精品解析：广东深圳市北理莫斯科大学附属实验中学2027届高三上学期8月练习数学试题

高三第一学期8月练习卷（数学） 本卷满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题8分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 48 B. 42 C. 24 D. 21 3. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 4. 定义运算：．已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 与有相同的最小值 C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图像 10. 已知函数，则（ ） A. 1是的极小值点 B. 的图象关于点对称 C. 有3个零点 D. 当时， 11. 已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 动点的轨迹长度为 C. 不存在点，使得平面 D. 四面体DEFG体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则______. 13. 已知多项式（），__________． 14. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角所对的边分别为，其中. （1）求的值； （2）若的面积为，周长为6，求的外接圆面积. 16. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值. 17. 如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，将四边形沿着线段折起，连接就得到了一个三棱柱（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第一学期8月练习卷（数学） 本卷满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题8分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数是增函数，所以集合， ， 所以 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 48 B. 42 C. 24 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可得解. 【详解】因为等差数列，故， 则. 故选：B. 3. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可. 【详解】依题意，，解得， 将数据从小到大排列可得：， 又，则分位数为. 故选：C. 4. 定义运算：．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义得出，再根据同角三角函数的商数关系即可求解． 【详解】依题意，，则， 故. 故选：D． 5. 已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一，求出，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案. 【详解】解法一：依题意，得， 故； 解法二：数学成绩在80分至95分的有人， 由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人， 故. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】当时，， 因为和都是减函数，所以在上单调递减， 当时，，要使其在上单调递减，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D. 7. 已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算； 【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为， 则，则， 设圆台的母线长为， 则，解得， 则圆台的高， 记外接球球心到上底面的距离为， 则，解得. 故选：C. 8. 已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过联立方程组的方法求得的坐标，然后根据向量数量积运算求得. 【详解】依题意，抛物线，即，则，设， 直线，联立得，则. 而直线，即， 令，则，即，令，则，故， 则，故. 故选：C 【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 与有相同的最小值 C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图像 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B：根据解析式可得与的最小值；对于C：代入求，结合最值与对称性分析判断；对于D：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：的最小正周期，故A正确； 对于选项B：与的最小值均为，故B正确； 对于选项C：因为， 可知直线不为图象的对称轴，故C错误； 对于选项D：将的图象向左平移个单位长度后， 得到，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 1是的极小值点 B. 的图象关于点对称 C. 有3个零点 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D. 【详解】对于A，函数，，令，解得或， 故当时，当时，，当时， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故1是的极小值点，故A正确： 对于B，因为， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，，易知的单调性一致，而， 故至多有2个零点，故C错误； 对于D，当时，，而在上单调递增，故，故D错误. 故选：AB. 11. 已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 动点的轨迹长度为 C. 不存在点，使得平面 D. 四面体DEFG体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，据此判断A；对于B，根据题意求出正方体边长及的长，由此可知点的运动轨迹；对于C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B中的轨迹即可；对于D，利用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可. 【详解】对于A，如图，连接、， 依题意，，而平面平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值， 所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确； 对于B，因为正方体的体积为8，故，则，而， 故， 故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为，故B错误； 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 设为平面的法向量，则故 令，故为平面的一个法向量， 设，故， 若平面，则， 则，解得，但， 所以不存在点点，使得平面，故C正确； 对于D，因为为等腰三角形，故， 而点到平面的距离， 令，则， 则，其中， 则四面体体积的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解. 【详解】依题意，，故，解得. 故答案为： 13. 已知多项式（），__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式的展开式，由常数项为0求出，再利用通项公式分别求得，即可. 【详解】因为， 所以，即，解得. 又，， 所以. 14. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得. 【详解】 如图，设,因,故，又, 由余弦定理，， 即, 设椭圆中心为,作圆锥的轴截面,与底面直径交于，与椭圆交于， 连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系. 则,又由得, 从而则得, 不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程，解得， 则，故 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角所对的边分别为，其中. （1）求的值； （2）若的面积为，周长为6，求的外接圆面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得. （2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，故，则， 因为，故. 【小问2详解】 由题意，故. 由余弦定理得， 解得. 故的外接圆半径， 故所求外接圆面积. 16. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得； （2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得. 【小问1详解】 设，依题意， 解得 故的方程为. 【小问2详解】 如图，依题意，联立消去，可得， 依题意，需使，整理得（*）. 因为，则直线的斜率为，则其方程为， 联立解得即 故， 将（*）代入得，故. 17. 如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，将四边形沿着线段折起，连接就得到了一个三棱柱（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取中点，连接， 由题意知，，且， 因为是矩形对角线的交点，所以，且， 所以，且，所以四边形AOMG为平行四边形， 所以， 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由中位线关系证明四边形AOMG为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）先确定就是二面角的平面角，再建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角确定点，再求出平面的法向量，代入空间线面角公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在图1中，，且，在图2中，上述关系依然成立， 所以就是二面角的平面角，即， 故以为坐标原点，分别为轴，轴正方向，垂直平面向上的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， 则， 因为，， 所以， 即， 又，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则 取， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； 【小问2详解】 设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； 【小问3详解】 设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上递减，当时，在上递减，在上递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【小问1详解】 ∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． 【小问2详解】 由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． 【小问3详解】 由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $