专题2.3.2 双曲线的几何性质（1） ( 5大知识点+12大题型+21题强化）讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线的几何性质这一核心知识点，衔接双曲线定义与标准方程，系统梳理范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等关键性质，构建从基础概念到深化理解的知识支架。 资料通过分层讲解（基础性质到进一步理解）和8大题型分类（如由方程研究性质、离心率计算等），结合例题与跟踪训练，培养学生数学思维（逻辑推理、对比分析）和数学语言表达能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.3.2 双曲线的几何性质（1） 知识点一、双曲线的简单几何性质 标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 知识点二、双曲线几何性质的进一步理解 1、对称性：对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线既是轴对称图形，有两条互相垂直的对称轴，也是中心对称图形，其唯一的对称中心叫做双曲线的中心 2、顶点: (1)双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． (2)双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． (3)两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚U半轴长． (4)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．方程为x2－y2＝m(m≠0)． 3、范围 由方程－＝1可知=1-≥0，所以，也即｜x｜≥a， 且随着｜x｜不断增大，｜y｜也相应地不断增大．因此，双曲线－＝1在不等式x≥a和x≤－a所表示的区域内，且由两支组成：一支双曲线在直线x＝－a的左侧，向左上、左下两方无限延伸；另一支双曲线在直线x＝a的右侧，向右上、 右下两方无限延伸． 4、离心率:①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作e＝.． ②因为，所以双曲线的离心率e>1．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率e=． 5、渐近线:经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 注意：画双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线． 知识点一、双曲线的几何性质 题型一、由双曲线方程研究其几何性质 【例1】求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标． 【答案】解：把已知方程化成标准方程 ，所以，， ，所以双曲线的实轴长，虚轴长，两个焦点的坐标分别为，，两个顶点的坐标分别为，． 【例2】已知双曲线与，下列说法正确的是（  ） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【解析】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误. 故选：C. 【跟踪训练】 1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】由双曲线的几何性质分别求解即可. 【详解】（1）由双曲线方程， 知双曲线焦点在轴，且， 则双曲线的实轴长，虚轴长， 顶点的坐标， 离心率， 由，得渐近线方程， 画出双曲线草图（如图）.    （2）由双曲线方程， 知双曲线焦点在轴，且， 则双曲线的实轴长，虚轴长， 顶点的坐标， 离心率， 由，得渐近线方程， 画出双曲线草图（如图）.    2.双曲线与双曲线的（  ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】判断是双曲线曲线，先分别求解两双曲线的焦距、实轴长、虚轴长、离心率，再判断选项即可． 【解析】的实轴的长为，虚半轴的长为4， 因为，所以曲线是双曲线， 实轴的长为，虚轴的长为， 显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确； 双曲线与双曲线的离心率分别为：和，不相等，所以C不正确． 双曲线与双曲线的焦距都为8，焦距相等，所以D正确； 故选：D． 3.双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定. 【解析】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为. 由双曲线的方程可得：,. 双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误； 因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误； 因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确； 因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误. 故选：C. 题型二、由双曲线几何性质求标准方程 【例3】若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据离心率可知双曲线为等轴双曲线，设出方程，利用点在曲线上，点的坐标满足曲线方程，从而可求得结果 【解答过程】因为离心率，所以，即， 所以，所以双曲线为等轴双曲线， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线经过点 ， 所以，得，所以双曲线方程为， 故选：A. 【例4】以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，所求双曲线的焦点在轴，设所求双曲线的标准方程为，由题意可得出、关于、的关系式，由此可得出双曲线的标准方程. 【解答过程】因为椭圆的焦点在轴上， 由题意可知，所求双曲线的焦点在轴，设所求双曲线的标准方程为， 因为所求双曲线的顶点为椭圆的焦点，则， 而双曲线的焦点在轴上，且双曲线的焦点为椭圆的顶点， 则，可得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 故选：C. 【跟踪训练】 1.与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 【答案】 【分析】由题意可得椭圆的焦点为从而得双曲线的焦点为设所求双曲线的方程为，代入点坐标，结合，求解即可. 【详解】因为在椭圆中， 所以， 所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为， 则有， 解得， 所以所求双曲线方程为. 故答案为： 2.与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________. 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入求出的值，从而可得双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 3.已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 4.求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 题型三、利用双曲线的有界性求范围或最值 【例5】已知P是双曲线上一点，，求的最小值． 【答案】2 【分析】利用点点距离表示，结合点在曲线上，转化为二次函数的最值问题，从而得到结果. 【解析】设点，，则根据题意可得， ∴， ∴ ， 又或， ∴当时，的最小值为， ∴的最小值为2． 【跟踪训练】 1.已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值. 故答案为：. 2.若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 . 【答案】 【分析】已知双曲线C上存在点P，使得，设，则，将点P代入双曲线方程，综合可得，根据，，，即可求出实数b的取值范围. 【解析】错解： 设双曲线上的点满足，即， 又， ，即， ，且， ， 实数b的取值范围是. 错因： 忽略了双曲线中. 正解： 设双曲线上的点满足，即， 又， ，即， ，且， ， 又，实数b的取值范围是. 故答案为：. 题型四、等轴双曲线 【例6】等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为_______ 【答案】 【分析】根据等轴双曲线定义可设方程为，根据焦点坐标算出，解得双曲线方程，从而得出长轴. 【解析】由题意，设等轴双曲线方程为：， 注意到双曲线的焦点在轴上，则， 双曲线方程可化为， 由焦点可知，，则， 于是实半轴为，于是实轴长是. 【例7】经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等轴双曲线的标准方程，结合代入法进行求解即可. 【解答过程】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出该双曲线的方程. 【解析】设等轴双曲线的方程为， 将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得， 因此，该双曲线的方程为. 故选：C 2.已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【解答过程】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B. 3.若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数_____ 【解题思路】根据题意写出焦点在轴的双曲线的标准方程，再根据该双曲线为等轴双曲线写出满足的条件，解得即可. 【解答过程】由于双曲线是焦点在轴上的双曲线，所以双曲线的标准方程为， 又因为双曲线为等轴双曲线，所以，解得. 4.中心在原点，实轴在轴上，一个焦点坐标为的等轴双曲线的方程是________________； 【答案】. 【解析】设等轴双曲线的标准方程为，则，可得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 知识点二、双曲线的渐近线 题型五、已知方程或离心率求双曲线的渐近线 【例8】双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，所以双曲线的焦点在轴上，所以所以双曲线的渐近线方程为.故选：A 【例9】等轴双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等轴双曲线的方程结合几何性质可知，即可求得其渐近线方程，即得答案. 【详解】由题意得若等轴双曲线方程为， 则，则其渐近线方程为； 若等轴双曲线方程为， 则，则其渐近线方程为， 故等轴双曲线的渐近线方程为， 故选：C 【例10】已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的关系求，即可得其渐近线方程. 【解答过程】因为双曲线的离心率为，所以，可得， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 【跟踪训练】 1.双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线渐近线方程定义计算即可. 【详解】由题意可得：双曲线渐近线斜率为， 则其渐近线方程为：． 故选：C 2.双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线，即的右焦点坐标为， 所以，解得，所以双曲线方程为， 则双曲线的渐近线为；故选：C 3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为    A. B. C. D. 【答案】B 解：双曲线的离心率为， 即， 又， 解得：，， 则其渐近线方程为． 故选：B．   4.设双曲线的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于两点，为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】用直线分别与和联立，求出的坐标，再根据可得，，从而可得渐进线方程. 【详解】由题意，将分别与和联立， 可得,， 又，且，即, ∴,， ∴渐近线方程为.    故答案为： 5.双曲线的离心率为，则其渐近线方程是 . 【答案】 【分析】由题意可得出，求出的值即可求出其渐近线方程. 【详解】由可得：且， 所以， 所以，解得：， 所以双曲线，则其渐近线方程为：. 故答案为：. 题型六、根据双曲线的渐近线求标准方程 【例11】双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可设双曲线方程为，将代入方程求得，即可求得答案. 【详解】由题意双曲线经过一点，渐近线方程为， 可设双曲线方程为， 将代入方程得， 故双曲线的方程为，标准方程为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，解得、，即可得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 2.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为的是 A. B. C. D. 【答案】C 解：对于A，的焦点在x轴上，不满足题意； 对于B，的焦点在x轴上，不满足题意； 对于C，的焦点在y轴上，令，可得其渐近线方程为，满足题意； 对于D，的焦点在y轴上，令，可得其渐近线方程为，不满足题意． 故选C．   3.实轴在x轴上，实轴长为12，一条渐近线的方程为的双曲线方程为______． 【答案】 【解析】将变型为：，所以，实轴长为12，即，，得， 所以双曲线方程为：.故答案为： 4.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 题型七、求共渐近线的双曲线的标准方程 【例12】求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点的坐标代入方程求出即可. 【详解】依题意设双曲线方程为，则，解得， 所以双曲线方程为. 【跟踪训练】 1.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线方程为，将代入，求出，可求双曲线的标准方程． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为， 将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 故选：D． 2.双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，则设双曲线C的方程为，把点代入，解得λ，即可得出答案． 【详解】因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线C的方程为， 又因为双曲线C过点，所以，解得， 所以，所以双曲线C的方程为． 故答案为：． 3. 已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点坐标，解出即可. 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 题型八、双曲线渐近线性质应用 【例13】已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程. 【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为， 所以，故该双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【跟踪训练】 1. 双曲线的焦点到渐近线的距离为_____ 【解答】解：双曲线的焦点为或，渐近线方程为或． 由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， ．   2.点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率______ 【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，故，即，解得，故故选：A 知识点三、双曲线的离心率 题型九、双曲线离心率的性质 【例14】双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ） A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【答案】A 【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断. 【解析】因为，， 又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 因为，所以，即，即， 所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔. 故选：A. 【跟踪训练】 1.已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（    ） ①的开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同. A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 【答案】D 【解题思路】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较. 【解答过程】依题意，依次计算出各自的离心率可得： ，比较大小知： 可知：三个结论均为错误； 故选：D. 2.如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决． 【解答过程】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 题型十、求双曲线离心率的值 【例15】若双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为_____ 解：双曲线的两条渐近线方程为：． 由题知， 所以， 所以． 【跟踪训练】 1.已知、分别是双曲线的左、右焦点，P为E上的一点若是以P为直角顶点且有一个内角为的三角形，则E的离心率为_____ 解： 不妨设， 在直角中，， 由双曲线的定义得 ． 2.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限的公共点．若，则的离心率是______ 解：由题意知，， ， ， ， ， 的离心率是． 3.双曲线的离心率是_______ 【解析】由双曲线，得，，∴，，∴． 4.双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为______ 【解析】 设双曲线的右焦点为，连接， 根据椭圆的对称性可得， 由双曲线的定义可得所以 在中，，结合，可得，所以即， 在中， 即，所以，则， 5.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为_______ 【解析】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得， 所以，即. 6.已知双曲线C：的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由已知，，在中，∵H，C为，中点，∴.又，所以，∴. 故选：B 题型十一、由双曲线的离心率求参数值 【例16】“”是“双曲线的离心率大于2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据离心率求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若双曲线的离心率大于，则，解得， 所以“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件； 故选：C 【跟踪训练】 1.已知双曲线的离心率为2，则 ． 【答案】 【分析】利用双曲线的标准方程可得，即可求得. 【详解】由可得， 利用离心率为，可得，解得. 故答案为： 2.已知双曲线的离心率大于，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线的离心率公式计算即可 【详解】双曲线的离心率大于， 可得，解得m＞1. 故答案为：. 3.设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可 【详解】因为表示双曲线的方程， 所以有，因此， 因为， 所以由 ， 即k的取值范围为， 故答案为：. 题型十二、求双曲线离心率的取值范围 【例17】已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】设，， 由，代入不等式中， 化简，得恒成立， 则有， 解得，而，所以 故选：A 【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构造关于中任意两个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1进行求解即可. 【例18】已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设，可得点，再代入双曲线方程并整理求得，进而求出离心率范围. 【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得， 设，则，即点， 因此，整理得，由，得，则， 于是，解得，即，则的离心率， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A 【跟踪训练】 1．已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】圆，双曲线的渐近线为， 圆与双曲线的渐近线有公共点， 圆心到渐近线的距离， ，，即， ． 故答案为：． 2．设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是_______ 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【解析】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围是， 3.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】设点，其中，易知点、，且有，则， ， 当点在第一象限时，，，则，，且， 由基本不等式可得， 因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即， . 故答案为：. 4.已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是_______ 【解析】由题意得，渐近线, 将代入得坐标为,所以, 因为轴，所以, 由已知可得, 两边同时除以得, 所以，即， 解得,所以， 而双曲线的离心率， 5.若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为______________ 【答案】 【解析】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点， 所以圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，． 故答案为：． 6.已知双曲线的实轴为，对上任意一点P，在上都存在点Q，使得，则C的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意得到的关系式，然后由双曲线离心率的公式以及范围即可得到结果. 【详解】因为对上任意一点P，在上都存在点Q，使得， 所以，所以，即， 所以. 即. 故答案为: 7.设椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意先求出椭圆与双曲线的离心率，表示出，然后根据椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长建立不等式，结合题意求出的范围，进而求出的取值范围. 【详解】由椭圆知：， 所以， 又双曲线知：， 所以， 所以， 因为椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长， 所以， 所以， 所以，即， 所以 故选：B. 一、填空题 1.双曲线的虚轴长为______ 【解题思路】根据双曲线方程求出，即可求出虚轴长. 【解答过程】双曲线，则， 所以双曲线的虚轴长为. 2.若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为______ 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，根据实轴长与虚轴长相等列方程来求得的值. 【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得. 3.双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为_____ 【分析】利用双曲线的几何性质即得。 【解析】中，，故，故，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为， 所以该双曲线的焦点到它的渐近线距离为 4.已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点；则双曲线的标准方程为_________ 【答案】 【分析】由双曲线的离心率公式及过定点即可求出标准方程. 【解析】设所求双曲线方程为. , ，所以,解得 所以双曲线的标准方程为 故答案为: 5.中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是__________ 【答案】 【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【解析】解：令 ，得， 又双曲线焦点在x轴上， 等轴双曲线的一个焦点为， 即， ∴， 故等轴双曲线的方程为. 故答案为： 6.若双曲线的离心率为，则______ 【分析】根据双曲线方程结合离心率公式运算求解即可. 【解析】由题意知，双曲线的离心率，所以． 7.已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为______ 【解析】双曲线顶点在轴上，可设其方程为， 顶点坐标为，渐近线方程为，即， ，解得：，双曲线方程为：. 8.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是______ 【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求解即可. 【解析】因为双曲线的离心率为， 所以，故，即，， 解得，故，即渐近线方程是 9.若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为______ 【分析】由双曲线离心率公式可得，结合双曲线渐近线方程求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，解得：， 所以双曲线的渐近线方程为； 10.已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为______ 【分析】首先求出的焦点坐标，从而求出的值，即可得到的方程，即可求出渐近线方程； 【解析】解：双曲线中、，所以，即焦点坐标为， 因为双曲线与共焦点，所以， 解得，所以双曲线，则的渐近线方程为； 11.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为. 若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为______ 【解题思路】求点到双曲线的渐近线的距离，由条件列方程，化简可求离心率. 【解答过程】设双曲线的半焦距为，则右焦点的坐标为，， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在渐近线上，则， 所以，因为，所以，所以， 所以双曲线的离心率. 12.已知为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，，若，求双曲线的离心率的取值范围． 【答案】 【分析】思路一：设直线的倾斜角为，则，将离心率表示成的函数即可；思路二：设，根据条件求出，将离心率表示成的函数即可；思路三：由四边形为矩形，得出，设代入双曲线方程，结合离心率公式得出，再由得出该双曲线的离心率的取值范围. 【详解】解法1：如图，设直线的倾斜角为，则． 由，可得，结合余弦定理可得，， 利用双曲线的对称性以及双曲线的定义可知， ， 由于，所以． 解法2：设，由，得， 结合三角函数的定义可得，， 利用双曲线的对称性及双曲线的定义，可得， 则双曲线的离心率． 由于直线，，则，所以， 故． 二、选择题 13.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的右焦点的坐标为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以， 因为，所以，所以，所以双曲线的右焦点的坐标为， 故选B. 14.双曲线和双曲线（）的（   ） A．离心率相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．焦距相等 【答案】D 【解题思路】根据双曲线方程依次求出离心率，实轴长，虚轴长，焦距，进而判断. 【解答过程】对于双曲线，，，则， 离心率为，实轴长为8，虚轴长为6，焦距为10； 对于双曲线，得，，， 离心率为，实轴长为，虚轴长为，焦距为10. 故选：D. 15.设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（    ） A．越大，双曲线开口越小 B．越小，双曲线开口越大 C．越大，双曲线开口越大 D．越小，双曲线开口越大 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解. 【解答过程】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误； 对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误； 对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确； 对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误. 故选：C. 16.已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长，再根据不等式整理可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【解答过程】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，可得， 即，可得， 所以，所以， 又，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B. 三、解答题 17.已知双曲线方程为，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点和焦点坐标、离心率及渐近线方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【解析】双曲线的方程可化为， 可得，所以，可得， 所以实轴长为，虚轴长为，焦距为， 顶点坐标为，焦点坐标为， 离心率，渐近线方程为． 18.已知双曲线的离心率为2． (1)求双曲线C的渐近线方程 (2)如果双曲线C的焦点和椭圆的焦点相同，求双曲线C的方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用离心率可得到，再通过渐近线方程即可得到答案； （2）通过椭圆的方程可得到公共焦点，然后通过题意可列出关于的方程组，即可得到答案 【详解】（1）由双曲线的离心率为2， 所以，则即，∴即， ∴双曲线C的渐近线为； （2）因为椭圆的焦点在x轴，且焦点坐标为， 所以，由解得， 所以双曲线的方程为 19.已知双曲线的右焦点为． 求双曲线的方程 求双曲线的渐近线与直线围成的三角形的面积． 【答案】解：双曲线的右焦点的坐标为，且双曲线的方程为， ， ， 双曲线的方程为． ，， 双曲线的渐近线方程为 令，则， 设直线与双曲线的渐近线的交点为A，B，则． 记双曲线的渐近线与直线围成的三角形的面积为S， 则． 20.已知双曲线． (1)若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线的离心率为，求实数的取值范围． 【答案】(1)焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为； (2) 【分析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； （2）先求（用表示），再根据解不等式得结果. 【详解】（1）当时，双曲线方程化为 所以，，， 所以焦点坐标为，，顶点坐标为，， 渐近线方程为. （2）因为，又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 21.已知点在双曲线的图像上． (1)若点为双曲线上一动点，点为直角坐标系内一定点，求中点的轨迹方程； (2)是否存在这样的双曲线，它与双曲线有相同的渐近线，且点到上的动点的最小值为？若存在，请求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)双曲线： 【分析】 （1）先根据点在双曲线上，求出双曲线方程；设点坐标为，根据为中点，可表示出，然后根据点在双曲线上，可得点的轨迹方程. （2）先根据有共同渐近线设双曲线的方程，再设以为圆心，为半径的圆，由双曲线与圆相切，可得双曲线的方程. 【详解】（1）∵在双曲线上，所以， 所以双曲线：. 设，∵为中点，所以点坐标为：， 又在双曲线上，所以，即为点轨迹方程. （2）假设所求双曲线存在， 因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，可设双曲线：. 以为圆心，为半径的圆为：， 联立方程组：，消去得： ，整理得：. 由得：. 所以，所求双曲线的方程为：即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.3.2 双曲线的几何性质（1） 知识点一、双曲线的简单几何性质 标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 知识点二、双曲线几何性质的进一步理解 1、对称性：对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线既是轴对称图形，有两条互相垂直的对称轴，也是中心对称图形，其唯一的对称中心叫做双曲线的中心 2、顶点: (1)双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． (2)双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． (3)两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． (4)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．方程为x2－y2＝m(m≠0)． 3、范围 由方程－＝1可知=1-≥0，所以，也即｜x｜≥a， 且随着｜x｜不断增大，｜y｜也相应地不断增大．因此，双曲线－＝1在不等式x≥a和x≤－a所表示的区域内，且由两支组成：一支双曲线在直线x＝－a的左侧，向左上、左下两方无限延伸；另一支双曲线在直线x＝a的右侧，向右上、 右下两方无限延伸． 4、离心率:①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作e＝.． ②因为，所以双曲线的离心率e>1．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率e=． 5、渐近线:经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 注意：画双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线． 知识点一、双曲线的几何性质 题型一、由双曲线方程研究其几何性质 【例1】求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标． 【例2】已知双曲线与，下列说法正确的是（  ） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【跟踪训练】 1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图： (1)； (2)． 2.双曲线与双曲线的（  ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3.双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 题型二、由双曲线几何性质求标准方程 【例3】若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【例4】以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 2.与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________. 3.已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4.求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 题型三、利用双曲线的有界性求范围或最值 【例5】已知P是双曲线上一点，，求的最小值． 【跟踪训练】 1.已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 2.若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 . 题型四、等轴双曲线 【例6】等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为_______ 【例7】经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 2.已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 3.若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数_____ 4.中心在原点，实轴在轴上，一个焦点坐标为的等轴双曲线的方程是________________； 知识点二、双曲线的渐近线 题型五、已知方程或离心率求双曲线的渐近线 【例8】双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【例9】等轴双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2.双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为    A. B. C. D. 4.设双曲线的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于两点，为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 5.双曲线的离心率为，则其渐近线方程是 . 题型六、根据双曲线的渐近线求标准方程 【例11】双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【跟踪训练】 1.已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 2.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为的是 A. B. C. D. 3.实轴在x轴上，实轴长为12，一条渐近线的方程为的双曲线方程为______． 4.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（  ） A． B． C． D． 题型七、求共渐近线的双曲线的标准方程 【例12】求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【跟踪训练】 1.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2.双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为 ． 3. 已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 题型八、双曲线渐近线性质应用 【例13】已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【跟踪训练】 1.双曲线的焦点到渐近线的距离为_____ 2.点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率______ 知识点三、双曲线的离心率 题型九、双曲线离心率的性质 【例14】双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ） A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【跟踪训练】 1.已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（    ） ①的开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同. A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 2.如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十、求双曲线离心率的值 【例15】若双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为_____ 【跟踪训练】 1.已知、分别是双曲线的左、右焦点，P为E上的一点若是以P为直角顶点且有一个内角为的三角形，则E的离心率为_____ 2.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限的公共点．若，则的离心率是______ 3.双曲线的离心率是_______ 4.双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为______ 5.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为_______ 6.已知双曲线C：的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 题型十一、由双曲线的离心率求参数值 【例16】“”是“双曲线的离心率大于2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1.已知双曲线的离心率为2，则 ． 2.已知双曲线的离心率大于，则m的取值范围是 . 3.设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为 题型十二、求双曲线离心率的取值范围 【例17】已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例18】已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 2．设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是_______ 3.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 4.已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是_______ 5.若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为______________ 6.已知双曲线的实轴为，对上任意一点P，在上都存在点Q，使得，则C的离心率的取值范围为 ． 7.设椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、填空题 1.双曲线的虚轴长为______ 2.若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为______ 3.双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为_____ 4.已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点；则双曲线的标准方程为_________ 5.中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是__________ 6.若双曲线的离心率为，则______ 7.已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为______ 8.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是______ 9.若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为______ 10.已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为______ 11.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为. 若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为______ 12.已知为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，，若，求双曲线的离心率的取值范围． 二、选择题 13.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的右焦点的坐标为( ) A． B． C． D． 14.双曲线和双曲线（）的（   ） A．离心率相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．焦距相等 15.设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（    ） A．越大，双曲线开口越小 B．越小，双曲线开口越大 C．越大，双曲线开口越大 D．越小，双曲线开口越大 16.已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17.已知双曲线方程为，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点和焦点坐标、离心率及渐近线方程． 18.已知双曲线的离心率为2． (1)求双曲线C的渐近线方程 (2)如果双曲线C的焦点和椭圆的焦点相同，求双曲线C的方程． 19.已知双曲线的右焦点为． 求双曲线的方程 求双曲线的渐近线与直线围成的三角形的面积． 20.已知双曲线． (1)若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线的离心率为，求实数的取值范围． 21.已知点在双曲线的图像上． (1)若点为双曲线上一动点，点为直角坐标系内一定点，求中点的轨迹方程； (2)是否存在这样的双曲线，它与双曲线有相同的渐近线，且点到上的动点的最小值为？若存在，请求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $