3.2 函数的基本性质（第三课时 函数的奇偶性）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2　函数的基本性质

第三课时　函数的奇偶性　·　讲义（教师用）

人教A版必修第一册　第三章　函数的概念与性质

一、课标要求与教材位置

课程标准的要求是：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。动词是"了解"，比单调性的"理解并会用符号语言表达"低一档，但落到课堂上仍是两件事：会按定义判断一个函数的奇偶性，会由奇偶性说出图象的对称性。

教材位置在人教A版必修第一册第三章 3.2 节，教材第 82—84 页，是 3.2.2 小节的正文。3.2 节共 4 个课时：第一课时单调性，第二课时最大（小）值，本课时是第三课时，学奇偶性的概念、图象特征与判断方法；第四课时把奇偶性与单调性合起来用，解不等式、比较大小、求解析式。本课时只做"判断与理解"，综合应用放在下一课时。

教材的路径与前两个课时一样，都是从图象出发。先画 f(x)＝x² 和 g(x)＝2－｜x｜ 的图象，发现共同点是关于 y 轴对称；再列表看自变量取一对相反数时函数值的情况，发现函数值相等；最后写成 f(－x)＝f(x)，给出偶函数的定义。奇函数那一段照此再走一遍，样本是 f(x)＝x 和 g(x)＝。这条"图象—表格—符号"的路子要完整走完，跳过表格直接给定义，学生对"一对相反数"没有感觉。

三年里的落点：奇偶性是简化研究的工具——知道函数是奇（偶）函数，只研究 y 轴一侧就够了，另一侧靠对称补出来。高考里它极少单独考，但和单调性配着考不等式、和图象配着考选择题、和解析式配着考求值，都是常规题。往后学幂函数、三角函数，第一件事就是判断奇偶性。

二、知识精讲

（一）从图象的轴对称到偶函数

教材第 82 页让学生画出并观察 f(x)＝x² 和 g(x)＝2－｜x｜ 的图象（图 3.2－6），问这两个函数图象有什么共同特征。学生答"都关于 y 轴对称"。

接下来是关键的一步：把"关于 y 轴对称"翻译成符号语言。教材用取特殊值列表的办法（表 3.2－1）：

可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。例如对于 f(x)＝x²，有 f(－3)＝9＝f(3)，f(－2)＝4＝f(2)，f(－1)＝1＝f(1)。实际上，∀xR，都有 f(－x)＝(－x)²＝x²＝f(x)。这时称函数 f(x)＝x² 为偶函数。

教学处理：表格这一步不能省，但也不必让学生一个个算，点两三个值就够，重点是让他们说出"横坐标互为相反数，纵坐标相同"这句话，再让他们指着图象上一对对称点确认一次。

偶函数的定义（教材第 83 页）　一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D，如果 ∀xD，都有 －xD，且 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数（even function）。

教材紧接着举了两个例子：f(x)＝x²＋1 和 g(x)＝ 都是偶函数，图象分别关于 y 轴对称。

（二）从图象的中心对称到奇函数

教材第 83 页换成 f(x)＝x 和 g(x)＝（图 3.2－8），问共同特征。两个函数的图象都关于原点成中心对称图形。仍旧列表（表 3.2－2 留给学生填）：当自变量 x

取一对相反数时，相应的函数值 f(x) 也是一对相反数。

例如对于 f(x)＝x，有 f(－3)＝－3＝－f(3)，f(－2)＝－2＝－f(2)，f(－1)＝－1＝－f(1)。实际上，∀xR，都有 f(－x)＝－x＝－f(x)。这时称函数 f(x)＝x 为奇函数。

奇函数的定义（教材第 84 页）　一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D，如果 ∀xD，都有 －xD，且 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数（odd function）。

（三）定义里的三个部件

∀xD　与单调性一样，是对定义域内每一个 x 都成立，不能只验证一两个值。教材第 82 页的判断题"若存在 x₀ 使 f(－x₀)＝f(x₀)，则 f(x) 是偶函数"就是错在这里——f(x)＝x³ 满足 f(－0)＝f(0)，但它是奇函数。

都有 －xD　这一条说的是定义域必须关于原点对称，它是判断奇偶性的第一道关。定义域不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数，后面的式子根本不用算。这是本课时最重要的一句话，学生失分几乎都在这里。例如 f(x)＝（x＞0）不是奇函数，f(x)＝x²（x[－1，2]）不是偶函数。

f(－x)＝f(x) 或 f(－x)＝－f(x)　这是等式关系，对每个 x 都要成立。写的时候要把 f(－x) 完整算出来再与 f(x) 比较，不能只看"次数是偶数"就下结论。

奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质（教材旁批的原话），所以判断函数的