17.1 用提公因式法分解因式 课时作业 2026-2027学年人教版数学 八年级 上册

### **基本信息** 同步练，初中数学新授课，聚焦用提公因式法分解因式。以3课时递进设计，通过概念辨析-基础运算-综合应用的路径，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 ### **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |第1课时|因式分解的意义、与整式乘法的关系|通过选择填空判断变形是否为因式分解，强化概念本质，培养抽象能力| |第2课时|公因式为单项式的提公因式法|设置分解因式解答题及简便计算，巩固提取公因式步骤，发展运算能力| |第3课时|公因式为多项式、分组提公因式|含符号转化及实际应用题型，提升综合运用能力，体现推理意识|

人教版数学八年级上册 第十七章　因式分解 17.1　用提公因式法分解因式　·　课时作业（含答案与解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 【作业说明】本作业依据人教版数学八年级上册第十七章 17.1「用提公因式法分解因式」编写，共设三个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　因式分解的意义； 第 2 课时　提公因式法（公因式是单项式）； 第 3 课时　提公因式法的综合（公因式是多项式、整体思想）。 说明：本节只学提公因式法，公式法将在 17.2 中学习，因此本节题目在提取公因式后不再要求继续用公式分解；分解结果必须是几个整式的积。 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法互为逆过程 17.1　用提公因式法分解因式 第 1 课时　因式分解的意义 一、知识梳理 1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 2. 因式分解与整式乘法的关系：两者互为逆过程。 整式乘法：由积到和；　　因式分解：由和到积。 可以用整式乘法来检验因式分解的结果对不对。 3. 判断是否为因式分解的三个要点： ① 左边必须是多项式； ② 右边必须是几个整式的乘积（不能有加号、减号连接的最外层结构）； ③ 分解前后必须恒等（可用乘法验证）。 4. 常见的判断举例： 哪些是因式分解，哪些不是 5. 因式分解的要求：必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 【易错警示】 ① 结果中不能出现加号或减号作为最外层运算，如 x² + x = x(x + 1) + 0 不是因式分解。 ② 因式分解的对象是多项式，单项式不需要分解。 ③ 因式分解与整式乘法方向相反，不要把 (x + 1)(x - 1) = x² - 1 说成因式分解（它是整式乘法）。 ④ 分解要彻底，每个因式都不能再分。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. (x + 1)(x - 1) = x² - 1　　　　　　B. x² - 1 = (x + 1)(x - 1) C. x² + 2x + 1 = x(x + 2) + 1　　　　 D. x² + x = x² (1 + ) 2. 因式分解是把一个多项式化成（　　）的形式 A. 几个整式的和　　B. 几个整式的差　　C. 几个整式的积　　D. 几个单项式的和 3. 下列各式中，不是因式分解的是（　　） A. 2a + 2b = 2(a + b)　　　　　　　　 B. m² - 4 = (m + 2)(m - 2) C. x² + 3x = x(x + 3)　　　　　　　　 D. a(a + 1) = a² + a 4. 因式分解与整式乘法的关系是（　　） A. 相同的变形　　B. 互为逆过程　　C. 没有关系　　D. 都由积到和 5. 已知 x² + mx - 6 = (x + 3)(x - 2)，则 m 的值是（　　） A. 1　　B. -1　　C. 5　　D. -5 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 把一个 ________ 化成 ____________ 的形式，这种变形叫做因式分解。 7. 因式分解与整式乘法互为 ____________，可以用 ____________ 来检验因式分解是否正确。 8. 若 6x² - 3x = 3x(　　　)，则括号内应填 ____________。 9. 若 (x + 2)(x + a) = x² + 5x + 6，则 a = ________。 10. 判断：a² - 2a + 1 = (a - 1)² 是因式分解吗？答：________（填「是」或「不是」）。 （三）解答题（共 60 分） 11.（16 分）判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解，是的打「√」，不是的打「×」并说明理由。 (1) 3a + 3b = 3(a + b)　（　　） (2) x² - 4 = (x + 2)(x - 2)　（　　） (3) (a + 1)(a - 1) = a² - 1　（　　） (4) 2x² + 4x = 2x(x + 2) + 0　（　　） 12.（14 分）用整式乘法检验下列因式分解是否正确，不正确的请改正。 (1) 4a - 8 = 4(a - 8)； (2) 3x² + 6x = 3x(x + 2)； (3) 5m² - 10m = 5m(m - 2)。 13.（14 分）已知多项式 x² + px + q 可以分解成 (x + 2)(x + 5)。 (1) 把 (x + 2)(x + 5) 展开并整理； (2) 求 p、q 的值； (3) 求 p + q 的值。 14.（16 分）阅读与思考。 小明说：「因式分解就是把多项式拆开写。」 小华说：「因式分解的结果一定是几个整式相乘。」 (1) 你认为谁的说法准确？ (2) 请举一个例子说明另一个人的说法为什么不准确； (3) 用一句话概括「怎样判断一个变形是不是因式分解」。 17.1　用提公因式法分解因式 第 2 课时　提公因式法（公因式是单项式） 一、知识梳理 1. 公因式：一个多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，就可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 用式子表示：ma + mb + mc = m(a + b + c)。 3. 几何解释： 提公因式法的面积解释 4. 确定公因式的三步： 确定公因式的方法 简记为：系数取最大公因数，字母取相同的，指数取最低的。 5. 提公因式的步骤： ① 定：确定公因式； ② 提：把公因式写在括号外； ③ 除：用原多项式的每一项除以公因式，商写在括号内； ④ 查：用乘法检验，并看括号内能否再分解。 【易错警示】 ① 不要漏项：当某一项恰好就是公因式时，提出后括号内应留 1，如 2a² + 2a = 2a(a + 1)，不能写成 2a(a)。 ② 符号要对：首项为负时，通常把负号一起提出，如 -3x + 6 = -3(x - 2)，括号内每一项都变号。 ③ 公因式要提最大的：6a²b + 9ab² 的公因式是 3ab，不是 ab。 ④ 提完后要检验括号内是否还能继续分解。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 多项式 4a² + 6ab 各项的公因式是（　　） A. 2a　　B. 2ab　　C. a　　D. 2a² 2. 把 3x² - 6x 分解因式，结果是（　　） A. 3x(x - 2)　　B. 3(x² - 2x)　　C. x(3x - 6)　　D. 3x(x - 6) 3. 把 2a² + 2a 分解因式，结果是（　　） A. 2a(a)　　B. 2a(a + 1)　　C. 2a(a + 0)　　D. 2(a² + a) 4. 把 -4x² + 8x 分解因式，结果是（　　） A. -4x(x - 2)　　B. -4x(x + 2)　　C. 4x(x - 2)　　D. -4(x² - 8x) 5. 多项式 6a³b² - 9a²b³ + 12a²b² 各项的公因式是（　　） A. 3ab　　B. 3a²b²　　C. 3a³b³　　D. a²b² （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 一个多项式中 ____________ 的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 7. 确定公因式时，系数取各项系数的 ____________，字母取各项都含有的 ________，指数取相同字母的 ____________。 8. 分解因式：5x + 10 = ____________。 9. 分解因式：a² - a = ____________。 10. 分解因式：-6m²n + 9mn² = ____________________。 （三）解答题（共 60 分） 11.（20 分）把下列各式分解因式。 (1) 3a + 6b；　　　　　　　　　(2) 4x² - 8x； (3) 5m²n + 10mn²；　　　　　　 (4) 6a²b - 9ab² + 3ab； (5) -2x³ + 4x² - 6x。 12.（14 分）用简便方法计算下列各题（先分解因式，再求值）。 (1) 3.14 × 2.7 + 3.14 × 7.3； (2) 25² - 25 × 15； (3) 2024 × 2023 - 2024 × 2022。 13.（12 分）先分解因式，再求值。 (1) 3a² - 6a，其中 a = 4； (2) 2xy² - 4x²y，其中 x = 2，y = -1。 14.（14 分）小明在分解因式 4a²b - 6ab² 时，写出的结果是 2ab(2a - 3b)；小华写出的结果是 ab(4a - 6b)。 (1) 两人的结果都能通过乘法检验吗？ (2) 谁的分解才算完成？为什么？ (3) 由此说出提公因式时对公因式的要求。 17.1　用提公因式法分解因式 第 3 课时　提公因式法的综合运用 一、知识梳理 1. 公因式是多项式的情形：把整个多项式看作一个整体，当作一个「字母」来提取。 例如：a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)，这里的公因式是 (x + y)。 2. 符号的转化（本课时的难点）： (b - a) = -(a - b)（一次方，变号）； (b - a)² = (a - b)²（偶次方，不变号）； (b - a)³ = -(a - b)³（奇次方，变号）。 利用这三条可以把不同的括号统一成同一个因式。 3. 分组后提公因式：当四项式没有公共的公因式时，可以先两两分组，各组分别提公因式，再提整体的公因式。 例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)。 4. 因式分解的一般步骤（本章总纲）： 因式分解的一般步骤 本节只学「一提」这一步，「二套」将在 17.2 中学习。 5. 提公因式法的常用场合：简便计算、化简求值、证明整除性问题等。 【易错警示】 ① 把多项式当整体提取时，一定要加括号：写成 (x + y)(a + b)，不能写成 x + y(a + b)。 ② 变号时只有奇次方要变号，偶次方不变号。 ③ 分组时要分得合理，使每组都能提出公因式，并且提完后剩下的括号相同。 ④ 分组后如果括号不同，可以调整分组方式，或利用变号统一。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 多项式 a(x - y) + b(x - y) 各项的公因式是（　　） A. a　　B. b　　C. (x - y)　　D. (a + b) 2. 把 m(a - 3) - 2(a - 3) 分解因式，结果是（　　） A. (a - 3)(m - 2)　　B. (a - 3)(m + 2)　　C. (a + 3)(m - 2)　　D. m - 2 3. 下列变形中正确的是（　　） A. (b - a) = (a - b)　　　　　　　　　B. (b - a)² = -(a - b)² C. (b - a)³ = (a - b)³　　　　　　　　D. (b - a) = -(a - b) 4. 把 x(a - b) + y(b - a) 分解因式，结果是（　　） A. (a - b)(x + y)　　B. (a - b)(x - y)　　C. (a + b)(x - y)　　D. (b - a)(x + y) 5. 把 ax + ay + bx + by 分解因式，结果是（　　） A. a(x + y) + b(x + y)　　　　　　　　B. (x + y)(a + b) C. (a + x)(b + y)　　　　　　　　　　 D. x(a + b) + y(a + b) （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 分解因式：a(m + n) + b(m + n) = ____________________。 7. 填空：(y - x)² = ________ (x - y)²；(y - x)³ = ________ (x - y)³（填「+」或「-」）。 8. 分解因式：3(x - 2) - x(x - 2) = ____________________。 9. 分解因式：am + an + bm + bn = ____________________。 10. 分解因式：2a(x - y) - 3b(y - x) = ____________________。 （三）解答题（共 60 分） 11.（20 分）把下列各式分解因式。 (1) x(a + b) + y(a + b)；　　　　(2) 2m(x - 3) - n(x - 3)； (3) a(x - y) - b(y - x)；　　　　(4) 3(m - n)² + 6(m - n)； (5) ax - ay + bx - by。 12.（14 分）已知 a + b = 5，ab = 3，求下列各式的值（先分解因式，再整体代入）。 (1) a²b + ab²； (2) 2a²b + 2ab²； (3) a²b + ab² - 3ab。 13.（12 分）用简便方法计算。 (1) 3.6 × 105 - 3.6 × 5； (2) 12 × ( + ) - 12 × ； (3) 2025² - 2025 × 2024。 14.（14 分）如图，一块长方形铁皮的宽是 m，长被分成 a 与 b 两段（单位：cm）。 第 14 题图 (1) 用两种方法表示这块铁皮的面积； (2) 由(1)写出一个等式，它体现的是哪一种因式分解的方法？ (3) 当 m = 8，a = 6.5，b = 3.5 时，用较简便的方法求这块铁皮的面积。 参考答案与解析 第 1 课时　因式分解的意义 一、选择题 1. B　【解析】A 是由积到和，属于整式乘法；C 右边最外层是加号，不是积； D 中 (1 + ) 不是整式（分母含字母）。只有 B 把多项式化成了两个整式的积。 2. C　【解析】因式分解的定义就是化成几个整式的积。 3. D　【解析】D 是由积到和，属于整式乘法，不是因式分解。 4. B　【解析】因式分解由和到积，整式乘法由积到和，两者互为逆过程。 5. A　【解析】(x + 3)(x - 2) = x² + x - 6，与 x² + mx - 6 比较得 m = 1。 二、填空题 6. 多项式；几个整式的积 7. 逆过程；整式乘法 8. 2x - 1 【解析】6x² ÷ 3x = 2x，-3x ÷ 3x = -1，故括号内是 2x - 1。 9. 3 【解析】(x + 2)(x + a) = x² + (a + 2)x + 2a = x² + 5x + 6，由 2a = 6 得 a = 3。 10. 是 【解析】左边是多项式，右边 (a - 1)² = (a - 1)(a - 1) 是两个整式的积，符合因式分解的定义。 三、解答题 11.（1）√。左边是多项式，右边是 3 与 (a + b) 的积。 （2）√。右边是两个一次式的积。 （3）×。这是由积到和，属于整式乘法，方向相反。 （4）×。右边最外层是加号（还加了 0），不是几个整式的积； 正确写法应是 2x² + 4x = 2x(x + 2)。 12.（1）不正确。检验：4(a - 8) = 4a - 32 ≠ 4a - 8。 改正：4a - 8 = 4(a - 2)。 （2）正确。检验：3x(x + 2) = 3x² + 6x。 （3）正确。检验：5m(m - 2) = 5m² - 10m。 13.（1）(x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10。 （2）与 x² + px + q 比较，对应项系数相等：p = 7，q = 10。 （3）p + q = 7 + 10 = 17。 14.（1）小华的说法准确。 （2）小明说「拆开写」不准确。反例：x² + 2x + 1 = x(x + 2) + 1， 虽然也把多项式「拆」了，但右边最外层是加号，不是积，所以不是因式分解。 （3）判断方法：看左边是不是多项式、右边是不是几个整式相乘、两边是否恒等，三条都满足才是因式分解。 第 2 课时　提公因式法（公因式是单项式） 一、选择题 1. A　【解析】系数 4 与 6 的最大公因数是 2；两项都含 a，a 的最低次数是 1；b 只在第二项中，不能取。 所以公因式是 2a。 2. A　【解析】公因式是 3x，3x² ÷ 3x = x，-6x ÷ 3x = -2，结果是 3x(x - 2)。 B、C 都没有提到最大的公因式，分解不彻底。 3. B　【解析】公因式是 2a，2a ÷ 2a = 1，括号内要留 1，结果是 2a(a + 1)。 4. A　【解析】首项为负，把 -4x 一起提出，括号内各项变号：-4x² + 8x = -4x(x - 2)。 5. B　【解析】系数 6、9、12 的最大公因数是 3；a 的最低次数是 2，b 的最低次数是 2。 所以公因式是 3a²b²。 二、填空题 6. 各项都含有 7. 最大公因数；相同字母；最低次数 8. 5(x + 2) 9. a(a - 1) 10. -3mn(2m - 3n) 【解析】公因式是 3mn；首项为负，连同负号提出，括号内各项变号：-6m²n ÷ (-3mn) = 2m，9mn² ÷ (-3mn) = -3n。 三、解答题 11.（1）3a + 6b = 3(a + 2b)。 （2）4x² - 8x = 4x(x - 2)。 （3）5m²n + 10mn² = 5mn(m + 2n)。 （4）6a²b - 9ab² + 3ab = 3ab(2a - 3b + 1)。 （注意第三项 3ab ÷ 3ab = 1，括号内不能漏掉 1） （5）-2x³ + 4x² - 6x = -2x(x² - 2x + 3)。 12.（1）原式 = 3.14 × (2.7 + 7.3) = 3.14 × 10 = 31.4。 （2）原式 = 25 × (25 - 15) = 25 × 10 = 250。 （3）原式 = 2024 × (2023 - 2022) = 2024 × 1 = 2024。 【方法总结】这三题都是把公因数提出来，与提公因式法完全同理，能大大简化计算。 13.（1）3a² - 6a = 3a(a - 2)； 当 a = 4 时，原式 = 3 × 4 × (4 - 2) = 12 × 2 = 24。 （2）2xy² - 4x²y = 2xy(y - 2x)； 当 x = 2，y = -1 时，原式 = 2 × 2 × (-1) × [(-1) - 2 × 2] = -4 × (-5) = 20。 14.（1）都能通过乘法检验： 2ab(2a - 3b) = 4a²b - 6ab²；ab(4a - 6b) = 4a²b - 6ab²，两个结果展开后都等于原式。 （2）小明的分解才算完成。 因为小华提出的 ab 不是最大的公因式，括号内的 (4a - 6b) 还含有公因数 2，可以继续提取，分解不彻底。 （3）提公因式时必须提取最大的公因式，使括号内各项不再含有公因式，这样分解才算彻底。 第 3 课时　提公因式法的综合运用 一、选择题 1. C　【解析】两项中都含有 (x - y)，把它看作一个整体，就是公因式。 2. A　【解析】公因式是 (a - 3)，提出后括号内是 m - 2，结果为 (a - 3)(m - 2)。 3. D　【解析】一次方要变号：(b - a) = -(a - b)；B 中偶次方不变号；C 中奇次方要变号。 4. B　【解析】先把 (b - a) 变成 -(a - b)： 原式 = x(a - b) - y(a - b) = (a - b)(x - y)。 5. B　【解析】分组：(ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)。A、D 只是中间步骤，还没有分解成积的形式。 二、填空题 6. (m + n)(a + b) 7. +；- 【解析】偶次方不变号，奇次方要变号。 8. (x - 2)(3 - x) 9. (m + n)(a + b) 【解析】am + an + bm + bn = a(m + n) + b(m + n) = (m + n)(a + b)。 10. (x - y)(2a + 3b) 【解析】-3b(y - x) = 3b(x - y)，故原式 = 2a(x - y) + 3b(x - y) = (x - y)(2a + 3b)。 三、解答题 11.（1）x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)。 （2）2m(x - 3) - n(x - 3) = (x - 3)(2m - n)。 （3）先变号：-b(y - x) = b(x - y)， 原式 = a(x - y) + b(x - y) = (x - y)(a + b)。 （4）公因式是 3(m - n)： 原式 = 3(m - n)[(m - n) + 2] = 3(m - n)(m - n + 2)。 （5）分组：(ax - ay) + (bx - by) = a(x - y) + b(x - y) = (x - y)(a + b)。 12.（1）a²b + ab² = ab(a + b) = 3 × 5 = 15。 （2）2a²b + 2ab² = 2ab(a + b) = 2 × 3 × 5 = 30。 （3）a²b + ab² - 3ab = ab(a + b - 3) = 3 × (5 - 3) = 3 × 2 = 6。 【方法总结】这类题的关键是先分解因式，凑出 a + b 与 ab，再整体代入，不需要求出 a、b 各自的值。 13.（1）原式 = 3.6 × (105 - 5) = 3.6 × 100 = 360。 （2）原式 = 12 × [( + ) - ] = 12 × = 4。 （3）原式 = 2025 × (2025 - 2024) = 2025 × 1 = 2025。 14.（1）方法一（整体）：面积 = m(a + b)； 方法二（分块）：面积 = ma + mb。 （2）等式：ma + mb = m(a + b)，它体现的正是提公因式法（也就是乘法分配律的逆用）。 （3）用方法一较简便： 面积 = 8 × (6.5 + 3.5) = 8 × 10 = 80（cm²）。 （若用方法二要算 8 × 6.5 + 8 × 3.5 = 52 + 28 = 80，同样得 80，但计算量大一些。） 【学后反思】本节抓住两条主线：一是理解——因式分解与整式乘法互为逆过程，判断标准是「左边多项式，右边整式积」；二是操作——提公因式记住四个字：定、提、除、查。「定」是确定最大公因式（系数取最大公因数、字母取相同的、指数取最低的），「查」是检验并看能否继续分解。当括号里出现 (b - a) 与 (a - b) 时，别忘了「奇次变号，偶次不变」这条转化技巧。 — 1 — — 1 — 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $