专题2.3.1 双曲线的标准方程 （4大知识点+10大题型+21题强化）-2026-2027学年高二上学期数学预修提升讲义（沪教版选择性必修第一册）

本讲义聚焦双曲线的标准方程这一核心知识点，从定义（含常数约束条件辨析）出发，系统推导标准方程，明确焦点在x轴和y轴的方程形式及a、b、c关系，延伸至焦点三角形（周长、面积），再到综合应用（轨迹方程、最值问题），构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，通过定义理解、方程求解、焦点三角形应用等专题，结合例题与跟踪训练，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。例如定义辨析题强化抽象能力，焦点三角形面积计算提升运算能力，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.3.1 双曲线的标准方程 知识点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二 双曲线标准方程的推导 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点：取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系：设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合：由定义可知，双曲线就是集合： ． （3）代数方程 ∵， ∴ （4）化简方程：将这个方程移项，两边平方得： 化简得：两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得： 即，其中 这就是双曲线的标准方程． 知识点三、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 知识点诠释： 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点四 双曲线的焦点三角形 1、①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； 2、双曲线的焦点三角形面积的求法 知识点一、双曲线的定义 题型01：双曲线定义的理解 【例1】已知M(-3,0),N(3,0),PM-PN=6,则动点P的轨迹是 (　　) A.一条射线　　　　B.双曲线右支 C.双曲线　　　　D.双曲线左支 【答案】A　 【解析】因为PM-PN=6=MN,故动点P的轨迹是一条射线,其方程为y=0,x≥3, 故选A. 【跟踪训练】 1.平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 【答案】B 【解析】如图： 设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为， 则若在线段（不包含两端点）上，有； 若在直线外，有； 若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点）， 则有. 故选：B 2.已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 【答案】C 【分析】根据给定条件，得，即可确定轨迹作答. 【详解】因为，于是有， 所以动点P的轨迹是一条射线． 故选：C 3.已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解. 【详解】由于，因此满足， 的动点P的轨迹均不是双曲线， 满足的动点P的轨迹是双曲线的右支， 而满足的动点P的轨迹才是双曲线． 故选：B． 题型01：双曲线定义的简单应用 【例2】设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（    ） A．5 B．1 C．3 D．1或5 【答案】A 【解析】依题意得，，，因此，由于，故知点只可以在双曲线的左支上，因此，即，所以， 故选:A． 【跟踪训练】 1.如果双曲线上的一点P到焦点的距离等于16，那么点P到另一个焦点的距离是______． 【答案】32 【解析】双曲线的焦点在轴上，对应， 由于，所以， 所以. 故答案为： 2.如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【解析】设双曲线的左、右焦点为，则； 则， 由双曲线定义可得，即， 所以或，由于， 故点到它的左焦点的距离是或， 故选：C 3. 设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解析】双曲线C：，则，， 由双曲线的定义知：，， ， 所以 . 故选：C. 知识点二、双曲线标准方程的求解 题型03：双曲线方程的充要条件 【例3】已知，当为何值时， (1)方程表示焦点在轴上的椭圆； (2)方程表示双曲线. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）结合椭圆几何性质即可； （2）结合双曲线几何性质即可. 【详解】（1）由题知： ， 解得： （2）由题知: , 解得：或 【例4】曲线C的方程为，则下列说法错误的是（    ） A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆 B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆 C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线 D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确； 对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确； 对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确； 对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值； 当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确， 故选：A. 【跟踪训练】 1. “”是“为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为方程表示双曲线，所以， 又当时，方程表示双曲线， 因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件. 故选：C 2.已知双曲线的方程为,则的取值范围是 . 【答案】 【详解】为双曲线方程, 解得或 的取值范围是. 故答案为： 3.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中错误的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答. 【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误； 对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确； 对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确； 对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确． 故选：A 题型04：定义法求双曲线的标准方程 【例5】－＝4表示的曲线方程为（    ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 【答案】C 【解析】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合. 根据双曲线定义可知， 所以   由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大 所以 即曲线方程为 故选：C. 【例6】设动点M到点A（0，-5）的距离与它到点B（0，5）的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 【解析】选C.因为|MA－MB|＝6<10＝|AB|， 所以M点轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支， 其中a＝3，c＝5，所以b2＝＝4， 所以M点轨迹方程为－＝1. 【跟踪训练】 1.已知动点M(x,y)的坐标满足方程-=8,则M的轨迹方程是 (　　) A.+=1　　　　B.-=1 C.-=1(x>0)　　　　D.-=1(y>0) 【答案】C　 【解析】由题意知,点M到点(-5,0)的距离与到点(5,0)的距离之差为8<10,符合双曲线的定义,且点M的轨迹是双曲线的右支,其中,c=5,2a=8,即a=4,故b==3,所以M的轨迹方程是-=1(x>0), 故选C. 2.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为. 故选：C. 3.已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的标准方程为，半焦距为c， 则由题意可知，，即，故， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C． 4.已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意依次求得，从而得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，， 所以设双曲线的方程为，半焦距为； 又因为是双曲线上一点且， 所以，即，则； 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 题型05：待定系数法求双曲线的标准方程 【方法点拨】1.若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. 2.与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为＋＝1(－a2<λ<－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为＋＝1(－a2<λ<－b2)． 3.与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)． 【例7】分别求满足下列条件的曲线方程 (1)，，焦点在x轴上； (2)焦点为､，经过点. (3)经过、两点． (4)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】(1)由题设知，，，由，得. 因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为； （2）由已知得，且焦点在y轴上.因为点在双曲线上， 所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a， 即， 则，. 因此，所求双曲线的标准方程是. （3）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 若双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. （4）由题意椭圆的半焦距， 所以满足题意的双曲线的焦点坐标为， 所以不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 而双曲线上的点在第二象限， 所以由双曲线的定义有 ， 解得，又，所以， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 【跟踪训练】 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两焦点坐标为，，且； (2)两焦点坐标为，，且经过点； (3)，焦点在轴上，且过点； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，，所以， 又焦点在轴上， 所以所求双曲线方程为. （2）由题意，焦点在轴上，， 又经过点， 所以， 所以，又， 所以所求双曲线方程为. （3）由于双曲线的焦点在轴上， 可设其标准方程为：， 因为双曲线过点， 所以， 又因为，所以， 解得：，， 故所求双曲线的标准方程为：. 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，经过点和点． (2)经过点和． (3)经过点，； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设双曲线的方程为，则，所以， ∴双曲线方程为； （2）设双曲线方程为，将两点代入可得， 解得，所以双曲线的标准方程为； （3）(2)设双曲线的方程为：代入点坐标得到： 解得： 故双曲线的标准方程为： 3.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）已知与椭圆共焦点的双曲线过点 （2）与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】(1)（2） 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，∴， 所以椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点坐标为，， 设所求双曲线的标准方程为，则， 故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上， ∴代入有，化简得，解得或； 当时， ，不合题意，舍去； ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线可得焦点坐标为， 设所求双曲线的方程为，， 由题意可得：，解得， 所以双曲线的标准方程为：， 故答案为：. 知识点三、双曲线的焦点三角形 题型06：双曲线中焦点三角形的周长问题 【例8】设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 . 【答案】22 【解析】由题意知，， 又， ∴，， 故的周长为， 故答案为：22 【跟踪训练】 1.已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（    ） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】C 【解析】如图所示： ∵双曲线的左焦点为， ∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴． ∵①，②， ∴①+②得， ∴的周长． 故选：C 2．已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，所以，解得， 所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示． 由双曲线的定义，知①，②， 由①②，得， 又， 所以的周长为． 故选：C. 题型07：双曲线中焦点三角形的面积问题 【例9】已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆以及双曲线定义可求得，即可求出的面积为. 【详解】根据题意如下图所示：    利用椭圆定义可知，由双曲线定义可知； 解得， 由三角形面积公式可得； 即的面积为. 故选：C 【例10】双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（    ） A． B． C．32 D．42 【答案】A 【解析】根据、为双曲线的两焦点可得， 又直线、倾斜角之差为，所以， 根据余弦定理可得， 整理得①， 根据点P在双曲线上可得， 则②， ①-②得，， 则面积为. 【跟踪训练】 1.设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是 【答案】 【解析】 如图： 由得，， ，， 由题意：，， ， 所以， 故答案为： 2. 设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________. 【答案】9 【解析】由双曲线定义可知：，， 由已知，因为，所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形，故， 即，又， 所以， 解得:，所以 故答案为：9 3. 已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨令在双曲线右支， 依题意可得，，， 解得，，又， 由余弦定理 即，解得， 所以， 所以的面积． 故选：C． 4. 已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为 . 【答案】16 【解析】双曲线，所以，，所以，， 是双曲线左支上的点，，， 在△中，由余弦定理得， ， △的面积为. 故答案为：. 5.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B． C． D．30 【答案】A 【解析】由，可得 又是是双曲线上的一点，则， 则，，又 则，则 则的面积等于 故选：A 题型08：双曲线中焦点三角形的其他问题 【例11】已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论错误的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】根据焦点三角形与椭圆双曲线的联系，结合余弦定理，面积公式即可求解. 【详解】设，，又∵， 即， 又∵，，令， ∴，， ∴，故A正确； ，， ，故B正确； 当时，，得， ∴，故C不正确． 设，证明椭圆的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由椭圆定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 设，证明双曲线的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由双曲线定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 由，故D正确． 故选:C． 【跟踪训练】 1. 已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离. 【答案】 【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形中利用等面积法求解即可. 【详解】   由题可得，， 所以, 设，则，解得, 由于对称性，不妨取，所以 根据双曲线的定义可得，，解得， 设到直线的距离为， 在直角三角形中，， 所以. 2. 已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】由为等腰三角形，可得，证得，有，又，得，利用面积法求点到轴的距离. 【详解】设双曲线的右焦点为，由题意可得，连接， 则有，， 若为等腰三角形，则（线段与显然不相等）， 所以，又为的中点，所以， 则有． 由双曲线的定义得， 所以， 设点到轴的距离为，则． 故选：A． 3.设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得. 【详解】因为双曲线，则，，所以， 因为为双曲线右支上一点，所以，又， 所以，，， 由余弦定理， 即，解得，又， 所以. 故答案为： 4.已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义求出 ， ， ，利用余弦定理得出结果即可. 【详解】由题意可得 ， 由双曲线的定义得 ，而 ， 解得 ， 由余弦定理得 所以 . 故选：A. 知识点四、综合提升 题型09：求双曲线的动点轨迹方程 【例12】动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 【答案】点M轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 【分析】利用两点、点线距离公式列方程，并转化整理即可得轨迹方程，进而判断轨迹. 【详解】设d是点M到直线l的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，则. 将上式两边平方，并化简，得，即. 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 【例13】动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆：，圆心，半径 . 圆：，圆心，半径 . 设，半径为，因为动圆与圆，都外切， 所以， 所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支. 所以，，解得， 即的轨迹方程为：. 故选：D 【跟踪训练】 1已知点，，直线，相交于点，且它们斜率之积为，试求点的轨迹方程． 【详解】设点，则（），（） 因为它们的斜率之积为，所以，，（） 化简，得（） 故点的轨迹方程为（） 2.如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .      【答案】 【解析】圆：，圆心，半径， 圆：，圆心，半径. 设动圆M的半径为R，则有，， ∴， ∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是. 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故答案为：. 3. 如图所示，在△ABC中，已知AB＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 【思路导引】建立直角坐标系，根据双曲线的定义求解． 【解析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0).由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径). 因为2sin A＋sin C＝2sin B， 所以2BC＋AB＝2AC，即AC－BC＝＝2<AB. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点). 由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)， 因为a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝6. 即所求轨迹方程为－＝1(x>). 4.求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程； （2）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程； （3）设根据斜率公式得到方程，整理可得. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （3）设，则，， 根据题意有， 化简得 ∴顶点的轨迹方程为.    题型10：双曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值 【例14】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短）， 故选：B. 【例15】已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5, 而，仅当共线且在之间时等号成立， 所以，当共线且在之间时等号成立. 故选：D 【例16】过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2； 圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1， 设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）， 连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得 |PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22） ＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1） ＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3 ＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13． 当且仅当P为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选D． 【跟踪训练】 1.已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用双曲线定义将转化，用到右焦点的距离表示，由点与右焦点位于双曲线右支异侧，利用两点之间线段最短可得最小值. 【详解】由题意知，. 设双曲线的右焦点为， 由是双曲线右支上的点，则， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立. 又，则. 所以，的最小值为. 故答案为：.      2．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，则MA＋MB的最小值为________. 【解析】设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点， 由双曲线的定义，得MA－MD＝2a＝2. 所以MA＋MB＝2＋MB＋MD≥2＋BD， 又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故BD≥CD－1＝－1， 从而MA＋MB≥2＋BD≥＋1， 当点M，B在线段CD上时取等号，即MA＋MB的最小值为＋1. 答案：＋1 3.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】B 【解析】由，所以有， 设圆的圆心为，半径为， 设该双曲线另一个焦点为，所以， 求的最小值转化为求的最小值， 因此当点依次共线时，有最小值， 即， 故选：B 4.已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为， 所以， 当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.故选：C． 5.设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【解析】因为双曲线方程为，故，则其焦点为， 根据题意，作图如下： 则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； ，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；则， 故可得，故的最大值为：.故选：B. 6.已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 【答案】 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义即可求的最大值. 【详解】，，，则， 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为， 所以，， 则 ， 即的最大值为．    一、填空题 1.已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则 ． 【答案】13 【详解】由题意， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在右支上，所以. 故答案为：. 2.已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则_______ 【详解】由，得，得， 因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上， 所以， 3.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为______ 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或. 4.以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为______ 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 5．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为____________. 【解析】令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点． 令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4， 则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4， 所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上， 所以双曲线的方程为－＝1. 答案：－＝1 6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 . 【答案】 【分析】椭圆焦点在轴上，写出椭圆焦点和在轴上的顶点即可得抛物线方程. 【详解】椭圆的焦点为、，在轴上的顶点为、. 则双曲线的焦点为、，顶点为、. 故双曲线方程为： 故答案为：. 7．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________. 【思路导引】2．方程－＝1表示双曲线， 则1＋k和1－k同号，进而求得k的范围． 【解析】2．方程－＝1表示双曲线， 则(1＋k)(1－k)>0，所以(k＋1)(k－1)<0，所以－1<k<1. 答案：(－1，1) 8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为__ 【详解】由条件可知，，， ，则， 则, 所以面积为. 9.已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为________． 【解析】由圆A：(x＋4)2＋y2＝2，可得圆心A(－4，0)，半径＝； 由圆B：(x－4)2＋y2＝2可得圆心B(4，0)，半径＝. 设动圆的半径为R，由题意可得EA＝R＋，EB＝R－，所以EA－EB＝2＜2×4，由双曲线的定义可得，动圆的圆心E在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上， 因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，所以动圆圆心E的轨迹方程为－＝1(x≥). 答案：－＝1(x≥) 10.已知定点，且，动点满足，则的最小值是 . 【答案】6 【解析】因为动点满足， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， 则，即， 不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为， 左焦点为，右焦点为， 设，则， 所以， 所以的最小值是6， 故答案为：6 11.已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，_____ 【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小. 【详解】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. ===. 12. P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】5 【分析】由题意及圆的性质知，，结合双曲线定义求最大值. 【详解】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，    两圆的半径分别为，，易知，， 故的最大值为. 故答案为：5 二、选择题 13．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 【解析】选D. F1，F2是定点且F1F2＝10，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应为一条射线． 14.已知曲线：，则下列说法错误的是（    ） A．若曲线表示双曲线，则 B．若曲线表示椭圆，则且 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则 D．若曲线与椭圆有公共焦点，则 【答案】A 【解析】对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误； 对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确； 对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则， 所以，则，解得，故C正确； 对于D：椭圆的焦点为， 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）； 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确； 故选：A 15. 若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 16.已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】由得， 由勾股定理得， 由双曲线的定义得， ， 所以， 则的面积为， ，解得. 故选：C. 三、解答题 17.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点坐标为，且经过点； (2)焦点在坐标轴上，经过点. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a， 则有 ，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有， 所以所求双曲线的标准方程为. (2)依题意，设双曲线的方程为：， 于是得，解得：， 所以所求双曲线的标准方程为. 18. （1）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程； （2）若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设点，分别表示两点间距离及点到直线的距离，化简可得解； （2）由外切可知，，即，根据双曲线的定义可轨迹方程. 【详解】（1）设点，由题意得：， 化简得： 所以点的轨迹方程是； （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为， 由题意可得， 所以， 即圆心满足到定点、的距离之差为定值， 所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此，圆心的轨迹方程为. 19.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，   20.已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用两点间的距离公式计算可得答案； （2）设曲线的左焦点为，由双曲线定义得，当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小即周长的最小． 【详解】（1）设．因为，所以， 整理得，即曲线的方程为； （2）设曲线的左焦点为，则． 因为点在双曲线的右支上，所以，所以． 因为， 所以的周长为． 当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小值， 所以周长的最小值为． 21. （1）某科研团队在科研基地点西侧、东侧20千米处设有两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在以为焦点的双曲线上，以点为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线的标准方程和点坐标． （2）团队又在正南、正北15千米处设有两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1千米）和点位置（精确到）． 【答案】（1）， （2）千米，点位置北偏东 【分析】（1）由题意可得，所以，即可得到双曲线的标准方程；可得直线，由直曲联立即可求得点坐标； （2）由已知，可得为和在第一象限的交点，联立解出点坐标，即可求得和点位置. 【详解】（1） 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，所以， 所以双曲线的标准方程为， 因为在北偏东处，所以直线的斜率为， 所以直线， 与双曲线方程联立，可得， 所以点的坐标为． （2） ①由，可得，所以， 则双曲线的方程为； ②由，可得，所以， 所以双曲线的方程为； 由题意可得为的右支与的上支的交点， 两双曲线方程联立，解得， 所以， 所以千米，点位置北偏东． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.3.1 双曲线的标准方程 知识点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二 双曲线标准方程的推导 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点：取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系：设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合：由定义可知，双曲线就是集合： ． （3）代数方程 ∵， ∴ （4）化简方程：将这个方程移项，两边平方得： 化简得：两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得： 即，其中 这就是双曲线的标准方程． 知识点三、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 知识点诠释： 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点四 双曲线的焦点三角形 1、①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； 2、双曲线的焦点三角形面积的求法 知识点一、双曲线的定义 题型01：双曲线定义的理解 【例1】已知M(-3,0),N(3,0),PM-PN=6,则动点P的轨迹是 (　　) A.一条射线　　　　B.双曲线右支 C.双曲线　　　　D.双曲线左支 【跟踪训练】 1.平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 2.已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 3.已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 题型01：双曲线定义的简单应用 【例2】设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（    ） A．5 B．1 C．3 D．1或5 【跟踪训练】 1.如果双曲线上的一点P到焦点的距离等于16，那么点P到另一个焦点的距离是______． 2.如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 3. 设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 知识点二、双曲线标准方程的求解 题型03：双曲线方程的充要条件 【例3】已知，当为何值时， (1)方程表示焦点在轴上的椭圆； (2)方程表示双曲线. 【例4】曲线C的方程为，则下列说法错误的是（    ） A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆 B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆 C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线 D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值 【跟踪训练】 1. “”是“为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知双曲线的方程为,则的取值范围是 . 3.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中错误的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 题型04：定义法求双曲线的标准方程 【例5】－＝4表示的曲线方程为（    ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 【例6】设动点M到点A（0，-5）的距离与它到点B（0，5）的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 【跟踪训练】 1.已知动点M(x,y)的坐标满足方程-=8,则M的轨迹方程是 (　　) A.+=1　　　　B.-=1 C.-=1(x>0)　　　　D.-=1(y>0) 2.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型05：待定系数法求双曲线的标准方程 【方法点拨】1.若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. 2.与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为＋＝1(－a2<λ<－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为＋＝1(－a2<λ<－b2)． 3.与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)． 【例7】分别求满足下列条件的曲线方程 (1)，，焦点在x轴上； (2)焦点为､，经过点. (3)经过、两点． (4)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【跟踪训练】 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两焦点坐标为，，且； (2)两焦点坐标为，，且经过点； (3)，焦点在轴上，且过点； 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，经过点和点． (2)经过点和． (3)经过点，； 3.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）已知与椭圆共焦点的双曲线过点 （2）与双曲线有公共焦点，且过点． 知识点三、双曲线的焦点三角形 题型06：双曲线中焦点三角形的周长问题 【例8】设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 . 【跟踪训练】 1.已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（    ） A．28 B．36 C．44 D．48 2．已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型07：双曲线中焦点三角形的面积问题 【例9】已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【例10】双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（    ） A． B． C．32 D．42 【跟踪训练】 1.设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是 2. 设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________. 3. 已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是（    ） A． B． C． D． 4. 已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为 . 5.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B． C． D．30 题型08：双曲线中焦点三角形的其他问题 【例11】已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论错误的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 【跟踪训练】 1. 已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离. 2. 已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．3 D．5 3.设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ． 4.已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点四、综合提升 题型09：求双曲线的动点轨迹方程 【例12】动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 【例13】动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1已知点，，直线，相交于点，且它们斜率之积为，试求点的轨迹方程． 2.如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 . 3. 如图所示，在△ABC中，已知AB＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 4.求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 题型10：双曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值 【例14】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例15】已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例16】过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为 A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 2．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，则MA＋MB的最小值为________. 3.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 4.已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D． 5.设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 6.已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 一、填空题 1.已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则 ． 2.已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则_______ 3.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为______ 4.以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为______ 5．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为____________. 6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 . 7．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________. 8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为__ 9.已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为________． 10.已知定点，且，动点满足，则的最小值是 . 11.已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，_____ 12. P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 . 二、选择题 13．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 14.已知曲线：，则下列说法错误的是（    ） A．若曲线表示双曲线，则 B．若曲线表示椭圆，则且 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则 D．若曲线与椭圆有公共焦点，则 15. 若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 16.已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ）A．2 B． C． D．3 三、解答题 17.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点坐标为，且经过点； (2)焦点在坐标轴上，经过点. 18. （1）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程； （2） 若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹方程. （3） 19.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 20.已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 21. （1）某科研团队在科研基地点西侧、东侧20千米处设有两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在以为焦点的双曲线上，以点为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线的标准方程和点坐标． （2）团队又在正南、正北15千米处设有两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1千米）和点位置（精确到）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $