3.2.2.2单调性与奇偶性的综合应用课时练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，基础巩固与能力提升并重，通过单一性质应用到综合问题解决的梯度设计，培养数学抽象、推理及应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础练习|奇偶性、单调性的单一应用|以选择填空为主，直接考查性质判断与大小比较，如利用奇偶性化归自变量、单调性比较函数值| |B级拔高提升|函数性质与不等式、抽象函数综合应用|含多选题、解答题，涉及分类讨论（如第10题含参数不等式）、构造函数（如第12题构造g(x)），深化逻辑推理与问题解决能力|

3.2.2.2单调性与奇偶性的综合应用 A级　基础练习 1.(2026河北张家口期中)已知定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(-3),f(),f(π)的大小关系是(　　) A.f()<f(-3)<f(π) B.f(-3)<f()<f(π) C.f(π)<f(-3)<f() D.f()<f(π)<f(-3) 2.设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,则f(-2)与f(a2-2a+3)(a∈R)的大小关系是(　　) A.f(-2)<f(a2-a+3) B.f(-2)≥f(a2-2a+3) C.f(-2)>f(a2-2a+3) D.与a的取值无关 3.若奇函数f(x)在区间[1,5]上单调递增,且最小值为3,则它在区间[-5,-1]上(　　) A.单调递增,且有最大值-3 B.单调递增,且有最小值-3 C.单调递减,且有最大值-3 D.单调递减,且有最小值-3 4.函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 5.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,则满足f(2x+1)<f()的x的取值范围是(　　) A.(-,+∞) B.(-∞,-) C.(-∞,-)∪(-,+∞) D.(-,-) 6.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-),f()的大小关系为(　　) A.f()>f(-)>f(-1) B.f()<f(-)<f(-1) C.f(-)<f()<f(-1) D.f(-1)<f()<f(-) 7.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件: ①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数. 若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围. B级　拔高提升 8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递增,则下列不等关系恒成立的是(　　) A.g(g(1))>g(g(2)) B.g(f(1))<g(f(2)) C.f(g(1))>f(g(2)) D.f(f(1))>f(f(2)) 9.已知函数y=f(x)满足:①y=f(-1-x)是偶函数;②f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增.若x1<0,x2>0且x1+x2+2>0,则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.无法确定 10.(2026福建福九联盟期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,都有<0,且f(3)=1,则不等式(x-1)f(x-1)<x-1的解集为(　　) A.(-∞,-2)∪(-1,4) B.(-1,2)∪(4,+∞) C.(4,+∞) D.(-2,1)∪(4,+∞) 11.(2026山东聊城期末)(多选题)已知函数f(x)=,则(　　) A.f(x)是奇函数 B.当x≠0时,f()=f(x) C.∃a∈(1,+∞),使f(a2)>f(2a-1) D.∀a∈(-,0),f(x)在[a,3a+1]上单调递增 12.(2026福建九师联盟期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x1<x2≤0时,>x1+x2恒成立,且f(2)=1,则不等式f(x-2)<x2-4x+1的解集为(　　) A.(0,4) B.(-∞,0)∪(4,+∞) C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 13.(2026广东实验中学阶段练习)设函数f(x)=在区间[-2,2]上的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为　　　　　.  14.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是　 .  15.已知函数f(x)=x|x|,则满足f(x)+f(3x-2)≥0的x的取值范围是　　　　.(用区间表示) 16.设函数f(x)=|x|-,不等式f(x)>f(2x-1)的解集为　　　　　.  17.(2026天津宁河期中)已知函数f(x)=. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明; (2)证明f(x)在区间(0,+∞)上是增函数; (3)求函数f(x)在区间[-6,-2]上的最大值和最小值. 答案： 1.C　因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-3)=f(3), 又因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,<3<π,得f(π)<f(3)<f(),所以f(π)<f(-3)<f().故选C. 2.B　根据题意,f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,则f(x)在(0,+∞)上为减函数,又由a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,则f(2)≥f(a2-2a+3),又由f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-2)≥f(a2-2a+3).故选B. 3.A　因为函数f(x)在区间[1,5]上单调递增,且有最小值3,所以f(1)=3, 又f(x)为奇函数,所以函数f(x)在区间[-5,-1]上单调递增,且有最大值f(-1)=-f(1)=-3.故选A. 4.D　∵f(x)为奇函数,f(1)=-1,∴f(-1)=1. ∵-1≤f(x-2)≤1,∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1). 又f(x)在(-∞,+∞)上单调递减, ∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故选D. 5.C　由题意f(2x+1)<f()⇔f(|2x+1|)<f(),又f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以有|2x+1|>,两边平方得16x2+16x+3>0⇔(4x+1)(4x+3)>0, 解得x<-或x>-.故选C. 6.B　∵函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,∴f(-x)=(m-1)x2-2mx+3=f(x)=(m-1)x2+2mx+3, ∴m=0,即f(x)=-x2+3. ∴f(x)在(-∞,0)上单调递增, ∴f(-1)>f(-)>f(-)=f(). 即f()<f(-)<f(-1),故选B. 7.解 ∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1), ∴f(1-a)+f(1-a2)<0,则f(1-a)<-f(1-a2),即f(1-a)<f(a2-1).∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数, ∴解得0<a<1,故实数a的取值范围为(0,1). 8.C　由题意可知f(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,g(x)在R上单调递增,且g(0)=0, 所以f(1)>f(2),g(2)>g(1)>0. 对于A,因为g(2)>g(1)>0,g(x)在R上单调递增,所以g(g(2))>g(g(1)),故A错误;对于B,因为f(1)>f(2),g(x)在R上单调递增,所以g(f(1))>g(f(2)),故B错误;对于C,因为g(2)>g(1)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(g(1))>f(g(2)),故C正确;对于D,因为f(1),f(2)正负不知,所以f(f(1)),f(f(2))大小关系不确定,故D错误.故选C. 9.A　不妨设F(x)=f(-1-x),由F(x)是偶函数,则F(-x)=F(x),即f(-1+x)=f(-1-x),即函数y=f(x)的图象关于x=-1对称,且f(-2-x)=f(x).因为y=f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,所以y=f(x)在区间[-1,+∞)上单调递减.因为x1<0,x2>0,且x1+x2+2>0,所以-2-x2<x1.若x1≤-1,则-2-x2<x1≤-1,则f(-2-x2)<f(x1),即f(x2)<f(x1);若-1<x1<0,因为x2>0,则x2>x1>-1,所以f(x2)<f(x1).综上可得f(x1)>f(x2).故选A. 10.D　由题意得f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)在R上为偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-3)=f(3)=1,由(x-1)f(x-1)<x-1⇔(x-1)[f(x-1)-1]<0,所以 则 结合f(x)的单调性知,可得x>4或-2<x<1, 所以不等式的解集为(-2,1)∪(4,+∞).故选D. 11.ABD　f(x)的定义域为R,且f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,A正确; 当x≠0时,f()==f(x),B正确; f(x)=(x>1),又y=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.若a>1,则a2>1,2a-1>1,由f(a2)>f(2a-1),得a2<2a-1,即(a-1)2<0,这与(a-1)2≥0矛盾,所以不存在a∈(1,+∞),f(a2)>f(2a-1),故C错误;因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0.由选项C知,f(x)在(-1,1)上单调递增.当-<a<0时,-<3a+1<1,所以f(x)在[a,3a+1]上单调递增,故D正确.故选ABD. 12.B　因为>x1+x2,x1<x2≤0, 所以f(x1)-f(x2)<,即f(x1)-<f(x2)-,令g(x)=f(x)-x2,则有g(x1)<g(x2), 则g(x)在(-∞,0]上单调递增.又f(x)是定义在R上的偶函数,g(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2=g(x),所以g(x)是定义在R上的偶函数. 由f(x-2)<x2-4x+1,可得f(x-2)-(x-2)2<-3=f(2)-22,即g(x-2)<g(2),由g(x)的单调性和奇偶性,可得|x-2|>2,解得x>4或x<0.故选B. 13.2　f(x)==1+,构造函数g(x)=f(x)-1=,定义域为R, 则g(-x)==-g(x),故g(x)为奇函数, 所以g(x)max+g(x)min=M+N-2=0,所以M+N=2. 14.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)　不等式<0可化为f(x)g(x)<0,由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,∴f(x)g(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1). 综上,不等式<0的解集是(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3). 15.[,+∞)　由题意f(x)=x|x|,其定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又f(x)=x|x|=所以函数f(x)在R上单调递增,则f(x)+f(3x-2)≥0,即f(x)≥-f(3x-2)=f(-3x+2),又函数在定义域上单调递增,所以x≥-3x+2,解得x≥. 16.(,1)　函数f(x)的定义域为R,f(-x)=|-x|-=|x|-=f(x),所以函数f(x)为偶函数, 又因为函数y=|x|,y=-均在[0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在[0,+∞)上单调递增. 由f(x)>f(2x-1),得f(|x|)>f(|2x-1|), 则|2x-1|<|x|,即(2x-1)2<x2,即(3x-1)(x-1)<0,解得<x<1,所以原不等式的解集为(,1). 17.(1)解 f(x)为奇函数. 证明:由已知,函数f(x)的定义域为D={x∈R|x≠0}, 则∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (2)证明任取x1,x2∈(0,+∞),且0<x1<x2, 则x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=, 因为0<x1<x2,所以x1x2>0,x1-x2<0,x1x2+1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)解 因为f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)在[-6,-2]上单调递增,所以当x=-6时,f(x)取得最小值,即f(x)min=f(-6)=-, 当x=-2时,f(x)取得最大值,即f(x)max=f(-2)=-. 1 学科网（北京）股份有限公司 $