第08讲 函数的基本性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的单调性、最值、奇偶性及综合应用核心知识点，通过知识回顾衔接初中一次、反比例、二次函数的直观认识，新知部分将其严格化，构建从具体到抽象的学习支架，助力学生形成完整知识脉络。 资料以“目标—回顾—导图—精讲—训练—检测—总结”为主线，突出数学思维（如单调性证明五步推理）和数学眼光（如奇偶性先查定义域抽象）。课中辅助教师系统授课，课后通过分层训练与易错清单帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

第 08 讲 3.2 函数的基本性质 ▶ 预习目标 ● 1．理解函数单调性的定义，会用定义法证明（或判断）函数在某区间上的单调性。 ● 2．理解函数的最大（小）值及其几何意义，会求简单函数的最值。 ● 3．理解函数奇偶性的定义，会判断函数的奇偶性并运用其性质。 ● 4．能综合单调性、奇偶性解决比较大小、求解析式、解不等式等问题。 ▶ 知识回顾 一次函数 ：当 时递增，当 时递减；反比例函数 （）在各自区间递减；二次函数 在对称轴两侧增减性相反。本讲把这些直观认识严格化。 ▶ 新知导图 单调性 定义法“取值—作差—变形—判号—结论” 最值 单调性直接得；或利用二次函数顶点 奇偶性 定义域关于原点对称；奇函数 ，偶函数 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 单调性 设函数 的定义域为 ，区间 。若对任意 且 ，都有 ，则 在 上单调递增；都有 ，则单调递减。用定义证明五步：取值、作差 、变形（通分或配方）、判断符号、下结论。 ◆ 知识点 02 函数的最大（小）值 若存在 使对任意 有 ，则 为最大值；同理定义最小值。单调函数的最值常在端点取得；二次函数在顶点取得最值。 ◆ 知识点 03 奇偶性 定义域关于原点对称是前提。若对任意 有 ，则为偶函数（图象关于 轴对称）；若 ，则为奇函数（图象关于原点对称）。既奇又偶的函数只有 （定义域关于原点对称）。 ◆ 知识点 04 单调性与奇偶的综合 奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反。利用奇偶性可将未知区间的问题转化到已知区间。 ◆ 理解提示 作差后“变形”是关键一步：多项式常因式分解、分式常通分、根式常有理化。判断奇偶性前务必先看定义域是否关于原点对称，否则直接判“非奇非偶”。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 函数 在 上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．常函数 【变式 1-1】 用定义证明 在 上单调递增，下列作差变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 函数 在 上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．常函数 【变式 1-3】 函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D．全体实数 【例 2】 函数 在 上的最小值与最大值分别为（ ） A．最小值 ，最大值 B．最小值 ，最大值 C．最小值 ，最大值 D．最小值 ，最大值 【变式 2-1】 函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 函数 的最大值为（ ） A． B． C． D．无最大值 【例 3】 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式 3-1】 函数 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【变式 3-2】 函数 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【变式 3-3】 函数 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【例 4】 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上递减，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式 4-1】 已知 是奇函数，当 时 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-2】 设 为定义在 上的奇函数，则 的值为（ ） A． B． C．任意实数 D．无法确定 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 2． 函数 的最小值是（ ） A． B． C． D．无最小值 3． 下列函数中为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 4． 函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 5． 函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 6． 已知 是奇函数，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D．无法确定 7． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 8． 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 9． 函数 在 上的最小值为（ ） A． B． C． D． 10． 下列函数既是奇函数又在 上递增的是（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 用定义证明 在 上递增，作差结果应为（ ） A． B． C． D． 12． 已知 是偶函数，当 时 ，则当 时 的解析式为（ ） A． B． C． D． 13． 函数 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 14． 函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 15． 已知 是定义在 上的奇函数且单调递增，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D．任意实数 ▶ 易错清单 ● 1．判断奇偶性前先看定义域是否关于原点对称，不对称直接判非奇非偶。 ● 2．用定义证单调性必写“任取 且属于同一区间”，不能跨区间比较。 ● 3．偶函数 ，奇函数 （若 在定义域内）。 ● 4．求最值先配方或判断单调性，再比较顶点与端点，别漏端点。 ▶ 方法总结墙 （1）单调性证明五步法：取值—作差—变形—判号—结论。（2）最值：二次函数看顶点，单调函数看端点。（3）奇偶性：先查定义域对称，再代入 比较。（4）综合：奇偶转化区间，单调比较大小、解不等式。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 08 讲 3.2 函数的基本性质 ▶ 预习目标 ● 1．理解函数单调性的定义，会用定义法证明（或判断）函数在某区间上的单调性。 ● 2．理解函数的最大（小）值及其几何意义，会求简单函数的最值。 ● 3．理解函数奇偶性的定义，会判断函数的奇偶性并运用其性质。 ● 4．能综合单调性、奇偶性解决比较大小、求解析式、解不等式等问题。 ▶ 知识回顾 一次函数 ：当 时递增，当 时递减；反比例函数 （）在各自区间递减；二次函数 在对称轴两侧增减性相反。本讲把这些直观认识严格化。 ▶ 新知导图 单调性 定义法“取值—作差—变形—判号—结论” 最值 单调性直接得；或利用二次函数顶点 奇偶性 定义域关于原点对称；奇函数 ，偶函数 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 单调性 设函数 的定义域为 ，区间 。若对任意 且 ，都有 ，则 在 上单调递增；都有 ，则单调递减。用定义证明五步：取值、作差 、变形（通分或配方）、判断符号、下结论。 ◆ 知识点 02 函数的最大（小）值 若存在 使对任意 有 ，则 为最大值；同理定义最小值。单调函数的最值常在端点取得；二次函数在顶点取得最值。 ◆ 知识点 03 奇偶性 定义域关于原点对称是前提。若对任意 有 ，则为偶函数（图象关于 轴对称）；若 ，则为奇函数（图象关于原点对称）。既奇又偶的函数只有 （定义域关于原点对称）。 ◆ 知识点 04 单调性与奇偶的综合 奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反。利用奇偶性可将未知区间的问题转化到已知区间。 ◆ 理解提示 作差后“变形”是关键一步：多项式常因式分解、分式常通分、根式常有理化。判断奇偶性前务必先看定义域是否关于原点对称，否则直接判“非奇非偶”。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 函数 在 上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．常函数 【答案】 A 【详解】 ，一次函数单调递增。也可定义法：任取 ，，故递增。 【变式 1-1】 用定义证明 在 上单调递增，下列作差变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 作差 ；当 时， 且 ，故差为负，函数递增。 【变式 1-2】 函数 在 上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．常函数 【答案】 B 【详解】 任取 ，作差 ，故 ，单调递减。 【变式 1-3】 函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D．全体实数 【答案】 A 【详解】 配方 ，开口向下，对称轴 ，故在 上递增。 【例 2】 函数 在 上的最小值与最大值分别为（ ） A．最小值 ，最大值 B．最小值 ，最大值 C．最小值 ，最大值 D．最小值 ，最大值 【答案】 A 【详解】 配方 ，对称轴 。最小值在 处为 ；最大值比较端点：，，故最大值为 。 【变式 2-1】 函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 一次函数 递增，最大值在右端点 处，。 【变式 2-2】 函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 在 上 单调递减，最大值在左端点 处为 。 【变式 2-3】 函数 的最大值为（ ） A． B． C． D．无最大值 【答案】 A 【详解】 配方 ，开口向下，最大值为顶点值 （当 ）。 【例 3】 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 既奇又偶需 且 ，联立得 。定义域关于原点对称时 满足，故选 A。 【变式 3-1】 函数 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【答案】 A 【详解】 定义域 关于原点对称，且 ，是奇函数。 【变式 3-2】 函数 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【答案】 B 【详解】 ，是偶函数。 【变式 3-3】 函数 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【答案】 A 【详解】 定义域 关于原点对称，且 ，是奇函数。 【例 4】 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上递减，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 偶函数 。在 递减且 ，故 ，即 。 【变式 4-1】 已知 是奇函数，当 时 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 【变式 4-2】 设 为定义在 上的奇函数，则 的值为（ ） A． B． C．任意实数 D．无法确定 【答案】 A 【详解】 奇函数满足 ，故 ，得 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【答案】 A 【详解】 ，一次函数递增。 2． 函数 的最小值是（ ） A． B． C． D．无最小值 【答案】 A 【详解】 ，当 时取最小值 。 3． 下列函数中为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，是偶函数；A、C、D 均为奇函数。 4． 函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 递减，最大值在 处，。 5． 函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 配方 ，开口向上，对称轴 ，在 递增。 6． 已知 是奇函数，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】 B 【详解】 奇函数 。 7． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 根号内 ，定义域为 。 8． 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【答案】 B 【详解】 可看作 与 复合； 时 递减且 随 增而增，故整体递减。或直接作差验证。 9． 函数 在 上的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 配方 ，对称轴 ，最小值在 处为 。 10． 下列函数既是奇函数又在 上递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 是奇函数且导数 ，在 上递增；B 偶；C 在 不连续（定义域无 ）；D 递减。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 用定义证明 在 上递增，作差结果应为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ；当 时差为负，故递增。 12． 已知 是偶函数，当 时 ，则当 时 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 偶函数 ；当 时 ，故 。 13． 函数 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【答案】 B 【详解】 即 ？注意分段： 时 ， 时 ，写为 。因 ，是偶函数。 14． 函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 配方 ，顶点 ，最大值 ；端点 ， 均小于 。 15． 已知 是定义在 上的奇函数且单调递增，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D．任意实数 【答案】 A 【详解】 由奇函数 ；因 递增，故 。 ▶ 易错清单 ● 1．判断奇偶性前先看定义域是否关于原点对称，不对称直接判非奇非偶。 ● 2．用定义证单调性必写“任取 且属于同一区间”，不能跨区间比较。 ● 3．偶函数 ，奇函数 （若 在定义域内）。 ● 4．求最值先配方或判断单调性，再比较顶点与端点，别漏端点。 ▶ 方法总结墙 （1）单调性证明五步法：取值—作差—变形—判号—结论。（2）最值：二次函数看顶点，单调函数看端点。（3）奇偶性：先查定义域对称，再代入 比较。（4）综合：奇偶转化区间，单调比较大小、解不等式。 学科网（北京）股份有限公司 $