第十二讲 幂函数导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦幂函数，核心内容涵盖定义、图象与性质及应用。通过联系已学函数知识搭建学习支架，引导学生从幂函数与指数函数、对数函数的区别切入，梳理定义特征、图象规律及性质应用的脉络。 资料亮点在于系统整合知识点与题型，分七类必考题型归纳解题方法，结合典型例题与巩固练习。通过抽象幂函数本质特征培养数学眼光，借助性质推理与图象分析发展数学思维，助力学生用数学语言解决实际问题，适合自主学习与课堂教学评估。

第十二讲 幂函数 【学习目标】会画幂函数的图象，并能利用幂函数的性质解决相关问题. 【学习重点】幂函数的图象与性质. 【学习难点】幂函数性质的应用． 必掌握知识点 1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足下列三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.幂函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4.解题方法总结 （1）、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． (2)幂函数的性质： ①幂函数在__________上都有定义，都不过第_____象限，且除原点外与坐标轴都不相交； ②当时，幂函数的图象都过点______和______，且在_______上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点_________，不过点______,且在________上单调递减. ④定义域为或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的 幂函数都不具有奇偶性； ⑤任意两个幂函数的图象至少有一个公共点__________，至多有_____个公共点． 必考题型全归纳 题型一：幂函数的定义 知识点详解 定义：形如 （ 为常数，可为整数、分数、负数）的函数叫做幂函数。 两个条件 是底数，系数必须等于 ； 只有 这一项，不能有常数项、不能有系数。 反例：、、 都不是幂函数。 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·期末）下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 题型二：求幂函数解析式（已知图像过定点） 知识点详解 1.标准步骤： ① 设解析式：； ② 将函数经过点 代入：； ③ 解出参数 ，得到完整解析式。 2.求出解析式后，常继续考：定义域、奇偶性、单调性、解不等式。 5．（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 6．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 题型三：幂函数的定义域 知识点详解 幂函数 的定义域随指数 变化： 1. 是正整数：定义域 ； 2. 是负整数：，定义域 ； 3.（分数，既约分数） 奇数： 可取全体实数； 偶数：要求 ； 拓展：复合幂函数，如 ，要内层满足被开方数≥0。 8．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． ． 题型四：幂函数的奇偶性 知识点详解 设 ，看指数，结合定义域是否关于原点对称： 1.奇函数：，图像关于原点对称。 例：、、； 2.偶函数：，图像关于轴对称。 例：、； 3.非奇非偶：定义域不关于原点对称，或 既不等于 ，也不等于 。 重要前提：定义域必须关于原点对称，才谈奇偶性。定义域不对称直接非奇非偶 11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 13．（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 14．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 题型五：幂函数的单调性 知识点详解 只看第一象限的单调性： 1.：在 上单调递增； 2.：在 上单调递减。 1.不能直接说 “在全体定义域单调递减”，例如 在 、 分别递减 2.偶函数：第一、二象限单调性相反；奇函数：一、三象限单调性相同。 3.复合幂函数：遵循同增异减法则。 15．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·江西九江·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·河北·期末）已知幂函数在上单调递减，则__________． 18．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 题型六：幂函数图像识别 知识点详解 1.所有幂函数在第一象限必有图像； 2. ：图像过定点 、； 3.：图像过定点 ，不过原点，以坐标轴为渐近线； 4.判断图像三步： ① 判断指数正负，看是否过原点； ② 判断奇偶性，确定第二、三象限有没有图像； ③ 判断第一象限递增还是递减。 19．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 题型七：幂函数性质综合（解不等式、比较大小） 知识点详解 1.利用单调性比较大小 对于 ： ，指数越大函数值越大；，指数越大函数值越小。 2.偶函数型幂函数解不等式： 为偶函数 ； 再用 的单调性去掉，转化普通不等式。 3常结合基本不等式求最值（题号 12）。 21．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 22．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 巩固提升： 一、单选题 1．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 3．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 4．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）下列函数是减函数的为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 6（多选）．（25-26高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 7（多选）（25-26高一上·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 8（多选）．．（23-24高一上·福建厦门·期中）某小组在研究性学习中发现：函数不全为0的图象可由反比例函数的图象通过平移得到．已知函数，则（    ） A．是增函数 B．的值域为 C．没有对称轴 D．的图象关于点对称 9（多选）．．（25-26高一上·广东·期末）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．对任意， 10．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 11．已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为______. 12．（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 13．（2025高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 14．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 15．已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二讲 幂函数 【学习目标】会画幂函数的图象，并能利用幂函数的性质解决相关问题. 【学习重点】幂函数的图象与性质. 【学习难点】幂函数性质的应用． 必掌握知识点 1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足下列三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.幂函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4.解题方法总结 （1）、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． (2)幂函数的性质： ①幂函数在__________上都有定义，都不过第_____象限，且除原点外与坐标轴都不相交； 答案：,四 ②当时，幂函数的图象都过点______和______，且在_______上单调递增； 答案：,, ③当时，幂函数的图象都过点_________，不过点______,且在________上单调递减. 答案：,,, ④定义域为或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的 幂函数都不具有奇偶性； ⑤任意两个幂函数的图象至少有一个公共点__________，至多有_____个公共点． 答案：1,3 必考题型全归纳 题型一：幂函数的定义 知识点详解 定义：形如 （ 为常数，可为整数、分数、负数）的函数叫做幂函数。 两个条件 是底数，系数必须等于 ； 只有 这一项，不能有常数项、不能有系数。 反例：、、 都不是幂函数。 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 2．（25-26高一上·四川成都·期末）下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解. 【详解】，均不是幂函数， 在上单调递增， 是幂函数，且在上单调递减． 故答案为：B. 3．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 4．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或． 又在上单调递减，所以，所以． 题型二：求幂函数解析式（已知图像过定点） 知识点详解 1.标准步骤： ① 设解析式：； ② 将函数经过点 代入：； ③ 解出参数 ，得到完整解析式。 2.求出解析式后，常继续考：定义域、奇偶性、单调性、解不等式。 5．（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 6．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 7．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 题型三：幂函数的定义域 知识点详解 幂函数 的定义域随指数 变化： 1. 是正整数：定义域 ； 2. 是负整数：，定义域 ； 3.（分数，既约分数） 奇数： 可取全体实数； 偶数：要求 ； 拓展：复合幂函数，如 ，要内层满足被开方数≥0。 8．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数为的形式，每个选项都是幂函数，再求出每个函数的定义域，判断奇偶性可排除A、D，再根据函数过点排除C，得到满足条件的幂函数为. 【详解】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 9．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 10．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得．故选：D． 题型四：幂函数的奇偶性 知识点详解 设 ，看指数，结合定义域是否关于原点对称： 1.奇函数：，图像关于原点对称。 例：、、； 2.偶函数：，图像关于轴对称。 例：、； 3.非奇非偶：定义域不关于原点对称，或 既不等于 ，也不等于 。 重要前提：定义域必须关于原点对称，才谈奇偶性。定义域不对称直接非奇非偶 11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 12．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为幂函数，所以，即， 因式分解得：，解得：或， 为偶函数，所以，， 因为，所以在单调递增，所以，，即得. 13．（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 14．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 题型五：幂函数的单调性 知识点详解 只看第一象限的单调性： 1.：在 上单调递增； 2.：在 上单调递减。 1.不能直接说 “在全体定义域单调递减”，例如 在 、 分别递减 2.偶函数：第一、二象限单调性相反；奇函数：一、三象限单调性相同。 3.复合幂函数：遵循同增异减法则。 15．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数； 根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求； 选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数； 且在上单调递减，故B符合要求； 选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合； 选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合. 16．（25-26高二下·江西九江·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用作差法比较大小判断A，由对应函数的单调性判断BC，应用特殊值法，举反例判断D. 【详解】对于A，. 由，得，，故，故A正确； 对于B，由及函数在区间上单调递增，得，故B正确； 对于C，由及函数在区间上单调递减，得，故C正确； 对于D，取，，则，，故D错误. 17．（25-26高二下·河北·期末）已知幂函数在上单调递减，则__________． 【答案】 【详解】由题意可知，所以，解得. 所以，所以. 18．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 题型六：幂函数图像识别 知识点详解 1.所有幂函数在第一象限必有图像； 2. ：图像过定点 、； 3.：图像过定点 ，不过原点，以坐标轴为渐近线； 4.判断图像三步： ① 判断指数正负，看是否过原点； ② 判断奇偶性，确定第二、三象限有没有图像； ③ 判断第一象限递增还是递减。 19．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 20．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 题型七：幂函数性质综合（解不等式、比较大小） 知识点详解 1.利用单调性比较大小 对于 ： ，指数越大函数值越大；，指数越大函数值越小。 2.偶函数型幂函数解不等式： 为偶函数 ； 再用 的单调性去掉，转化普通不等式。 3常结合基本不等式求最值（题号 12）。 21．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数定义与性质可得，再利用“1”代换结合基本不等式运算求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 则，解得， 可得正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 22．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可判断函数是的增函数，且为奇函数；利用函数的奇偶性单调性解不等式即可. 【详解】依题意，函数的定义域为； 因为，所以函数是奇函数； 因为，所以； 根据解析式及幂函数的单调性知函数在上单调递增； 所以，解得；故实数的取值范围是； 故选：A. 23．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 24．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合幂函数的单调性和奇偶性，利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是偶函数，且在上单调递增， 因此等价于， 当成立时，不一定成立，所以充分性不成立； 当成立时，不一定成立，所以必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 巩固提升： 一、单选题 1．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 2．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 3．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先依据幂函数的定义求出的可能取值，再结合函数在上单调递减的性质筛选得到正确结果. 【详解】根据幂函数的定义可得 ，即，解得或， 又在上单调递减，可得，即， 所以. 4．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 【答案】B 【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值. 【详解】因为，所以定义域为， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，. 故选：B. 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）下列函数是减函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出4个函数的单调性即可. 【详解】对于A，为减函数，正确； 对于B，，为增函数； 对于C，开口向下，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D，为增函数，D错误. 二、多选题 6（多选）．（25-26高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 【答案】AD 【分析】根据幂函数过点可以求出解析式，然后逐项分析即可. 【详解】设幂函数，为常数，因为的图象过点， 所以，所以， 所以幂函数，故A选项正确； 由可知函数定义域为，故B选项不正确； 因为，此时， 不满足在定义域上单调递减，故C选项不正确； 由的函数定义域为，值域为， 所以无最小值，故D选项正确； 故选：AD. 7（多选）（25-26高一上·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 8（多选）．．（23-24高一上·福建厦门·期中）某小组在研究性学习中发现：函数不全为0的图象可由反比例函数的图象通过平移得到．已知函数，则（    ） A．是增函数 B．的值域为 C．没有对称轴 D．的图象关于点对称 【答案】BD 【分析】通过常数分离法找到可平移的反比例函数，结合反比例函数知识可得． 【详解】， 所以的图象可由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 的定义域是，它在和上是增函数，值域是，直线和都是它的对称轴，关于原点对称， 经过平移可知，在和上是增函数，在定义域内不是增函数，值域是，直线和都是它的对称轴，的图象关于点对称， 故选：BD． 9（多选）．．（25-26高一上·广东·期末）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．对任意， 【答案】ABD 【分析】根据题设先求得，，进而结合幂函数的性质求解判断各选项即可. 【详解】设，则，解得，则，， 对于A，，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，则，故B正确； 对于C，由，则为奇函数，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 故选：ABD 10．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 11．已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为______. 【答案】1，3 【分析】根据幂函数的性质分析可得. 【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件； 当时，为偶函数，值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故答案为：1，3 12．（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 13．（2025高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 14．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 15．已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【答案】(1) (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解，方法二：求出代入即可求解；（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.，方法二：因为在上单调递增，可求解. 【详解】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $