专题15：指数函数 （4大知识点+13大题型+强化训练）讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦指数函数核心知识点，从概念（形式严格性、底数规定）到图象性质（定义域、值域、单调性等），再到底数变化与图像分布规律、图像变换（平移、对称、翻折），通过题型构建递进式学习支架。 特色在于以数学眼光辨析概念本质（如反例区分指数函数），用数学思维对比底数对图象的影响（分a>1和0<a<1讨论），结合例题与跟踪训练培养逻辑推理与应用能力。课中辅助分层教学，课后助力巩固提升，查漏补缺。

2026-2027学年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题15 指数函数 知识点01 指数函数的概念 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 知识点02 指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点03 指数函数底数变化与图像分布规律 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点04指数函数的图像变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 知识点一、指数函数的概念及定义域 题型01 指数函数的概念辨析 【例1】下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号） ①﹔②；③；④（a为常数，，）； ⑤；⑥﹔⑦． 【例2】函数是指数函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【跟踪训练】 1.下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 2. 下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 3. 若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 4.若函数是指数函数，则 ． 题型02 求指数函数的函数值、解析式 【例3】已知函数的图象过点，则_______ 【跟踪训练】 1. 若函数（，且）满足，则的值为______ 2．已知函数，且，若，则_______ 3.若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．若函数是指数函数，且，则（    ） A． B． C． D． 题型03 求指数函数的定义域 【例4】函数的定义域为_______ 【跟踪训练】 1．函数的定义域为______ 2．函数的定义域为______ 3.求下列函数的定义域： (1)； (2)． 4.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 知识点二、指数函数的图像 题型04 指数函数的图象识别 【例5】如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【跟踪训练】 1.函数的大致图象是（   ） A． B．  C．   D．   2．函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 3．设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 4. 函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型05 画指数函数的图象 【例6】作出函数的图象. 【跟踪训练】 1. 作出函数与的图象 2. 已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的. (1)；(2)；(3)；(4). 3. 利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 题型06 图象定点求解问题 【例7】当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 2.已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 3.函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 4. 已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 题型07 利用指数函数的图象求参数 【例8】若，且与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 . 【跟踪训练】 1. 画出函数的图象，并利用图象回答：当为何值时，方程无解？有一解？有两解？ 2. 设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 知识点三、指数函数的性质 题型08 利用指数函数的单调性比较大小 【例9】已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（　　） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c 【跟踪训练】 1. 若，，，则（    ） A． B． C． D． 2.若，，，则（ ） A． B． C． D． 3.下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型09 利用指数函数的单调性解不等式 【例10】若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例11】不等式的解集为 . 【跟踪训练】 1.不等式的解集为 ． 2. 若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3. 已知函数，则的解集为 ． 题型10 求指数型复合函数的单调区间 【例12】函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点四、综合提升 题型11 与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 【例13】函数的值域为 . 【跟踪训练】 1.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2.函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 题型12 可化为一元二次函数求值域 【例14】函数在的最小值是 ． 【跟踪训练】 1.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 题型13 与指数函数的相关的综合问题 【例15】已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 2.已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 一、填空题 1.若函数为指数函数，则a的值为_______ 2.若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是_______ 3.若指数函数的图象经过点，则________ 4.已知集合，，则________ 5.函数的定义域为_______ 6．已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为_______ 7.已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为______ 8．若函数，则此函数的最小值为 . 9．不等式的解集为 ． 10.若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为_______ 11.已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 12.直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有________个。 二、选择题 13．已知函数，若，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 14. 函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 15.设，，，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 16．函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（    ） A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍 B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 C．函数的图象向右平移2个单位 D．函数的图象向左平移2个单位 三、解答题 17.已知函数（，且）. (1)若函数的图象过和两点，求在上的值域； (2)若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 18. 已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 19. 已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若的最大值为9，求a的值． 20.已知函数，． (1)若，解关于的不等式； (2)若函数的最小值为-4，求m的值． 21.已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题15 指数函数 知识点01 指数函数的概念 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 知识点02 指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点03 指数函数底数变化与图像分布规律 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点04指数函数的图像变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 知识点一、指数函数的概念及定义域 题型01 指数函数的概念辨析 【例1】下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号） ①﹔②；③；④（a为常数，，）； ⑤；⑥﹔⑦． 【答案】③④ 【解析】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数； 对②：其指数为，不是，故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数； 对⑤：是幂函数，不是指数函数； 对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数； 对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是； 综上，是指数函数的只有③④. 【例2】函数是指数函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】函数是指数函数，且，， 由解得或，，故选． 【跟踪训练】 1.下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 2. 下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 【答案】 幂函数② 指数函数①⑤ 【分析】根据幂函数、指数函数的定义判断可得答案. 【详解】因为指数函数为（且），故①⑤是指数函数； 由幂函数定义知，是幂函数，故②是幂函数； 由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数； 对于⑧，当时，，不是幂函数，也不是指数函数. 故答案为：②；①⑤. 3. 若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【解析】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 4.若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 题型02 求指数函数的函数值、解析式 【例3】已知函数的图象过点，则_______ 【知识点】求指数函数解析式、指数函数的判定与求值 【分析】根据函数的图象过点，求出a的值，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 【跟踪训练】 1. 若函数（，且）满足，则的值为______ 【答案】 【解析】因为，所以，从而，. 2．已知函数，且，若，则_______ 【解析】依题意，由，得， 所以. 3.若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 4．若函数是指数函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为指数函数，可设且， ，解得：，.故选：B. 题型03 求指数函数的定义域 【例4】函数的定义域为_______ 【答案】 【分析】根据题意要使函数有意义，则，解之即可. 【详解】要使函数有意义，则， ，， 故函数的定义域为： 【跟踪训练】 1．函数的定义域为______ 【答案】 【分析】根据函数的定义域定义求解即可. 【详解】要使得函数有意义， 则，，，解得. 故函数的定义域为. 故选：D. 2．函数的定义域为______ 【答案】 【分析】利用偶次根式被开方数非负得出，然后利用指数函数的单调性可解出该不等式，即可得出函数的定义域. 【详解】由题意可得，即，. 因此，函数的定义域为. 3.求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义域即可得到答案； （2）根据分母不等于0即可得到答案. 【详解】（1）因为，所以其定义域为. （2）由题得，则其定义域为. 4.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 知识点二、指数函数的图像 题型04 指数函数的图象识别 【例5】如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解. 【详解】∵， ∴时，， 当时，函数为上的单调递增函数，且， 当时，函数为上的单调递减函数，且， 故选：B 【跟踪训练】 1.函数的大致图象是（   ） A． B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项. 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 2．函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可. 【详解】解：函数， 当时，是增函数，当时，的减函数， 且时，，即图象过点； 符合条件的图象是． 故选：A． 3．设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，由图可知：. 故选：A 4. 函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知，函数为减函数， 从而有； 法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标， 令，得， 由，即，解得 . 法二：函数图象可看作是由向左平移得到的， 则，即. 故选：D. 题型05 画指数函数的图象 【例6】作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【分析】根据图象变换的知识，由的图象进行图象变换，从而画出函数的图象. 【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位， 再向下平移1个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象， 然后将该部分关于y轴对称得到， 则图象如图示： 【跟踪训练】 1. 作出函数与的图象 【答案】图见解析 【分析】由的图象再利用图象的翻折和平移变换即可得的图象，为偶函数，当时去绝对值作出轴右边的图象，关于轴对称到左边即可. 【详解】将的图象轴右边的图象关于轴对称地翻折到轴左边即可得的图象，向右平移个单位即可得的图象如图： 函数为偶函数，当时，， 作出的图象向右平移个单位可得保留轴右边的部分关于轴对称的翻折到轴左边即可，图象如图所示： 2. 已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的. (1)；(2)；(3)；(4). 【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案. 【详解】（1）的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的． （2）的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的． （3）与的图象关于y轴对称， 作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象． （4）为偶函数，其图象关于轴对称， 故保留当时，的图象，再作其关于轴的对称图形，即可得到的图象． 3. 利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据，结合对应图象变换画出对应函数图象. 【详解】（1）将图象向右平移一个单位即得，如下图，    （2）将右侧图象以y轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，    （3）将图象向下平移一个单位即得，如下图，    （4）以x轴为对称轴，画出与对称的图象即得，如下图，    （5）将（3）所得图象在x轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，    题型06 图象定点求解问题 【例7】当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 【跟踪训练】 1.函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由指数式的指数为0求得与的值，则答案可求． 【详解】由，得，则， 所以函数（且）的图象过定点， 故选：B 2.已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】利用可得的坐标. 【详解】由函数解析式可得：当且仅当时，的值与无关， 故定点的横坐标为，故纵坐标为，故. 故答案为：. 3.函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，则， 所以函数的图象一定过点.故选：A. 4. 已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】由得，又，所以定点为， 从而， ，当且仅当时等号成立， 故选：C 题型07 利用指数函数的图象求参数 【例8】若，且与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线的图象有两个公共点， 则的取值范围是． 【跟踪训练】 1. 画出函数的图象，并利用图象回答：当为何值时，方程无解？有一解？有两解？ 【答案】答案见解析 【分析】作出函数图象，结合图象判断即可得解. 【解析】函数图象如图， 由图象可知，，无解； ，有一解； ，有两解． 2. 设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，其图象如图所示， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 要使，且成立，则有且，故必有且， 又，即为，整理得， 故选：A． 知识点三、指数函数的性质 题型08 利用指数函数的单调性比较大小 【例9】已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（　　） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c 【解题思路】根据指数函数的图象和性质，比较三个数的大小，可得答案． 【解答过程】解：∵y＝0.3x为减函数，2＞1.5＞0， 故a＝0.32＜b＝0.31.5＜0.30＝1， ∵y＝2x为增函数，0.3＞0， 故c＝20.3＞20＝1， 故c＞b＞a， 故选：C． 【跟踪训练】 1. 若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，在上单调递增， ， 故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 2.若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数的单调性知，， 而，故，故选：D 3.下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数在单调递增，所以， 指数函数单调递减，所以， 所以. 故选：D 题型09 利用指数函数的单调性解不等式 【例10】若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由指数函数在定义域上为单调递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围是.故选：A. 【例11】不等式的解集为 . 【答案】 【解析】不等式即， 因为函数为单调递增函数，所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 【跟踪训练】 1.不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】， 因为函数是实数集上的增函数， 所以由， 因此原不等式的解集为， 故答案为： 2. 若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 3. 已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 可得在上单调递增， 根据偶函数的性质，不等式，即为， 可得，整理得，解得， 所以的解集为． 故答案为：． 题型10 求指数型复合函数的单调区间 【例12】函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R， 函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减， 因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是.故选：A 【跟踪训练】 1. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 2. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 随的增大而增大，要使在上单调递增， 只需在上单调递增，则有，所以． 故选：A. 3. 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得. 【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减， 所以，函数在上为增函数，所以，，解得. 故选：A. 知识点四、综合提升 题型11 与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 【例13】函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据结合指数函数性质分析求解即可. 【详解】因为，且在单调递减， 则，且， 所以的值域为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求的范围，再求的值域. 【详解】令，则 在上单调递减，∴，又， ∴的值域为. 故选：A. 2.函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求出指数的范围，再根据指数函数的性质即可得解. 【详解】函数，是由和，复合而成， 因为对称轴为，开口向上， 所以在单调递减，在单调递增， 所以时，，时，， 所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数，的值域是. 故选：C. 题型12 可化为一元二次函数求值域 【例14】函数在的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】令，然后利用配方法可得答案. 【详解】令，则， 则， 所以当时，有最小值. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 2．如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可. 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 题型13 与指数函数的相关的综合问题 【例15】已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 【跟踪训练】 1.已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，结合指数幂的运算直接求解即得. （2）令，则，将问题转化为求解最小值问题，根据和两种情况分类讨论求解即可. （3）利用换元法将恒成立问题转化为恒成立，令，则，然后利用函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数且，所以，即，解得； （2）令，因为，所以，则转化为， 此抛物线开口向上，且对称轴， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调的递减，在上单调递增， 则. 综上，； （3）由，得， 令，则， ，令， 则由得，当且仅当时等号成立， 所以， 由题意知恒成立，令，则， 显然在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 2.已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求已知指数型函数的最值、指数函数最值与不等式的综合问题、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 一、填空题 1.若函数为指数函数，则a的值为_______ 【答案】 【解析】因为函数为指数函数， 则，且，解得， 2.若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是_______ 【答案】 【解析】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 3.若指数函数的图象经过点，则________ 【答案】 【分析】先设函数解析式为且，根据图像过定点，求出解析式，即可得出结果. 【详解】设指数函数且， 因为的图象经过点， 所以，解得：，即， 因此. 4.已知集合，，则________ 【答案】 【分析】根据已知求指数函数的值域，再应用集合的交运算求结果. 【详解】因为，所以，则 . 5.函数的定义域为_______ 【答案】 【分析】根据分母不等于，解出即可. 【详解】因为， 所以. 6．已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为_______ 【答案】 【分析】根据指数函数的性质判断. 【详解】令，则，所以函数图象恒过定点. 7.已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为______ 【答案】 【解析】由函数的图像恒过定点， 再由点在直线上，则， 而， 取等号条件是,此时， 8．若函数，则此函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】求已知指数型函数的最值 【分析】根据函数的单调性求得正确答案. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以最小值为. 故答案为： 9．不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由， 所以，即， 解得或， 故答案为：. 10.若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为_______ 【答案】2 【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案. 【详解】①当时，单调递增， 故，解得； ②当时，单调递减， ，无解， 综上可知. 11.已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，    因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 12.直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有________个。 【答案】2个 【分析】画出的图象关于原点对称的图象，再判断其与函数 交点个数即可. 【详解】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数的图象关于原点对称的图象， 判断其与函数图象 交点个数即可， 如图所示： 当时，，当时，，且， 观察图象可得：它们有2个交点，故的“姊妹对点”有2个. 故选：B． 二、选择题 13．已知函数，若，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，∴，即， ∴函数的解析式是.故选B. 14. 函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 15.设，，，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为函数在R上是增函数，所以，即． 又，而在上单调递增， 所以，所以，因此．故选：C． 16．函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（    ） A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍 B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 C．函数的图象向右平移2个单位 D．函数的图象向左平移2个单位 【答案】C 【分析】根据函数平移的原则一一分析即可. 【详解】对A，图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍得，故A错误； 对B，图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得，即，故B错误； 对C，函数的图象向右平移2个单位得，故C正确； 对D，函数的图象向左平移2个单位得，故D错误. 故选：C. 三、解答题 17.已知函数（，且）. (1)若函数的图象过和两点，求在上的值域； (2)若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【解析】（1）由题意，，， 又，解得，，所以. 因为在上单调递增，所以，即， 所以值域为. （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 所以. 18. 已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【解析】（1）因为的图象过坐标原点， 所以，解得. （2）若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 19. 已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若的最大值为9，求a的值． 【解析】（1）由题设，若，则， 在上递减，在上递增，则， 在定义域上递增，则， 所以的值域为. （2）令，则， 又在定义域上递增，而的最大值为9，即， 则开口向下且对称轴为，， 所以. 20.已知函数，． (1)若，解关于的不等式； (2)若函数的最小值为-4，求m的值． 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）因式分解得到，结合，得到，求出解集； （2）变形得到，，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m的值. 【详解】（1）时，由得， ，， 因为，所以，解得， 所以原不等式的解集为． （2）因为， 令，因为， 所以，（当且仅当时取得等号） 则，， ①当，即时，在上单调递增， 当，即时，， 所以，解得，符合题意； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 当，， 所以，解得，不合题意，舍去． 综上，的值为-3． 21.已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由因式分解得，进而得；再根据指数函数的单调性即可得出答案. （2）先利用换元法将函数转化为，；再利用函数的单调性求解即可. （3）先分离参数，得当时，不等式恒成立；再构造函数，根据对勾函数的单调性求最小值即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，即. 因为， 则. 因为函数在上单调递增，且， 所以. 故不等式的解集为 （2）由，得：函数定义域为. 令 则，. 因为二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，，当时，. 故的值域为. （3）由题意得：当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立. 令，. 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以当时，. 所以，解得： 故当时，不等式恒成立， 的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $