高中数学单元测试——第五章三角函数（较易版02）

**基本信息** 本卷为高中数学三角函数单元较易版测试，覆盖三角函数定义、图像变换、性质及应用，通过基础题与情境应用题结合，适配单元复习巩固，培养数学眼光与建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|终边相同角、定义域、三角函数定义|基础概念辨析，强化抽象能力| |多选题|3题18分|三角函数性质（周期、对称）、新定义函数|多角度考查推理意识，体现创新性| |填空题|3题15分|两角和差公式、函数值域、开放型函数设计|灵活应用知识，培养创新意识| |解答题|5题77分|五点法作图、函数最值与零点、摩天轮高度建模|综合考查几何直观与模型意识，如摩天轮问题体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第五章 三角函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）设，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（本题5分），则的值为（ ） A． B． C． D． 7．（本题5分）把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．曲线关于点中心对称 C．的最大值为 D．曲线关于直线对称 11．（本题6分）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（    ） A．将图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 B．在区间上的所有零点之和为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有且仅有5个极大值点 三、填空题 12．（本题5分）已知(均是锐角),则的值为_______. 13．（本题5分）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______. 14．（本题5分）写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________． ①为偶函数；②关于中心对称；③在上的最大值为3． 四、解答题 15．（本题13分）用“五点法”作出下列函数的简图． (1)； (2)． x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 1－sinx 1 0 1 2 1 x 0 π 2π cosx 1 0 －1 0 1 －1＋cosx 0 －1 －2 －1 0 16．（本题15分）已知函数，． (1)求的最大值及取得最大值时的值； (2)直接写出方程的所有根的和． 17．（本题15分）已知函数． (1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域． 18．（本题17分）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 19．（本题17分）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 三角函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将角化成角度，并写出与其终边相同的角的形式，通过各选项的角依次检验即得. 【详解】因为，而与终边相同的角可表示为， 对于A，因，不是的整倍数，故A错误； 对于B，因，不是的整倍数，故B错误； 对于C，因，不是的整倍数，故C错误； 对于D，因，是的整倍数，故D正确. 故选：D. 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体代入法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D 3．（本题5分）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】角的终边过点，所以， 所以. 故选：D 4．（本题5分）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据商数关系和平方关系求解即可. 【详解】，所以， 解得或（舍）， 故选：B. 5．（本题5分）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数性质求解作答. 【详解】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，， 于是扇形的面积， 即当时，，此时， 所以所求圆心角的弧度为. 故选：B 6．（本题5分），则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式及同角的三角函数关系式化简求得，再利用二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得， 因为，代入可得， 即，故， 则. 故选：D. 7．（本题5分）把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】得到的解析式后，结合正弦函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得， 又的图象关于点对称， 则，，解得，， 则，，又， 则当时，有最小值. 故选：B. 8．（本题5分）已知，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，代入得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意得， 可得， . 令， 则，当且仅当，即时，等号成立. 而是锐角，则. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用诱导公式求解A选项，利用同角三角函数平方关系求解B选项，再利用同角三角形函数的商数关系求解C选项，利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求解D选项. 【详解】A选项，由诱导公式得：，A正确； B选项，因为，且为第二象限角，，所以，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：AB 10．（本题6分）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．曲线关于点中心对称 C．的最大值为 D．曲线关于直线对称 【答案】ACD 【分析】化简，根据正弦型三角函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由条件可得， 选项A：的最小正周期为，故A正确； 选项B：令，解得， 所以无论k取任何整数，x都不能为，故B错误； 选项C：的最大值为，故C正确； 选项D：令，解得， 令，解得， 所以直线为的一条对称轴，故D正确. 故选：ACD 11．（本题6分）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（    ） A．将图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 B．在区间上的所有零点之和为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有且仅有5个极大值点 【答案】ABC 【分析】根据三角函数的定义及“正余弦函数”的定义求出的解析式，在根据正弦函数的性质一一分析即可. 【详解】因为，， 所以 ， 对于A：将图象向右平移个单位长度得到， 为奇函数，函数图象关于原点对称，故A正确； 对于B：令，即，解得， 又，所以或或或， 所以在区间上的所有零点之和为，故B正确； 对于C：由，所以，所以在上单调递减，故C正确； 对于D：由，则，令，解得， 所以在区间上的极大值点有，，，共个，故D错误； 故选：ABC 三、填空题 12．（本题5分）已知(均是锐角),则的值为_______. 【答案】 【分析】先求出的值，再求的范围，再求出的值. 【详解】由题得， 因为均是锐角， ， 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查和角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 13．（本题5分）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出、的解后结合值域可求的取值范围. 【详解】令，则，，故存在，使得， 令，则，， 因为值域为，故或， 若，则； 若，则； 故， 故答案为： 14．（本题5分）写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________． ①为偶函数；②关于中心对称；③在上的最大值为3． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，选择三角函数，根据对称性和最值，选择.要注意答案不唯一. 【详解】由题意：函数为偶函数，所以关于y轴对称，又关于中心对称，且在上的最大值为3， 所以可以取三角函数（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 15．（本题13分）用“五点法”作出下列函数的简图． (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）分别取的值为，列表、描点、连线，可得出函数的图象； （2）分别取的值为，列表、描点、连线，可得出函数的图象； 【详解】（1）①取值列表如下： x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 1－sinx 1 0 1 2 1 ②描点连线，如图所示.    （2）①取值列表如下： x 0 π 2π cosx 1 0 －1 0 1 －1＋cosx 0 －1 －2 －1 0 ②描点连线，如图所示．    16．（本题15分）已知函数，． (1)求的最大值及取得最大值时的值； (2)直接写出方程的所有根的和． 【答案】(1)当时，. (2). 【分析】（1）化简得，求出的范围，即可得到最值. （2）求出两根关于对称，则得到两根之和. 【详解】（1） 当时，， 则当，即，此时. （2）令，解得， 当时，，在上递增，函数值从增大到2，在上递减，函数值从2减小到1， 根据对称性知的所有根的和为. 17．（本题15分）已知函数． (1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域． 【答案】(1)最小正周期为；振幅为；初相为；对称轴方程为. (2) 【分析】（1）根据正弦函数的性质来求解最小正周期、振幅、初相和对称轴方程. （2）先根据平移规律得到的表达式，再结合的取值范围求解其值域. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为；振幅为；初相为； 对称轴方程为，解得. （2）由题意知，. 因为，所以，所以. 所以. 故函数的值域为. 18．（本题17分）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，以及以为终边的角、角速度，由此可得出关于的函数解析式； （2）当时，解不等式，求出的取值范围，即可得解； （3）经过后，甲距离地面的高度为关于的表达式，乙距离地面的高度为关于的表达式，即可得出的表达式，再结合和差化积公式以及正弦型函数的有界性可求得结果. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中，由，则， 令，可得， 解得或者． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为． （3）由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示， 不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后，此时距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入， 得， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 19．（本题17分）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； （2）解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； （3）解：当，，时，则， 可得，则， 其中且，于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $