第11讲 函数的奇偶性讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数的奇偶性核心知识点，系统梳理奇函数和偶函数的定义（强调定义域关于原点对称的前提），判断流程（四类情况分辨），图象特征（轴对称与中心对称），以及与单调性结合的综合规律，构建函数性质学习的递进式支架。 资料以考点分层设计（含判断、求解析式、参数求解等六类考点），例题与跟踪训练结合，培养学生严谨的数学思维（如定义域优先判断）和几何直观的数学眼光，课中助力教师高效授课，课后通过综合练习帮助学生查漏补缺，提升问题解决能力。

第11讲 函数的奇偶性 1.掌握奇函数、偶函数的定义，牢记判断奇偶性的首要前提是定义域关于原点对称。 2.熟练掌握判断函数奇偶性的完整流程，能分辨奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类情况。 3.掌握奇偶函数对应的图象特征，结合图象快速判断奇偶性，同时利用奇偶性补画函数图象。 4.运用奇偶性实现自变量正负转换，完成函数值求解、解析式补全。 5.掌握奇偶性与单调性结合的综合规律，解决大小比较、不等式求解、参数范围类大题 一、函数奇偶性的定义 前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 二、用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 三、奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性 考点一、判断函数的奇偶性 例1　(1)（多选）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义判断各函数的奇偶性. 【详解】A：的定义域为R，且，即为奇函数， B：的定义域为，且，即为奇函数， C：的定义域为R，且，即为奇函数， D：的定义域为，显然定义域不关于原点对称，不为奇函数. 故选：ABC (2)利用图象判断下列函数的奇偶性： ①； ②． ③． 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)偶函数 【分析】根据题意，先求得函数的定义域，然后分别画出分段函数的图象，结合其图象即可判断奇偶性. 【详解】（1）函数的定义域为， 对于函数， 当，为二次函数，是抛物线的一部分，开口向下，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图所示， 函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数； （2）函数的定义域为， 对于函数， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图所示， 函数图象关于y轴对称，故为偶函数； （3）函数， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图， 由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数． 跟踪训练1　(1)下列函数为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，的定义域是，所以是非奇非偶函数，A选项错误. B选项，的定义域为，， 所以不是偶函数，B选项错误. C选项，的定义域为，， 所以是奇函数，C选项错误. D选项，的定义域为，， 所以是偶函数，D选项正确. 故选：D （2）判断下列各函数是否具有奇偶性． ①； ②； ③； ④，； ⑤； ⑥． 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)非奇非偶函数 【分析】根据题意，先求得函数的定义域。判断是否关于原点对称，再由函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】（1）定义域：  ∵对于任意且 ∴为奇函数. （2）定义域：  ∵对于任意且 ∴为偶函数. （3）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. （4）定义域： ∴为非奇非偶函数. （5）定义域：，解得，∴为非奇非偶函数. （6）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. 考点二、由奇偶性求解析式 例2　(1)已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. (2)设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求时的函数解析式，即可得. 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. 跟踪训练2　(1)已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式即可. 【详解】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： (2)已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 考点三、利用函数的奇偶性求参数 例3　(1)若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． (2)已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 跟踪训练3 (1)若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】C 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. （2）已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的性质求解即可. 【详解】已知函数为奇函数，则，解得. 因为，所以，解得. 因此. （3）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【详解】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 考点四、利用函数的奇偶性与单调性比较大小 例4 (1)设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，， 所以， 则. (2)定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可． 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 即，所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以， 因为时，函数是增函数， 所以，即. 故选：A 跟踪训练4 (1)已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 令得，A错误； 令得，C错误； 又函数在上单调递增，， 所以，，B错误，D正确. (2)已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 【答案】 【分析】使用函数奇偶性判断在上的单调性，使用单调性比较函数值的大小求解. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在区间上为减函数， 所以在上是增函数， 因为， 所以 （3）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，，恒成立.设，，，则，，的大小关系是__________. 【答案】 【分析】先根据的值的特征构造函数，进而分析函数的单调性及奇偶性，进而可判断函数值的大小. 【详解】因为，，，令. 由已知， 当时，，因此，所以在上是增函数. 因为已知是上的奇函数，， 所以 ，因此是定义域为的偶函数， 由偶函数单调性可得：在上是减函数. 因为， ， ， 因为，且在上递减，所以. 所以. 考点五、由函数奇偶性和单调性解不等式 例5 (1)已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数在上是严格增函数，将不等式转化为求解. 【详解】因为为偶函数，故即为， ∵偶函数在上是严格增函数，故， 平方得，即， 解得， 故答案为： (2)已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 跟踪训练5 （1）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： , 又因为时为减函数， 所以 则， 所以的取值范围是. （2）已知函数满足，，且对任意的，，，都有，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明为奇函数且在上为增函数，得到在R上为增函数．再由题得，进而得，即得解. 【详解】令, 因为，所以为奇函数， 所以为奇函数， 又，即 所以在上为增函数， 所以在R上为增函数． 因为所以. 得， 即 所以， ． （3）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可推导出，当 时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集. 【详解】由，得， 因为，，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 考点六、函数奇偶性的应用 例6 (1)已知函数是定义在R上的偶函数，且． (1)求实数的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 由（1）得，在区间上的单调递增，证明如下： 在上任取，且， 则 ， 因为，所以， 则，即， 所以在区间上的单调递增. (3) 【分析】（1）根据偶函数定义，可得b值，根据条件，代入求解，可得a，c的值. （2）由（1）可得解析式，利用定义，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，证明即可. （3）由（2）得的单调性，结合偶函数的性质，可得，求解即可得答案. 【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数， 所以，即，即得， 结合,解得，则， 因为， 所以，解得. 所以. （2）略 （3）由（2）得在上的单调递增，且为偶函数， 因为， 所以，则，整理得， 解得，则实数的取值范围为. （2）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【分析】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【详解】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令. 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 跟踪训练6 （1）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； （2）略 （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. （2）已知函数满足，且当时． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 函数为偶函数，理由如下： 令，由可得，． 令，则，且定义域为． 综上，函数为偶函数． (3) 【分析】（1）令，代入可得； （2）令，代入可得，再令，代入后由偶函数的定义可得； （3）由偶函数的对称性和单调性列不等式组可解. 【详解】（1）令，则， 所以． （2）略 （3）令，则当时． 已知，当时， 所以． ∴，即，故在上单调递增． 又∵由（2）可知，的图象关于对称， ∴所以若使，则只需， ∴，解得且且． 综上，该不等式的解集为． （3）我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数 (1)设函数，求函数图象的对称中心，并求的值； (2)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）判断的奇偶性即可根据题设的对称中心，然后利用对称性可得所求值； （2）根据图象平移变化即可得其推广结论． 【详解】（1）因为 ， 记， 因为， 所以为奇函数，即为奇函数， 由题知，的图象关于点对称． 由上可知，， 则， 同理可得，，， 所以． （2）其推广结论为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数． 若函数的图象关于直线成轴对称图形，则将函数图象向左平移个单位长度后的图象关于y轴对称，即为偶函数；反之亦然． 一、单选题 1．下列函数中是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义逐项判断. 【详解】对于A：的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，A错误； 对于B：的定义域为，，故不是偶函数，B错误； 对于C：的定义域为，，故是偶函数，C正确； 对于D：的定义域为，，故是奇函数，D错误. 2.是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是偶函数且周期为， 所以， 当时，，则， 所以. 3.已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 4．已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是定义在上且周期为3的偶函数，当时，， 得. 5．若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 二、多选题 7．下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A选项中，，定义域为， 关于原点对称，且， 符合奇函数定义，是奇函数， B选项中，，定义域为， 但，是偶函数，不是奇函数， C选项中，，定义域为， 定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不是奇函数， D选项中，，定义域为，关于原点对称， 且，符合奇函数定义，是奇函数. 8．已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】利用一元二次不等式的解法即可验证A项，利用偶函数的定义即可验证B项；化简函数，得到函数在单调递减，在单调递增，利用单调性得到即可验证C项；由函数为偶函数和其单调性，将，不等式恒成立，转化为，不等式恒成立，即恒成立即可验证D项. 【详解】对于A项，即，化简得到，解得，故A错误； 对于B项，定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C项， ， 因为在单调递增，所以在单调递增， 所以函数在单调递减， 因为为偶函数，所以函数在单调递增， 所以，故C正确； 对于D项，因为为偶函数，函数在单调递增，单调递减， 所以要证，不等式恒成立， 等价于，不等式恒成立，即恒成立 因为恒成立， 所以，不等式恒成立，故D正确. 三、填空题 9．若函数为奇函数，则__________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质计算即可. 【详解】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 10．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【分析】根据关于对称即可求解. 【详解】由于，可得关于点对称， 故. 四、解答题 11．根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 12．已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】(1) (2) 函数是奇函数.证明如下： 由（1）知，，函数的定义域为. ∵， ∴函数是奇函数. (3) 任取，则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. 【分析】（1）将点坐标代入得到方程组，求出的值； （2）利用函数的奇偶性的定义求证； （3）利用单调性的定义求证. 【详解】（1）∵函数的图象经过两点， ∴，解得； （2）略 （3）略 13．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 14．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最大值； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1) 为奇函数，证明如下： 令，则， 令，则，故， 所以为奇函数. (2)； (3)当，则解集为；当，则解集为；当，则解集为 【分析】（1）应用赋值法，令得，再由及奇偶性定义证明； （2）令，应用单调性定义证明单调性，进而求区间最大值； （3）根据奇函数性质及条件得，结合单调性并整理得，由含参一元二次不等式解法求解集. 【详解】（1）略 （2）令，则， 而，所以， 所以在R上单调递增，则在区间的最大值. （3）由，则， 所以，因为为增函数，则，即， 当，则解集为； 当，则解集为； 当，则解集为； 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的奇偶性 1.掌握奇函数、偶函数的定义，牢记判断奇偶性的首要前提是定义域关于原点对称。 2.熟练掌握判断函数奇偶性的完整流程，能分辨奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类情况。 3.掌握奇偶函数对应的图象特征，结合图象快速判断奇偶性，同时利用奇偶性补画函数图象。 4.运用奇偶性实现自变量正负转换，完成函数值求解、解析式补全。 5.掌握奇偶性与单调性结合的综合规律，解决大小比较、不等式求解、参数范围类大题 一、函数奇偶性的定义 前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 二、用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 三、奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性 考点一、判断函数的奇偶性 例1　(1)（多选）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． (2)利用图象判断下列函数的奇偶性： ①； ②． ③． 跟踪训练1　(1)下列函数为偶函数的是（   ） A． B． C． D． （2）判断下列各函数是否具有奇偶性． ①； ②； ③； ④，； ⑤； ⑥． 考点二、由奇偶性求解析式 例2　(1)已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． (2)设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 跟踪训练2　(1)已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. (2)已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 考点三、利用函数的奇偶性求参数 例3　(1)若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 (2)已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 跟踪训练3 (1)若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 （2）已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． （3）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 考点四、利用函数的奇偶性与单调性比较大小 例4 (1)设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． (2)定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 (1)已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． (2)已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． （3）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，，恒成立.设，，，则，，的大小关系是__________. 考点五、由函数奇偶性和单调性解不等式 例5 (1)已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. (2)已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 （1）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． （2）已知函数满足，，且对任意的，，，都有，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 考点六、函数奇偶性的应用 例6 (1)已知函数是定义在R上的偶函数，且． (1)求实数的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，求实数的取值范围． （2）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 跟踪训练6 （1）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. （2）已知函数满足，且当时． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)求不等式的解集． （3）我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数 (1)设函数，求函数图象的对称中心，并求的值； (2)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论． 一、单选题 1．下列函数中是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 2.是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 三、填空题 9．若函数为奇函数，则__________. 10．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 四、解答题 11．根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 12．已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 13．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 14．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最大值； (3)解关于的不等式：. 学科网（北京）股份有限公司 $