1.1 探索勾股定理 课前预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理核心概念，通过基础计算、情境应用到综合拓展的三阶设计，强化运算能力与模型意识，适配新授课课前预习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理基本计算、概念辨析|如单选2直接考查边的平方关系，解答16纯公式应用，夯实运算能力| |能力提升|图形面积转化、情境建模|如单选7红莲问题列方程，填空14古算诗应用，培养模型意识| |综合拓展|定理证明、跨图形综合|如解答18梯形拼图证定理，单选10正方形面积规律探究，发展推理与创新意识|

1.1 探索勾股定理 课前预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（    ） A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2 3．如图，点、、在同一条直线上，阴影部分是一个正方形，连接，则该正方形的面积为（    ） A．3 B．9 C．16 D．25 4．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 5．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 6．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（    ） A．8 B． C．10 D．12 7．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，则水深AC为（    ） A．3尺 B．3.5尺 C．3.75尺 D．4尺 8．如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬最短的路程（取3）是（　　）． A．7 B．13 C．11 D．9 9．如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成了一个正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长，有下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 10．如图，正方形的面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，两个较大正方形的面积分别为64和113，则字母所代表的正方形的边长是_____． 12．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是______．    13．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．直角三角形的直角边长为、，斜边长为．若，，则的值为_______． 14．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 15．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为___________．    三、解答题 16．在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边． (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 17．如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，试求正方形A的面积？ 18．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 19．暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8，又往北走2，遇到障碍后又往西走3，再折向北走6处往东一拐，仅1就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？    20．如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B C C C B D D 1．【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 2．【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】利用勾股定理即可得到结果． 【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 则根据勾股定理得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 3．【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再根据正方形的面积为，进行解答即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在中，、， 由勾股定理得， 因此正方形的面积为， 故选：B． 4．【答案】B 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是找出七巧板中大直角三角形的直角边长关系，结合勾股定理求出直角边长度，再分析火箭高度的组成部分计算结果． 【详解】解：设七巧板中大直角三角形的短直角边为，长直角边为， 根据图2，正中心正方形的边长， ∴． ∵大正方形的边长为直角三角形的斜边，即， ∴， 即，解得，则． 观察火箭图案可知，火箭的高度； 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离、最短路径问题、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】 解：侧面展开图如图所示： 可以把和展开到一个平面内，则线段的长表示蚂蚁从点爬到点处吃食的最短路程． 根据圆柱的半个侧面是矩形： 矩形的长，矩形的宽， ∴在直角三角形中，． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，解答此类问题的关键应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况利用两点之间，线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题． 9．【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键． 根据直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【详解】解：①∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故本选项正确； ②由图可知，，故本选项正确； ③由可得①， 又∵②， ∴得，， 整理得，， ，故本选项错误； ④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即；故本选项正确． ∴正确结论有①②④． 故选：D． 10．【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理，找出规律是解题的关键．设正方形的边长为，求出找出规律，则，即可得出结论． 【详解】 解：如图，设正方形的边长为， 则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， ， 同理，， 则， ， ． 故选：D． 11．【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形的面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去较小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． ∴字母A所代表的正方形的边长为 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】先由正方形A的边长得到正方形A的面积，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形A的边长为， ∴正方形A的面积为45， ∴，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，熟记公式是关键． 13．【答案】14 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理，理解大正方形面积为是解题关键．根据图象可得，，得出，，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：根据图象可得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案为：14． 14．【答案】 【知识点】列方程、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性． （1）利用勾股定理计算c边的长； （2）利用勾股定理计算a边的长； 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， 17．【答案】136 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键 ． 根据勾股定理可得，，计算即可． 【详解】解：三角形是直角三角形， 两直角边的平方和等于斜边的平方， 即， ． 故答案为： ． 18．【答案】 证明： ，， ， 即． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明， 首先求出，然后利用梯形的面积得到，进而求解即可． 【详解】略 19．【答案】登陆点到宝藏处的距离为10千米 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】 解：过点作于点， 根据题意可知，千米，千米， 在中，由勾股定理得千米， 答：登陆点到宝藏处的距离为10千米．      【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 20．【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析，② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由“商高定理”得出； （2）由“商高定理”得出，，则，，即可得出结论； （3）①连接，设交于交于，由正方形的性质得出，证出，由证得； ②由，得出，则，得出，由（2）可得，由勾股定理得出，推出，代入 ，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：在中，， ∴， 同理：， ∴， ∴； （3）①证明：连接，设交于，交于，如图所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， ∴， ∵， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的知识；熟练掌握全等三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $