第五章 三角函数限时训练卷02-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学三角函数单元复习卷，含选择（11题58分）、填空（3题15分）、解答（5题77分），融合不同学段典型题，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|三角函数定义、诱导公式、图像对称性|结合图像辨析单调性（题3），多条件判断奇偶性（题9）| |填空题|3/15|图像变换、零点问题|坐标变换后最值问题（题13），方程根的个数讨论（题14）| |解答题|5/77|解三角形、函数解析式、物理应用|多条件选做确定函数（题16），摩天轮高度模型（题6），物理周期问题（题17）|

第五章 三角函数限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·全国·专题训练）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，① ∴两边平方得，， 又，∴，， 又∵， ∴，② 由①②联立解得，， ∴. 2．（25-26高一下·全国·专题训练）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，又，则， 所以. 3．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据题意，分析函数的最小正周期、对称轴、对称中心，单调减区间，再分别验证即可得解. 【详解】对于①，函数的最小正周期为， 则函数恒满足，故①正确； 对于②，由， 则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确； 对于③，由， 则点不是函数图象的一个对称中心，故③错误； 对于④，令，即， 当时，函数的单调减区间为，故④正确. 4．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（），且.若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由求，再化简为，最后用余弦函数单调性求递增区间. 【详解】由且 得 ，则， 那么，， ，令 ， ， 则，故选C. 5．（25-26高二下·广东·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解法一：由可得， 由得， 则，则， 由于，则. 解法二：由已知可得，则， 于是，即， 由于，则或， 若，则，则，，此时，都存在； 则； 若，即，则，矛盾，舍去. 6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 7．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（   ） A． B．函数为奇函数 C．若函数在区间上至少有4个零点，则 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及求出，由求出的取值，再根据周期确定的值，即可得到函数解析式，即可判断A，根据图象变换结合奇偶性判断B；根据题意以为整体，结合正弦函数性质分析判断CD. 【详解】因为（其中、）， 由题意可知：，且，解得， 则， 又因为，即， 结合图象可知，解得， 且，则，解得， 所以，可知，故A正确； 所以， 对于选项B：为奇函数，故B正确； 对于选项C：因为，则， 由题意可得：，解得，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且在内不单调，所以在区间上不单调，故D错误； 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型． 8．（2026·天津·模拟预测）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的解析式，换元，画出函数图象，数形结合得到的取值范围，并分两种情况，结合函数对称性得到方程，求出答案. 【详解】因为图象的两个相邻对称中心之间的距离为， 所以的最小正周期为， 又，所以，解得，故， 因为为函数的对称中心，所以， 所以，解得， 因为，所以只有满足要求，故， ，故， 画出在上的函数图象，如下： 有且只有两个不同的实数根， 则方程有且只有两个不同的实数根， 则与的图象仅有两个交点， 所以且， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 则的所有可能取值构成的集合为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．曲线的一条对称轴为 D．将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 【答案】AB 【分析】根据条件，利用倍角公式和辅助角公式得到，即可判断A和B的正误；对C，直接求出的对称轴，即可求解；对D，直接求出平移后的函数，再由奇偶函数的判定，即可求解. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，的最大值为，故A和B正确， 对于C，由，得到， 所以不是的对称轴，故C错误， 对于D，将的图象向右平移个单位长度后得， 又，所以不是偶函数，故D错误. 10．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．若，，则在区间上单调递增 C．若，，则的图象关于点对称 D．若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 【答案】BCD 【分析】求出函数的定义域，可判断A选项；利用正切型函数的单调性可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；令，求出前三个零点的和，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由于，由得， 故函数的定义域为，A错； 对于B选项，若，，则， 当时，，故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，若，，则， 所以，故的图象关于点对称，C对； 对于D选项，若，则， 因为，当时，， 令，则， 因为，则， 因为，所以函数在区间不同零点共有个，D对. 11．（25-26高一下·贵州六盘水·阶段检测）已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】首先得到，即可求出函数的最小正周期，求出，即可判断A，再由判断B，求出函数在上的值域，即可判断C，结合函数解析式及正弦函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为 因为函数的最小正周期为； 则函数的最小正周期为， 所以的最小正周期为，所以，则， 此时，则 ，符合题意，故A正确； 对于B：因为， 则， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：因为的最小正周期为，所以只需研究函数在上的值域即可， 当，则，此时， 则，所以，所以； 即的值域为，故C错误； 对于D：当时，则， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河南·一模）已知∈（0，），且满足，，则______. 【答案】/ 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 13．（25-26高一上·广东深圳·期末）将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用图象的平移变换得，结合条件得在区间上没有对称轴，从而得，即可求解. 【详解】由题意知， 由，得，由题意知在区间上没有对称轴， 则，即， 解得，由，得，又， 当时，；当时，；当时无解， 综上所述，. 故答案为：. 14．（25-26高一下·全国·专题训练）已知函数，若方程在上恰好个实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求出函数的奇偶性，结合已知条件求出时的解析式，结合偶函数性质作出函数大致图象，结合图象求出实数的取值范围． 【详解】函数定义域为R， ， 函数为偶函数， 对，当时， ，， 结合偶函数的性质，作出在上的大致图象如下， 由图象知，与在恰好有4个交点，则． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·四川达州·期中）（1）求值：； （2）设，且，求角的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，准确运算，即可求解； （2）根据题意，分别求得，，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）由 . （2）因为，且， 可得， 因为，可得， 所以， 又因为，所以. 16．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到. 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； 【详解】（1）①，由，得； ②，由是的对称中心，得， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，， 则，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. （2）由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 17．（25-26高一下·全国·单元测试）已知某物理现象符合函数的关系式，试求： (1)该物理现象重复一次出现的周期以及最大值； (2)求该函数的零点的集合； (3)若对于恒成立，求的最小值． 【答案】(1)，最大值为1． (2)或 (3) 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式以及正弦函数的最值即可求得答案； （2）令，结合正弦函数的零点，即可求得答案； （3）由，确定，进而求出，结合题意可确定的范围，即可求得答案. 【详解】（1）由， 可得其最小正周期， 当，即时，函数的最大值为1． （2）由，得，所以或， 即或， 故函数的零点的集合为或． （3）因为，所以，所以，则， 因为对于恒成立，所以且， 若使最小，则当且时，为的最小值． 18．（25-26高一下·河南新乡·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若，恒有，求实数的最小值； (3)若，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先由图象最值确定振幅，再代入已知点坐标结合的取值范围求解，最后代入最高点的坐标，结合周期的取值范围确定，即可得到函数的解析式. （2）先求解时的值域，，恒成立等价于在该区间上的最大值与最小值的差不大于，据此可求得的最小值. （3）先求解时的取值范围，通过换元将原不等式转化为二次函数在上的恒成立问题，结合二次函数的图象性质，只需区间端点处函数值小于等于0即可求解的取值范围. 【详解】（1）由题意得，所以．       因为的图象经过点，代入可得或，， 又，所以．          再将代入，可得， 解得，．          设的最小正周期为，观察图象可得，解得， 结合式可得，所以． （2）若，则，， 所以．          要使对任意的，恒有，只需， 即，故的最小值为． （3）若，则，所以．    令，则，，恒成立，等价于，恒成立，             所以 解得，即实数的取值范围为． 19．（25-26高一下·北京·期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 2 (1)填写表中的空格，并直接写出的解析式； (2)将图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象．若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； 0 0 2 0 0 (2) 【分析】（1）结合题意与正弦函数性质建立方程求解参数，得到函数解析式，再逐步求出函数值补全表格即可. （2）将给定式子转化为，再分别求解左右两侧的最小值，建立不等式，得到参数范围即可. 【详解】（1）由题意得，则， 而，解得，，则解析式为， 当时，解得，此时， 当时，解得，此时， 当时，此时，则补全后的表格如下， 0 0 2 0 0 （2）若存在，使得对任意， 都有成立， 则， 由已知得，因为， 所以，则， 得到，可得， 将图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 再将所得图象上各点向右平移个单位长度，可得， 则，且令， 则， 令，由二次函数性质得对称轴为， 由题意得，则，即， 当时，解得，此时在上单调递增， 且，得到，解得，矛盾，故排除； 当时，解得， 此时， 可得，解得，符合题意； 当时，解得，此时在上单调递减， 而，可得，解得，矛盾，故排除， 综上可得，实数的取值范围为. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·全国·专题训练）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·专题训练）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 4．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（），且.若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．1 6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 7．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（   ） A． B．函数为奇函数 C．若函数在区间上至少有4个零点，则 D．在区间上单调递增 8．（2026·天津·模拟预测）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．曲线的一条对称轴为 D．将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 10．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．若，，则在区间上单调递增 C．若，，则的图象关于点对称 D．若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 11．（25-26高一下·贵州六盘水·阶段检测）已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河南·一模）已知∈（0，），且满足，，则______. 13．（25-26高一上·广东深圳·期末）将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是______. 14．（25-26高一下·全国·专题训练）已知函数，若方程在上恰好个实数根，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·四川达州·期中）（1）求值：； （2）设，且，求角的值. 16．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到. 17．（25-26高一下·全国·单元测试）已知某物理现象符合函数的关系式，试求： (1)该物理现象重复一次出现的周期以及最大值； (2)求该函数的零点的集合； (3)若对于恒成立，求的最小值． 18．（25-26高一下·河南新乡·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若，恒有，求实数的最小值； (3)若，恒有，求实数的取值范围． 19．（25-26高一下·北京·期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 2 (1)填写表中的空格，并直接写出的解析式； (2)将图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象．若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $