点左右讨论 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 当堂检测 当堂检测：给出结论，也要给出依据 14 三次函数为何递增？作差后是“负数×正数”。 三次函数为何为奇函数？定义域对称且f(−x)=−f(x)。 根式绝对值函数为何为偶函数？函数值只由|x|决定。 当堂检测：给出结论，也要给出依据 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 课堂小结 定义、代数和图象要互相印证 15 证明单调性：取值、作差、判号、结论。 判断奇偶性：先看定义域，再比较f(−x)与f(x)。 画复合图象：先分段，再利用对称性检查。 定义、代数和图象要互相印证 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] 课后作业 课后作业：完成证明与图象整理 16 必做：完整书写教材第91页练习3的两项证明。 完成习题3.3第1题的图象与性质整理。 预习：习题3.3第2题的正比例建模。 本页不设置动画。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第91页练习3与习题3.3第1题（本地PDF第98页）。 [/Sources] $