3.2.1 单调性与最大(小)值课后同步练习（提升版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“单调性与最大(小)值”新授课同步练习（提升版），通过基础单选、中档多选填空、提升解答题三层设计，实现从单一性质应用到综合问题解决的进阶，培养数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一单调性判断与参数范围|单选聚焦基础考点，如区间单调性参数求解| |中档提升|函数性质综合应用|多选填空强化推理，如对称与单调结合的性质分析| |综合应用|复杂情境与新定义问题|解答题突出建模，如恒成立问题转化与新定义最值求解|

3.2.1 单调性与最大(小)值课后同步练习（提升版） 1．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 2．（25-26高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑的对称轴与2比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数，对称轴为， 当，即时，此时，使得，满足题意； 当，即时，在上单调递增，在上也单调递增， 要想，且，使得，则，得， 而，矛盾. 综上. 4．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，，此时， 当时，， 所以的最大值为． 因为对任意恒成立， 所以，即， 整理得，用数轴穿根法解得或， 即实数的取值范围是． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 7．（25-26高二下·广东广州·期中）函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合“存在最大值”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得； 若，存在最大值； 若，则当时， 的最大值为， 所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是 8．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到从而求出c的取值范围. 【详解】对于函数， 当时，，当时，， 而，有， 依题意，，又，解得，则. 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意； 当，函数在上单调递增， 则，∴，解得， ∴实数的取值范围是. 故选：A 9．（25-26高一上·河北衡水·期中）（多选）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对称性将自变量变换到区间内，再根据单调性比较大小即可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以， ， 又因为在区间上单调递增，且， 所以， 所以， 所以和正确； 故选：BD 10．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 【答案】CD 【分析】对于A，代入计算函数值即可判断；对于B，分为和分别解出即可判断；对于C，分为和分别解不等式即可判断；对于D，求出的值域即可判断. 【详解】对于A，，，所以，故A错误； 对于B，当时，，解得，符合题意， 当时，，解得或（舍去）， 所以若，则或，故B错误； 对于C，当时，，解得， 当时，，解得或（舍去）， 所以的解集为，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，则， 综上，， 若，则，故D正确. 故选：CD. 11．（25-26高一上·湖南郴州·期末）（多选）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，设函数，下列说法正确的是（    ） A．对任意整数，满足 B．当时，的值域为 C．，有恒成立，则实数 D．若，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对A，设，其中，，分别写出与的值并比较即可； 对B，拆分的区间，分别求出在不同区间的值域，综合即可得到在的值域； 对C，由B可知在的值域，只需令大于这个值域的最大值即可； 对D，设，其中，，对范围分类讨论，即可化简，求出的取值范围. 【详解】对A，设，其中，，则，，A对； 对B，时，，，此时， 同理，时，；时，；时，， 综上，时，，B错； 对C，如前所述，时，，故若，恒成立，则，C对； 对D，设，其中，， 时，， 则可化为，解得，不是整数，舍去； 时，， 则可化为，解得，故 即，D对. 故选：ACD. 12．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 13．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【分析】将不等式转化为，根据对勾函数的单调性求解. 【详解】由题意，对于任意，都有成立， 所以即对于任意恒成立， 所以只需，的最大值与最小值的差小于2即可， 当时，在上单调递减，则， 解得，不合题意； 当时，在上单调递增，则，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上，． 14．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得； （2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 15．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】(1)对进行分类讨论求解不等式； (2)利用分离参数法求k的取值范围； (3)把看作自变量，构造函数，求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 16．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法，令，可得，由转化为为自变量的函数，再将自变量换成，从而得到的解析式. （2）求出，其图象的对称轴方程为.按照对称轴在区间的左中右依次讨论求解. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得，将进行整理得到，由的范围求出的范围，令，则转化为为自变量的函数，则在的范围上单调递减，可以求出，即.根据的表达式，按照，，这三种情况讨论求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）令，可得， 由可得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可得， 其图象的对称轴方程为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以； ②当，即时，函数在上单调递减， 所以； ③当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 综上，. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得 ， 当时，，令， 记，则在上单调递减， 所以，所以. 由（2）可得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得，则和求交集得到. 综上，实数的取值范围为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 单调性与最大(小)值课后同步练习（提升版） 1．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．（25-26高二下·广东广州·期中）函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·河北衡水·期中）（多选）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 11．（25-26高一上·湖南郴州·期末）（多选）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，设函数，下列说法正确的是（    ） A．对任意整数，满足 B．当时，的值域为 C．，有恒成立，则实数 D．若，则实数的取值范围是 12．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 13．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 14．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 15．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 16．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $