3.2.2 奇偶性课后同步练习（提升版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦函数奇偶性，分层设计基础理解、综合应用、拓展探究三层次，从定义判断到性质综合证明，梯度衔接紧密，强化数学推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|奇偶性定义及简单性质|单选直接考查奇偶性判断，夯实概念理解| |综合应用|奇偶性与单调性、不等式综合|多选填空结合定义域值域，深化性质应用| |拓展探究|函数性质综合证明与应用|解答题要求单调性证明、上凸函数论证，培养推理能力|

3.2.2 奇偶性课后同步练习（提升版） 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 2．（2026·浙江·三模）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）设是定义在上的偶函数，且对任意的，有，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北荆州·期中）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）函数是奇函数，且在上单调递减，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·天津·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）（多选）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（   ） A． B．成立的充要条件是 C．若，则 D．，使得 8．（25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·云南昆明·期末）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则下列说法正确的是（    ） A． B．是增函数 C．不等式的解集是 D．当时， 10．（25-26高一上·河南新乡·期中）（多选）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②,，当时，都有；③，则下列说法正确的是（   ） A．的单调递增区间为 B． C．若，则 D．若，则 11．（2026高一·全国·专题练习）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为_____． 12．（25-26高一上·安徽·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是__________.（结果用区间表示） 13．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为_______． 14．（25-26高一上·甘肃张掖·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递减； (3)若，求m的取值范围. 15．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，函数为奇函数． (1)求实数的值及的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使的实数的取值范围． 16．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性课后同步练习（提升版） 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． 2．（2026·浙江·三模）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得， 由是定义在上的偶函数，得， 则，则， 所以， 而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为8. 3．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）设是定义在上的偶函数，且对任意的，有，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单调性的定义判断函数的单调性，结合偶函数的对称性即可求解. 【详解】由题意，对任意的，有， 所以函数在上单调递增，又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递减， 由，得，则， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 当时，需满足，此时函数单调递减，且，解得； 当时，需满足，此时函数单调递增，且，解得； 综上所述，解集为， 故选：D. 4．（25-26高一上·湖北荆州·期中）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理可得且，根据题意结合偶函数对称性分析函数的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，则， 可得，可得且， 因为在上单调递减，且， 可知在上单调递增，且， 当时，则，故； 当时，则，故； 综上：的解集为. 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）函数是奇函数，且在上单调递减，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性与单调性分析即可. 【详解】因为函数是上的奇函数，所以且， 由，且定义域为关于原点对称， 所以函数是上的偶函数，即 又在上单调递减，当时，， 设，则， 因为，所以即， 所以， 即对，有，所以当时，函数在上单调递减， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，由题意，因为， 所以，故B正确； 对于C，由，因为， 所以，故C错误； 对于D，由题意，因为， 所以，故D错误. 6．（25-26高一上·天津·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，并判断其奇偶性及单调性，讨论和两种情况，并结合的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】 因为为奇函数，且定义域为. 所以，且. 令，则的定义域为. 且，且. 所以函数为偶函数，且. 因为对任意的，且，都有不等式，即恒成立， 所以当，即时，，即. 所以函数在上单调递减. 所以函数在上单调递增. 不等式等价于或. 因为，所以. 所以或， 所以或. 故选：D. 7．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）（多选）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（   ） A． B．成立的充要条件是 C．若，则 D．，使得 【答案】ABD 【分析】根据题设条件依次判断函数的奇偶性和单调性，结合选项要求利用函数的单调性、图象对称性和最值分析逐一判断即可. 【详解】定义在上函数的图象是连续的，且满足以下条件： ①，，说明函数是偶函数；②，当时，都有，则函数在上是增函数；③. 对于A，成立，故A正确； 对于B，因 ，解得，故B正确； 对于C，由①得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数， 所以当或时，；当时，， 则等价于或可得，故C错误； 对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值，则，，使得，故D正确. 8．（25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解，根据其解集进行判断. 【详解】对函数， 由或，故函数定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 又时，在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以. 由或. 由或或. 所以不等式组的解集为. 故选：BC 9．（25-26高二上·云南昆明·期末）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则下列说法正确的是（    ） A． B．是增函数 C．不等式的解集是 D．当时， 【答案】ABC 【分析】根据奇偶性可判断A，D选项，根据所求解析式可判断B选项，利用单调性可求解集，判断C选项. 【详解】对于选项A、D：因为是定义域为上的奇函数，所以，且， 令，则，有，所以，故D错误； ，故A正确； 对于选项B：当时，在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数， 所以是定义在上的增函数，故B正确； 对于选项C：不等式转化为，即， 因为在上恒成立，所以，解得，故C正确. 故选：ABC. 10．（25-26高一上·河南新乡·期中）（多选）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②,，当时，都有；③，则下列说法正确的是（   ） A．的单调递增区间为 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据题意先判断的奇偶性和单调性，进而逐项验证即可求解. 【详解】根据题意，函数满足，，则为偶函数， 同时满足，，当时，都有， 则在区间上单调递减， 对于A，由偶函数图象的对称性知，该函数在上单调递增，故A正确； 对于B，因在上单调递减，则，故B错误； 对于C，由为偶函数，且在区间上单调递减， 由 ，解得，故C正确； 对于D，因为， 当时，因函数在上单调递减， 由，得，即时，； 当时，函数在上单调递增， 由，得，即时，， 所以时，，故D正确. 故选：ACD. 11．（2026高一·全国·专题练习）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为_____． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 12．（25-26高一上·安徽·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是__________.（结果用区间表示） 【答案】 【分析】由偶函数定义得的值，及函数在上的单调性，从而知道及的解集，即可求得的解集. 【详解】由题意得，，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，；当或时，. 不等式等价于或，解得或， 所以满足的的取值范围是. 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为转化为代数不等式，再结合的取值范围，求的取值范围. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 当时，， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 又因为函数为奇函数，故该函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，即，时成立. 因为，所以或，所以或. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高一上·甘肃张掖·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递减； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 证明：任取，，且， ， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以在上单调递减； (3) 【分析】（1）由，求解即可； （2）由函数单调性的定义求证即可； （3）由函数的单调性、奇偶性去求解即可. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意， 所以，所以，解得， 所以； （2）略 （3）因为，所以， 所以， 解得，即m的取值范围是. 15．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，函数为奇函数． (1)求实数的值及的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使的实数的取值范围． 【答案】(1)，，定义域为． (2) 在单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即，故在区间上单调递增． (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解参数，进而求出的解析式即可. （2）利用定义法求解函数的单调性即可. （3）对给定的不等式合理变形，进而求解的取值范围即可. 【详解】（1）记， 由条件知对任意成立， 可得，解得， 则， 故，定义域为． （2）略 （3）由，解得， 可得， 而， 则等价于， 故实数的取值范围是． 16．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 【答案】(1)，非奇非偶函数； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令可得的值，根据的定义域即可判断其奇偶性；（2）由当时，可联想到利用换元法求解；（3）根据（2）中的单调性，将已知不等式转化为自变量之间的不等关系，分析法证明. 【详解】（1）因为， 令可得，解得. 因为是定义在上的函数，而不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数. （2）对任意的，且， 令，则， 由知， 所以. 又当时，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增. （3）因为， 所以要证，即证， 由（2）知函数在上单调递增， 所以即证，根据基本不等式知，该不等式恒成立， 所以函数是上的上凸函数． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $