广东深圳市深圳中学2027届高三摸底考试数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 2027届高三年级摸底考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是复数，若，则 A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 3．在空间中，下列命题正确的是 A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 D．若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 4．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 5．已知全集，集合，则 A． B． C． D． 6．已知函数的最小正周期为，当时，取得最大值2，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 7．已知函数满足，，则下列结论不正确的是 A． B．函数关于直线对称 C． D．3是函数的周期 8．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三个数字构成三位数，后三个数字构成三位数，则的概率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有 A．若，则 B．若，且，则 C．已知事件，互斥，，，则 D．已知事件，相互独立，，，则 10．已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）底面半径为1，母线长为．若，为底面圆周上任意不同两点，则下列结论正确的是 A．三棱锥体积的最大值为 B．三角形面积的最大值为 C．当时，平面与平面夹角的余弦值为 D．四面体外接球表面积恒大于 11．已知函数有三个极值点，，，若，则 A． B．为极大值点 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆，直线，，则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 13．设各项均为正数的数列的前项和为，前项积为，若，，则________． 14、已知，，是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16．（本小题满分15分） 如图，四棱锥的底面是正方形．设平面与平面相交于直线． （1）证明：； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 设函数（其中）． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，函数在上的最大值为，试判断当为何值时，最小？ 18．（本小题满分17分） 椭圆的离心率为，曲线过椭圆的左顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点的直线与相交于点，（异于），直线，分别与相交于，， ①证明：； ②记，的面积分别是，，求的最小值及此时直线的方程． 19．（本小题满分17分） 已知，集合，，其中． （1）求中最小的元素； （2）若，且，求的所有可能值； （3）对于，记，若集合中的元素个数为， ①求的表达式（用含有和的式子表达）； ②令，求证：数列是等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三年级摸底考试数学参考答案 选择题 题号 S 8 9 10 11 AC AC 答案 D C A C D D D AC 0 D 填空题 9 12.V2 13.1013 14.16 sinB=. 21 4V3 15. 【答案】(1)b=1(2) 14(3)7 【解析】(1)由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosC 7=9b2+b2-2×3b2× 2,所以b=1.…4分 1 万 sinB sin 3,解得 inB=V21 (2)由正弦定理得sinB sinC,即 14 …8分 C-π A-B=-2R (3)在△ABC中， °3，所以 因为a>b,所以B为锐角， cosB=v1-sin2B= v7 14 sin2B=2sinBcosB=2x25 cos2B-2c0B-1-11 141414 14 sin(4-B)=sin 7-2B-5cos2B+5in28=45 3 所以， …13分 4V5 16.【答案】(1)见解析(2)15 【解析】(I)证明：因为AD/BC,ADC平面PBC,BCC平面PBC,所以AD∥平面PBC. 因为平面PAD与平面PBC相交于1，所以/AD.5分 (2)解：如图，取线段AB的中点O,连接PO. 因为PA=PB,所以PO⊥AB.又平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB,所以PO⊥平面ABCD 取线段CD的中点M,连接OM.以OA,OM,OP的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间 直角坐标系。 B 依题意， A(1,0,0).D(1,2,0).P(0,0,2).C(-12,0) 则4D=(0,2,0),AP=(-10,2).P元=(-1,2，-2) i·AD=2y=0, 设平面PAD的法向量为i=(化乃2），则元：AP=-x+2z=0,可取i=(20,1)】 -44v5 设直线PC与平面PAD所成的角为B,则 imcos(PC 15 45 即直线PC与平面PAD所成角的正弦值为15 …l5分 17.【答案】(1)见解析：(2)当k=1时，M(取最小值-1 【解析】（1)f'(x)=e+(-l)e-2=e-2=xe-2) 当k≤0时，e-2k>0,f()在(-0,0)上单调递减，在(0，+)单调递增： <k< 当 2时，血(2k)<0,f()在（-，l血(2k》上单调递增，在（血(2)，0)上单调递减，在 (0,+0)上单调递增： k=I 当=2时，f()在R上单调递增， 1 k> 当 2时，1 (2k)>0,f()在(，0)上单调递增，在(0，l血(2k》上单调递减，在（血(2k),+o)上 单调递增. 6分 (2)由(1)知， e合.f回a0)生年花：在0n2》E用法该在 当 (n(2k),+o)上单调递增. 令8=h(2)-长.测8例-1=产0 k0,所以8(k)在2丁上递增， g()≤n2-1=ln2-lhe<0,从而h(2k)<k,所以h(2k)e[0,],所以当xc(0,血(2k》时， f()<0,f()单调递减：当x∈（血(2k),)时，f(>0,f(x单调递增： 所以M(k)=max{f(0),f(k)}=max-1,(k-1e-ky 令h(k)=(k-le-k+1,则()=k(e-3k), 令(k)=e-3k,则p()=e-3<e-3<0 0p0)=c-3<0 所以存在 .c)s0.(.c()o 所A)在2小年调港诸，在氏)上华调道成 因为 上恒成立，所 以M(k)=f()之-1，当且仅当k=1时等号成立 综上，当k=1时，M()取最小值-1. …15分 +y2=1 S 25 18.【答案】(1)4 (2)①见解析；②S2的最小值为4，此时直线的方程为x=0. e=c-V3 【解折1q)P(-2,0),所以a=2.又=a2,从而c=V3,b=1,故椭圆C的方程为 4+2=1 …4分 (2)①若直线l的斜率不存在，则A(0,),B(0,-),k4km=-l,所以PA⊥PB,即PD⊥PE: 若直线的斜率存在，设直线'的方程为y=x,A(:,上)，B(,乃) y=kx 2 2=2→k2x2-2x-4=0+x22X6=-3 akm=y.h」 kxX2 k2 k2 x+2x2+2xx2+2(x+2)+4- 4 22 2 k2 +4 所以PA⊥PB,即PD⊥PE …10分 x=my-2 ②谈直线P1x=m-2(m0）,联立产=2+4广=2m 、2 ,所以y4=2m,同理 m: x=m,-2→(r2+4y=4m 4m 4m 联立x2+4y2=4 以，m+4,同理'g=1+4m ,所以 5 PAPA上 S2 2IPDIPD-PE 4 S 25 所以S,的最小值为4，取等条件是m=士1，此时1(0,2)，直线1的方程为x=0,17分 19.【答案】(1)28-1(2)10,24(3)①6。=C+②见解析 【解析】（1)X2027中最小的元素 2°+2+22+…+220m=1-220 1-2=220-1 。………3分 (2)设a=2+2',i<j.当j≤4时，可以逐个计算2°+2,2°+22,2+22，，2+2，发现 只有2+2=10和2+24=24符合要求(10+10=22+24,24+10=2+2). 当j25时，设2+2/+10=2m+2”,m<n.由于2+10<2'，故 2m+2”=2+2/+10≤2+2/+10<2×2'，从而2”<2×2，故n<j+1:又 2×2”>2”+2”=2+2+10>2,从而2”<2，故n>j-1,所以，n=j.这时，2+10=2"， 即10=2”-2=2(24-)，放i=1,21=6,无解. 所以，0的所有可能值为10和24.…8分 (3)①设x∈y,则x=2+2+…+2,显然4=k+n-1, 且0≤<i<…<≤k+n-2,所以b.=C生，…12分 6 C ②设 ,则 2k 因为C1=C+C, 所以 -C+号C+c）+2C+c)r+C+c)+2ac品 -+c出cc出 1 1 1 =Sk+ 52ac+2ac 1 =+23 i1+z)-i1+yz)i(乙+z)Ii1+z)+0ī+° (实际上， C2=(k+1):2^(k+1(k+小 k:(k+1)月 -S+号，两=2，限为 所以 为8=1+9=2 ,所以S=2是等比数列.17分