3.1函数的概念及其表示（第4课时　分段函数） 学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦分段函数，课前预习通过复习换元法和绝对值概念搭建学习支架，衔接上一课时求解析式的方法，引导学生从旧知过渡到分段函数的定义、定义域值域及实际应用举例。 特色在于分层探究设计，优生班选做max型问题，普通班聚焦基础应用，结合公共汽车票价等情境培养数学眼光，通过含参讨论和三步求值法提升数学思维，限时检测强化应用，易错提醒助学生规范表达，落实数学语言运用。

3.1　函数的概念及其表示（第4课时） 分段函数·学案（附参考答案）　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第4课时 班级：＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿ 一、课前预习（阅读教材第68—71页） 0．（复习上一课时）求解析式时，换元法必须交代＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 1．由绝对值的概念，|x|＝＿＿＿＿（x≥0），|x|＝＿＿＿＿（x＜0）。 2．在定义域的不同部分用不同的式子表示对应关系的函数，称为＿＿＿＿＿＿。它是＿＿个函数。 3．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的＿＿＿＿，值域是各段函数值集合的＿＿＿＿。 4．生活中可以用分段函数描述的实际问题有＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿等。 二、课堂探究 探究一　例5（教材第68页） 画出函数y＝|x|的图象，并写出它的分段表达式。 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究二　分段函数求值与含参 已知f(x)＝ （1）求f(－3)与f(f(－3))。 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （2）若f(a)＝3，求a的值。（三段都要讨论，解出的根必须检验） 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我总结的三步：＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿。 ★探究三　例6（教材第68页，优生班课上完成，普通班选做） 给定f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)²，xR。M(x)＝max{f(x)，g(x)}，用解析法表示M(x)。 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究四　实际应用 某市“招手即停”公共汽车票价规则：5km以内（含5km）票价2元；5km以上每增加5km票价增加1元（不足5km按5km计算）。某线路总里程20km，写出票价y与里程x的函数解析式。 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究五　全节回顾 3.1这一节，先用＿＿＿＿语言和＿＿＿＿关系重新定义了函数，三要素是＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿；用＿＿＿＿把数集写得更简洁；学会了求＿＿＿＿＿＿、判断＿＿＿＿＿＿；知道函数有＿＿种表示法，会用＿＿种方法求解析式；最后用＿＿＿＿＿＿刻画现实问题。 三、当堂检测（限时3分钟） 1．已知f(x)＝则f(f(0))＝（　　）　A．－1　B．1　C．3　D．－2 2．已知f(x)＝若f(x₀)＝2，则x₀＝＿＿＿＿。 3．函数f(x)＝的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 4．判断：分段函数是由几个函数构成的。（　　） 四、课堂小结（自我梳理） 分段函数是＿＿个函数；定义域是各段的＿＿＿＿，值域是各段的＿＿＿＿；各段范围＿＿＿＿＿＿。求值三步：＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿。max型三步：＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿。 附：参考答案与解析 课前预习 0．新元的取值范围。　1．x；－x。 2．分段函数；一。　3．并集；并集。 4．出租车计费、个人所得税（阶梯水价、快递计费等均可）。 课堂探究 探究一：y＝|x|＝图象是两条射线拼成的“V”形，x≥0时是y＝x的右半支，x＜0时是y＝－x的左半支，在原点相接。 探究二：（1）－3≤－1，用第一段，f(－3)＝－1；－1≤－1，仍用第一段，f(f(－3))＝f(－1)＝1。（2）当a≤－1时a＋2＝3得a＝1，不满足a≤－1，舍去；当－1＜a＜2时a²＝3得a＝±，满足，－不满足，舍去；当a≥2时2a＝3得a＝，不满足a≥2，舍去。综上a＝。三步：先定段、再代入、解出必检验。 ★探究三：由(x＋1)²＝x＋1得x(x＋1)＝0，解得x＝－1或x＝0。结合图象得M(x)＝ 探究四：y＝图象是四条水平线段，左端空心、右端实心，呈阶梯状。 探究五：集合、对应；定义域、对应关系、值域；区间；定义域、同一函数；三；四；分段函数。 当堂检测 1．A。0＜1，f(0)＝1；1≥1，f(1)＝1－2＝－1。误选B是两层都用了第一段。 2．。x≤0段解得x＝2，不满足x≤0，舍去；x＞0段由＝2得x＝，满足，所以x₀＝。 3．[0，2]∪{3}。第一段值域[0，2]，第二段只有一个值2，第三段只有一个值3，取并集。 4．错误。分段函数是一个函数，只有一个对应关系，只是在不同区间用不同的式子表达。 课堂小结 一；并集、并集；不重不漏；先定段、再代入、解出必检验；作图看高低、解方程定分界、按段写解析式。 易错提醒 1．分段函数是一个函数，不是几个函数。 2．各段范围不重不漏，写成x≤1与x≥1、x＜1与x＞1都是错的。 3．求值先定段，抓起第一段就代是最常见的错。 4．含参问题每段都要讨论，解出的根一定要检验是否落在本段范围内，最后写“综上”。 5．分段函数图象的端点要分清空心与实心。 学科网（北京）股份有限公司 $