专题4.1 幂函数（4大知识点+12大题型+强化训练）-2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义（沪教版必修第一册）

2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题4.1 幂函数 知识点一、幂函数的概念 1. 定义：形如 的函数称为幂函数，其中 为自变量， 为固定常数。 【要点】 同时满足以下条件才是幂函数：（1）以自变量为底的幂；（2）指数为常数；（3）自变量前的系数为1； 仅含单项幂式，无常数项、无加减运算、无其他因式。 特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。 知识点二、幂函数的图象（五大基础模型） 1. 图象特征：所有幂函数图象均过定点 ； 图象过原点， 图象不过原点。 2. 五大常见幂函数图象： 在同一平面直角坐标系中，幂函数的图象如图所示： 幂函数图象的要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域． 根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 口诀记忆：在第一象限内“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型． 知识点三、幂函数的性质 1.五种幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是增函数 在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 2、幂函数的性质 (1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质： ①函数的图象过点(0，0)，(1，1). ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间[0，＋∞)上是增函数. (2)当α<0时，幂函数y＝xα具有的性质为： ①函数的图象都过点(1，1). ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数. 知识点一、幂函数的概念及定义域 题型一、幂函数的概念辨析 【名师点拨】形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数， 【例1】判断下列函数是否为幂函数. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【答案】(1)不是幂函数； (2)不是幂函数； (3)幂函数 (4)不是幂函数； (5)不是幂函数； (6)幂函数 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】形如的函数叫幂函数，由幂函数的定义可知（1）（2）（4）（5）不是幂函数，只有（3）（6）为幂函数. 【详解】（1），当时，不是幂函数，所以该函数不是幂函数； （2），两个幂函数和的形式，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （3），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数； （4），底数不是，属于复合函数，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （5），系数不为，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （6），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数. 【例2】函数是幂函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义，结合一元二次方程的解法，即可得解 【详解】因为函数是幂函数，所以且， 解得：或（舍） 故答案为：. 【跟踪训练】 1.现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可 【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 2.若函数是幂函数，则实数的值是_____ 【详解】由幂函数的定义知，解得或． 3.已知函数是幂函数，则m的值是____ 【答案】－1，2 【分析】幂函数的形式为，前面系数为1 【详解】函数是幂函数，则 则或 题型二、求幂函数的函数值、解析式 【名师点拨】若已知图象过点,将点坐标代入,解方程求。得到解析式后,求函数值直接代入自变量 【例3】已知幂函数的图象通过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值. 【详解】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 【跟踪训练】 1. 若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是_______ 【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式即可. 【解析】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是. 2. 已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】8 【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出，再代入求值即可. 【解析】令，由题意得，即， 解得，故， 则． 故答案为：8 3. 已知幂函数满足，则_____ 【分析】将代入幂函数的解析式中可求得的值，进而可求解. 【详解】因为幂函数满足， 所以，所以， 则，从而. 4. 已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数的性质求解参数得到解析式，再求值即可. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得，即， 因为，所以，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 5. 若幂函数的图像经过点，则的值为______． 【答案】/ 【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得. 题型三、求幂函数的定义域与值域 【名师点拨】1.为正整数时,定义域为；为负整数时,定义域为。 2.为分数(最简),若为奇数,定义域为；为偶数,定义域为。 【例4】下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求幂函数的定义域 【分析】根据题意，结合幂函数的图象与性质，分别求得其定义域，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，符合题意. 故选：D. 【例5】已知幂函数的图象过点，则的定义域为______ 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 【跟踪训练】 1.幂函数的定义域是（  ） A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【解析】函数的定义域为. 故选：B. 2.若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【答案】0或1或2 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的定义域 【分析】由幂函数的性质可知，，再结合条件，即可求解. 【详解】若幂函数的定义域为， 则，得，且， 所以. 3.下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【答案】②③ 【知识点】求幂函数的值域 【分析】根据幂函数的性质，可得答案. 【详解】对于①，，则其值域为；对于②，，则其值域为； 对于③，，则其值域为，对于④，，则其值域为. 综上符合题意的是②③. 故答案为：②③. 4.设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. 知识点二、幂函数的图像 题型四、图象识别与分析应用 【名师点拨】1.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 2.解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 【例6】幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 【跟踪训练】 1.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据①对应的函数图象特点分析. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 2.如果幂函数的图像，当时在直线的上方，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】由简单幂函数的图象与性质可直接得到答案. 【详解】如图： 结合幂函数在第一象限的图象特征可知：幂函数图象恒过， 若，则时满足条件； 若，则满足条件． 综上，． 故答案为：． 3.函数的大致图象为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 4.求下列函数的定义域，并作出它们的大致图象： (1)； (2)；(3)． 【答案】(1)定义域为，图象见解析 (2)定义域为，图象见解析 (3)定义域为，图象见解析 【知识点】画出具体函数图象、求幂函数的定义域 【分析】（1）（2）（3）求出定义域，并作出它们的大致图象即可. 【详解】（1），定义域为，其图象如下， （2），定义域为，其图象如下， （3），定义域为，其图象如下， 【例7】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（  ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案. 【解析】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应； 函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应； 的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应； ，其图像应与④对应． 故选：A． 题型五、图象定点求解问题 【名师点拨】1.基本定点为(1,1),代入任何幂函数均成立。 2.若函数为,令得,定点为。 【例8】已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 【例9】函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 2.已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 3.函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 4.若幂函数的图象经过点，则_____ 【分析】根据幂函数的概念可求得，利用函数图象过点可得，由此可计算的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，即，所以， 因为函数的图象经过点， 所以，即， 所以，解得， 所以. 知识点三、幂函数的性质 题型六、幂函数单调性的判断 【名师点拨】关键是"根据指数的符号分区间判断"； 1.当时,幂函数在上单调递增；在的单调性需结合奇偶性； 2.当时,幂函数在上单调递减；同样需用奇偶性分析负区间； 3.对定义域分段的幂函数(如为偶分数),仅在对应区间判断单调性. 【例10】已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为 . 【答案】 【分析】直接代入即可求出，则得到其增区间. 【详解】由题意得，则，则， 则其增区间为. 故答案为：. 【例11】下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 【答案】C 【分析】根据幂函数的知识可得答案. 【详解】在上是增函数 故选：C 【跟踪训练】 1.下列函数是幂函数且在是增函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确. 【解析】由幂函数的概念可以排除B、D选项， 而在是减函数，在是增函数， 故选：C. 2.下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本初等函数的性质直接判断. 【详解】由基本初等函数的性质可知： 对于A：在上单调递减.故A错误； 对于B：在上单调递增.故B正确； 对于C：在上单调递减.故C错误； 对于D：在上单调递减..故D错误. 故选：B 3.函数的严格增区间是_______. 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性即可得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 由幂函数性质可知函数的严格增区间是. 故答案为：. 题型七、利用幂函数的单调性比较大小 【例12】比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数在上的单调性即可求得. 【详解】（1）幂函数在上是严格减函数，又，则； （2）幂函数在上是严格增函数，又，则. 【例13】已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 【跟踪训练】 1. 比较下列各组数中两个数的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据幂函数的单调性比较大小 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，且， 所以， （2）因为幂函数在上单调递减，且， 所以. 2. “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性得到答案. 【详解】在R上单调递增，故，， “”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于，进而结合幂函数在上单调递减比较大小即可. 【详解】解：， 因为幂函数在上单调递减，， 所以，即. 故选：B 4. 设幂函数. (1)求证：该函数在区间上是严格减函数； (2)设，，利用（1）的结论，比较与的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小 【分析】（1）设对于任意、，且，再根据化简证明即可； （2）由题意比较与的大小即可. 【详解】（1）证明：设对于任意、，且，于是. 由，得，故，则. 所以，故该函数在上是严格减函数 （2）比较与的大小即比较与的大小， 由（1）可得在区间上是严格减函数， 且，，则，故，即. 题型八、利用幂函数的单调性解不等式 【例14】若，则的取值范围是   ． 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性解不等式 【分析】结合幂函数的单调性化简不等式求其解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【例15】已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 【例16】已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数过点求出函数，再结合函数的单调性列出不等式计算求解. 【详解】设幂函数，由题意得，解得，故， 所以，则，即为. 令，解得. 根据在上为单调递增函数， 则有，解得或，故所求解集为， 故答案为:. 【跟踪训练】 1.不等式的解为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【解析】幂函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，则为偶函数，所以在上单调递减， 则由不等式可得，平方后整理得， 即，解得，则不等式的解集为. 故答案为：. 2. 实数满足，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】，其定义域为，且在定义域上单调递减， 因为，所以，解得 故答案为： 3. 已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性解不等式 【分析】由幂函数定义求出，结合函数单调性和定义域去“”即可求解. 【详解】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 题型九、利用幂函数的图象与性质求参数 【例17】幂函数在上递减，则实数_______ 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 【例18】已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1);(2)． 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【解析】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． （2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 【跟踪训练】 1.若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断在上是增函数即可． 【详解】若幂函数在区间上是增函数， 则由解得：或， 时，，是增函数， 时，，在上是减函数（不合题意，舍去）， 故答案为：2． 2.已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义以及单调性即可列关系求解. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为：3 3.已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为_______ 【分析】利用幂函数的定义及性质直接列式计算并判断作答. 【详解】因为函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数， 所以，解得， 4.若幂函数的图像不经过原点，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质计算可得. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，则，不符合题意，故舍去； 当时定义域为，函数图像不经过原点，符合题意； 综上可得. 故答案为： 知识点四、素养提升 题型十、分式型函数的图像 【名师点拨】 【例19】已知函数y=和y=，说明这两个函数图像 之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像． 解 在幂函数y=的图像上任取一点P（a，），易得点p′（a＋２，）一定在函数y=的图像上，而将点P向右平 两个单位就与点P′重合．因此，将函数y=的图像向右平移两个单位就得到函数y=的图像．反之，将函数y=的图像向左平移两个单位就得到函数y=的图像. 【例20】已知函数y=和y=，说明这两个函数图像之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像． 解 将y=整理变形，得y＝１＋ ．若点q（a，） 在函数y=的图像上，则点q′（a，１＋ ）就一定在函数y=的图像上，即将点q向上平移１个单位就与点q′重合．因此，将函数狔＝ １ 狓－２的图像向上平移１个单位就得到函数 狔＝狓－１ 狓－２的图像．反之，将函数y=的图像向下平移一个单位 就得到函数y=图像， 【跟踪训练】 1.已知函数，则(    ) A. 在上是增函数 B. 在上是增函数 C. 在上是减函数 D. 在上是减函数 【答案】D  解：函数在和上单调递减， 将函数向右平移个单位，再向下平移一个单位得到，此时函数的单调递减区间为和 2.已知函数，给出下列四个命题：函数的图象关于点对称；函数的图象关于直线对称；函数在定义域内单调递减；将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数的图象重合。其中正确命题的序号是__________ 【答案】    解：，  因为函数的对称中心是，所以函数的对称中心是，所以正确．  设函数图象的任意一点为，则点关于直线对称的点的坐标为，则点满足函数，所以正确．  因为函数的定义域为，所以函数在定义域内不单调，所以错误．  将函数图象向左平移一个单位，然后再向下平移一个单位后，得到，所以正确．  故其中正确命题是。 3.已知函数 若在为单调增函数，求的取值范围 若求在上的值域 【答案】解：，因为在为单调增函数， 所以，即，所以的取值范围是； 因为，所以，所以在为单调增函数， 所以的值域为．  题型十一、幂函数图像与性质的综合应用 【例21】已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、根据幂函数值域求参数或范围 【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值； （2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解. 【详解】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 【跟踪训练】 1.已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出关系式，即可求解； （2）由函数的图象与性质，把不等式转化为，结合不等式的解法，即可求解； （3）根据题意，转化为，得到，再由题意，转化为，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由幂函数在上单调递减， 可得，解得， 所以. （2）解：由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以x的取值范围是. （3）解：由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数t的取值范围为. 2.已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数单调性求参即可.（2）利用分参法即可求解. 【解析】（1）依题意，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以； （2）由（1）知， 则问题为对任意恒成立， 即，， 由于的最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 一、填空题 1.幂函数的图象过点，则实数____________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入幂函数解析式，结合指数运算性质求解实数的值 【详解】已知幂函数的图像过点，因此该点坐标满足函数解析式，将，代入得： ， 根据根式与分数指数幂的转换规则，，因此等式可改写为： ， 由于底数且，指数函数在上单调递调，同底数幂相等时指数相等，因此可得. 2.幂函数的图像过点，则的值为_______ 【分析】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【详解】设幂函数的解析式为，则，解得， 所以，. 3.已知幂函数的图象过点，则的定义域为_________ 【解析】设幂函数为， 幂函数的图象过点， 则，， 故的定义域为， 故 满足，解得． 故选：． 4.已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则　　． 【解析】根据其为幂函数，则，解得或， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示： 故舍去， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示： 故答案为：． 5．幂函数的图象与轴、轴均无公共点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题可得，然后由幂函数定义域，值域可确定答案. 【详解】由于幂函数图象与坐标轴均无交点，则. 当，函数定义域中不含数字0，值域也不含数字0，满足题意； 当，函数定义域中不含数字0，值域为不含数字0，满足题意； 当，注意到，即此时函数恒过定点，与坐标轴有交点，不满足题意. 综上，. 故答案为： 6.如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数、、从小到大的排列顺序为 　　．（请用“”连接） 【解析】对于，由其图象可知，例如， 对于，由其图象可知，例如， 对于，由其图象可知，例如， 所以． 故答案为：． 7.函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 8.已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】利用幂函数的定义确定的值，从而利用单调性解不等式即可求解. 【详解】因为是幂函数，则，得或， 又因为幂函数在上是严格减函数，所以，， 因为，则或或， 所以或. 所以解集为； 故答案为：. 9.满足的实数m的取值范围是_________ 【分析】根据幂函数的单调性结合函数值的正负，将所求不等式转化为关于的一次不等式组，求解即可. 【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正， 在为减函数，且函数值为负， 等价于， 或或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 10.已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】因为的定义域为，且在上单调递增， 所以由可得：，解得： 故答案为： 11.若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是_______ 【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得. 【详解】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或. 故选：C. 12.已知幂函数，且在严格递减，则_____. 【答案】 【分析】由幂函数的性质结合单调性可解； 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又在严格递减，所以. 故答案为：. 二、选择题 13．“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】求得为幂函数时的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，为幂函数，故充分性满足； 当为幂函数时，， 即，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 14.下列图象中，最符合函数的图象的是（  ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象判断即可. 【解析】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 15.已知，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性比较大小即可. 【解析】, 幂函数在上单调递增， 因为, 所以, 即, 所以, 故选：D. 52．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 3、 解答题 17.已知函数为幂函数． （1）求的解析式； （2）若在，上单调递增，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数为幂函数，则，，． （2），由复合函数的单调性，得，解得． 故实数的取值范围为，． 18.已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． （1）求和的值； （2）求满足的实数的取值范围． 【解析】（1）为幂函数， 则，解得， 在上单调递减， 则，解得， 又， 则或2， 当时，为偶函数，符合题意， 当时，为奇函数，不符合题意， 综上所述，，； （2）由（1）可知，，即， 则或或，解得或或， 故实数的取值范围为，． 19.已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求出值. （2）根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】（1）由已知可得， 即， 解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有， 可得， 解得或． 故所求解集为． 20.已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设，为实常数，求在区间，上的最小值． 【解析】（1）因为幂函数在上单调递增， 所以，故． 又因为，故，或，所以． （2）由（1）知， ①若，即时，在，上单调递增， 所以． ②若，即时， 在，上单调递减，，上单调递增， 所以． ③若，即时，在，上单调递减， 所以（1）． 综上：时，在区间，上的最小值为； 时，在区间，上的最小值为； 时，在区间，上的最小值为． 21．（24-25高一上七宝中学阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【答案】(1)或， (2)2 【分析】（1）根据幂函数得到，根据单调性得到，则根据函数为偶函数验证得到答案. （2）确定得到，变换，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）幂函数，则，解得或， 幂函数在上是减函数，故，解得， ，故或，幂函数图象关于轴对称， 当时，，图象关于轴对称，符合题意； 当时，，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或，； （2），，则， . 当且仅当，，即时等号成立. 所以的最小值是2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题4.1 幂函数 知识点一、幂函数的概念 1. 定义：形如 的函数称为幂函数，其中 为自变量， 为固定常数。 【要点】 同时满足以下条件才是幂函数：（1）以自变量为底的幂；（2）指数为常数；（3）自变量前的系数为1； 仅含单项幂式，无常数项、无加减运算、无其他因式。 特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。 知识点二、幂函数的图象（五大基础模型） 1. 图象特征：所有幂函数图象均过定点 ； 图象过原点， 图象不过原点。 2. 五大常见幂函数图象： 在同一平面直角坐标系中，幂函数的图象如图所示： 幂函数图象的要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域． 根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 口诀记忆：在第一象限内“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型． 知识点三、幂函数的性质 1.五种幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是增函数 在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 2、幂函数的性质 (1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质： ①函数的图象过点(0，0)，(1，1). ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间[0，＋∞)上是增函数. (2)当α<0时，幂函数y＝xα具有的性质为： ①函数的图象都过点(1，1). ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数. 知识点一、幂函数的概念及定义域 题型一、幂函数的概念辨析 【名师点拨】形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数， 【例1】判断下列函数是否为幂函数. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【例2】函数是幂函数，则 ． 【跟踪训练】 1.现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.若函数是幂函数，则实数的值是_____ 3.已知函数是幂函数，则m的值是____ 题型二、求幂函数的函数值、解析式 【名师点拨】若已知图象过点,将点坐标代入,解方程求。得到解析式后,求函数值直接代入自变量 【例3】已知幂函数的图象通过点，则 ． 【跟踪训练】 1. 若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是_______ 2. 已知幂函数的图象过点，则 ． 3. 已知幂函数满足，则_____ 4. 已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为 . 5. 若幂函数的图像经过点，则的值为______． 题型三、求幂函数的定义域与值域 【名师点拨】1.为正整数时,定义域为；为负整数时,定义域为。 2.为分数(最简),若为奇数,定义域为；为偶数,定义域为。 【例4】下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【例5】已知幂函数的图象过点，则的定义域为______ 【跟踪训练】 1.幂函数的定义域是（  ） A．R B． C． D． 2.若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 3.下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 4.设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 知识点二、幂函数的图像 题型四、图象识别与分析应用 【名师点拨】1.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 2.解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 【例6】幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【跟踪训练】 1.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 2.如果幂函数的图像，当时在直线的上方，则a的取值范围是 ． 3.函数的大致图象为（   ） A．B．C． D． 4.求下列函数的定义域，并作出它们的大致图象： (1)； (2)；(3)． 【例7】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（  ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 题型五、图象定点求解问题 【名师点拨】1.基本定点为(1,1),代入任何幂函数均成立。 2.若函数为,令得,定点为。 【例8】已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【例9】函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 2.已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 3.函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 4.若幂函数的图象经过点，则_____ 知识点三、幂函数的性质 题型六、幂函数单调性的判断 【名师点拨】关键是"根据指数的符号分区间判断"； 1.当时,幂函数在上单调递增；在的单调性需结合奇偶性； 2.当时,幂函数在上单调递减；同样需用奇偶性分析负区间； 3.对定义域分段的幂函数(如为偶分数),仅在对应区间判断单调性. 【例10】已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为 . 【例11】下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 【跟踪训练】 1.下列函数是幂函数且在是增函数的是（  ） A． B． C． D． 2.下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3.函数的严格增区间是_______. 题型七、利用幂函数的单调性比较大小 【例12】比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和. 【例13】已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 比较下列各组数中两个数的大小. (1)与； (2)与. 2. “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4. 设幂函数. (1)求证：该函数在区间上是严格减函数； (2)设，，利用（1）的结论，比较与的大小. 题型八、利用幂函数的单调性解不等式 【例14】若，则的取值范围是   ． 【例15】已知，则实数的取值范围是 ． 【例16】已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【跟踪训练】 1.不等式的解为 . 2. 实数满足，则实数的取值集合为 . 3. 已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 题型九、利用幂函数的图象与性质求参数 【例17】幂函数在上递减，则实数_______ 【例18】已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【跟踪训练】 1.若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 2.已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 3.已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为_______ 4.若幂函数的图像不经过原点，则的值为__________. 知识点四、素养提升 题型十、分式型函数的图像 【名师点拨】 【例19】已知函数y=和y=，说明这两个函数图像 之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像． 【例20】已知函数y=和y=，说明这两个函数图像之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像． 【跟踪训练】 1.已知函数，则(    ) A. 在上是增函数 B. 在上是增函数 C. 在上是减函数 D. 在上是减函数 2.已知函数，给出下列四个命题：函数的图象关于点对称；函数的图象关于直线对称；函数在定义域内单调递减；将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数的图象重合。其中正确命题的序号是__________ 3.已知函数 若在为单调增函数，求的取值范围 若求在上的值域 题型十一、幂函数图像与性质的综合应用 【例21】已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【跟踪训练】 1.已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 2.已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 一、填空题 1.幂函数的图象过点，则实数____________． 2.幂函数的图像过点，则的值为_______ 3.已知幂函数的图象过点，则的定义域为_________ 4.已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则　　． 5．幂函数的图象与轴、轴均无公共点，则实数的取值范围是______. 6.如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数、、从小到大的排列顺序为 　　．（请用“”连接） 7.函数的图象恒过点 . 8.已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________. 9.满足的实数m的取值范围是_________ 10.已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 11.若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是_______ 12.已知幂函数，且在严格递减，则_____. 二、选择题 13．“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14.下列图象中，最符合函数的图象的是（  ） A．B．C． D． 15.已知，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 52．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3、 解答题 17.已知函数为幂函数． （1）求的解析式； （2）若在，上单调递增，求实数的取值范围． 18.已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． （1）求和的值； （2）求满足的实数的取值范围． 19.已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 20.已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设，为实常数，求在区间，上的最小值． 21．（24-25高一上七宝中学阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $