专题2.2.2 椭圆的几何性质（2） （3大知识点+9大题型+21题强化） -2026-2027学年高二上学期数学预修提升讲义（沪教版选择性必修第一册）

本讲义聚焦椭圆几何性质进阶应用，核心知识点包括直线与椭圆的位置关系（相交、相切、相离的判定）、弦长公式（交点法与根与系数关系法）、中点弦与点差法，以及综合提升的三角形四边形面积、定点、定值、最值问题，构建从基础判定到综合应用的学习支架。 资料以“知识点-题型示例-跟踪训练”分层设计，题型覆盖位置关系判断、参数求解、弦长计算等，通过点差法推导培养逻辑推理能力，定值问题强化模型观念。课中助力教师分层教学，课后学生可通过跟踪训练查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.2.2 椭圆的几何性质（2） 知识点一、直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 知识点二、直线与椭圆相交的弦长公式 1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2、求弦长的方法 （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 知识点三、中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 知识点一、直线与椭圆的位置关系 题型01：判断直线和椭圆的位置关系 【例1】如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：    (1)有两个公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 【例2】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【跟踪训练】 1.直线与椭圆的公共点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 2.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3.直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 5．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 题型02：根据直线和椭圆的位置关系求参数 【例3】已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是 . 2.若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为____________． 3．在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 4.已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 知识点二、直线与椭圆相交问题 题型03：求椭圆的弦长 【例4】已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【例5】已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 3.已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 4．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知F1，F2分别为椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若4，则弦长|AB|＝（    ） A．8 B．6 C．5 D． 6.已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 题型04：根据椭圆的弦长求参数 【例6】已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________． 【例7】已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为___________. 【跟踪训练】 1.已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 2.过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为 ． 题型05：椭圆的中点弦与点差法 【例8】若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为 . 【例9】已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【跟踪训练】 1.若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2.若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为________． 3.已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为______． 4.已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5. 已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 知识点三、综合提升 题型06：求椭圆的三角形四边形面积 【例11】已知椭圆的左焦点为，短轴长为4．求： (1)椭圆C的标准方程． (2)过点F且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点，求的面积． 【例12】焦点在轴上的椭圆，离心率为，短轴长为2． (1)求该椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左、右焦点，分别向斜上方作斜率为1的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点，求四边形的面积． 【跟踪训练】 1.已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆的方程； (2)过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 2.已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点. (1)求的值； (2)求（为坐标原点）面积的最大值. 3.已知椭圆（）的离心率为． (1)求E的方程； (2)记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 题型07：椭圆的定点问题 【例13】已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【跟踪训练】 1. 如图：已知三点、、都在椭圆上． (1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积； (2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由． 2.已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上． （1）求的方程： （2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由； （3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：过定点． 题型08：椭圆的定值问题 【例14】已知椭圆，其离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； (3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 【跟踪训练】 1. 已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 的周长为6，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 3.已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 题型09：椭圆的最值与范围问题 【例15】设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过的右焦点，且，，求的值； （3）设直线的方程为，且，求的取值范围. 【跟踪训练】 1. 已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 2.已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 一、填空题 1.已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 2.已知直线与椭圆相交于不同两点，求实数的取值范围． 3.若直线过点且与椭圆仅有1个交点，则直线的斜率为 ． 4.已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 5.已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为_____. 6.已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7.若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 8.过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 9.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A． B． C．2 D． 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 11.已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 12.已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题 13．已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 14．焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 或 15.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 16.如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 三、解答题 17.已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围. 18．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 、19．椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为.若在轴上方，且，求证：直线过定点. 、20.已知O为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，A为其左顶点，C的离心率为，点M是C上一点，的最小值为 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l与椭圆C相交于E，F两点，若，证明：直线l过定点. （3）若点，点 N为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 、21.已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. （1）求的方程； （2）直线的斜率为时，求与的面积之比； （3）椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.2.2 椭圆的几何性质（2） 知识点一、直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 知识点二、直线与椭圆相交的弦长公式 1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2、求弦长的方法 （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 知识点三、中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 知识点一、直线与椭圆的位置关系 题型01：判断直线和椭圆的位置关系 【例1】如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：    (1)有两个公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 【答案】(1)(2)，(3)，或 【分析】（1）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可. （2）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可. （3）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可. 【详解】（1）由方程组消去y，得， ． 由，得． 此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点． （2）由，得，．此时方程①有两个相等的实数根， 直线l与椭圆C有且只有一个公共点． 由，得，或．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点． 【例2】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【解题思路】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【解答过程】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【跟踪训练】 1.直线与椭圆的公共点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【解析】由消去y并整理得， 显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点.故选：C 2.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系. 【详解】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离. 故选：C 3.直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 4．直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 5．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 题型02：根据直线和椭圆的位置关系求参数 【例3】已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将直线的方程与椭圆的方程联立， 得，消去得①， 因为直线与椭圆有公共点，所以方程①有实数根， 则，得.故选：B． 【跟踪训练】 1．如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据直线所过的定点与椭圆的位置关系进行求解即可. 【详解】直线l：过定点， 因为直线l：与椭圆C：总有公共点， 所以点在椭圆内部或椭圆上， 则有， 故答案为： 2.若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】直线与椭圆联立方程进行消元, ，求解即可. 【解答过程】由，可得， 因为直线与椭圆没有公共点， 故，故或， 则的取值范围为， 故答案为：. 3．在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【解析】求出与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程，根据椭圆的性质可得两条切线中与已知直线距离较远的那条直线上的点到直线的最大值． 【详解】解：设直线与椭圆相切 联解消去，得 ，解得或 与直线平行且与椭圆相切的直线方程为 其中与直线距离较远的是，且距离为， 到直线的最大距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题． 4.已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 知识点二、直线与椭圆相交问题 题型03：求椭圆的弦长 【例4】已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得的值. 【详解】设点、，直线的方程可化为， 联立可得，解得，， 由弦长公式可得. 故选：C. 【例5】已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入椭圆方程，即可得解. 【详解】不妨设为右焦点，则， 联立，解得，故． 故选：B． 【跟踪训练】 1.经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果. 【解答过程】，，∴，即， ，∴， 联立方程组得，整理得， 设，，∴，， . 故选：A. 2．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式求线段的长度. 【详解】将代入椭圆方程， 得： 或. 当时，；当时，. 所以点的坐标分别为和. 所以. 故选：A 3.已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解题思路】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【解答过程】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C. 4．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 5．已知F1，F2分别为椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若4，则弦长|AB|＝（    ） A．8 B．6 C．5 D． 【答案】A 【分析】通过三角形的面积以及弦长公式，转化求解即可． 【详解】解：因为，所以，， 过椭圆左焦点且斜率为， ． 故选：． 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题． 6.已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和焦距列出等式，求得即可； （2）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 题型04：根据椭圆的弦长求参数 【例6】已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________． 【答案】 【分析】根据题意，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的纵坐标，结合弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的斜率. 【详解】由题意可得，若直线与轴重合，则，不符合题意， 设直线的方程为，设点，其中， 联立可得，解得， 由弦长公式可得， 整理可得，即，解得， 故直线的斜率为. 【例7】已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为___________. 【答案】或 【分析】首先由题意求椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，代入弦长公式，即可求解. 【详解】由题意得，.∴.∴椭圆方程为. 当直线l的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 联立，得， 恒成立. 设，.∴，. ∴， 即， 解得，∴. ∴直线l的方程为或. 故答案为：或. 【跟踪训练】 1.已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 【答案】4 【详解】联立，得 ， 则，解得，且， 所以，解得． 2.过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为 ． 【答案】或 【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为， 设直线为，， 由，得， 整理得， 因为，所以， 所以， ，解得， 所以直线为，即或． 故答案为：或 题型05：椭圆的中点弦与点差法 【例8】若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法得，再代入点坐标即可得答案. 【详解】易知，设椭圆中心为， 不妨设坐标分别为，则有： . 两式作差可得：， 的中点为， . 即， 解得. 故可设直线的点斜式：， 整理得直线的方程为：. 故答案为：. 【例9】已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设， ，利用点差法计算可得. 【解答过程】依题意直线的斜率存在，设， ， 则，即， 又，所以， 即，所以， 即，所以直线的斜率为. 故选：B. 【例10】已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦距为，离心率为，由，求解； （2）设，，则，，利用点差法求解. 【详解】（1）解：，， 所以，， 又， 所以， 椭圆的标准方程为. （2）设，， 则，， 两式相减可得， 为线段的中点， 则，， ， ， 直线的方程为， 整理得：. 【跟踪训练】 1.若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 2.若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为________． 【答案】 【分析】利用点差法解决中点弦问题，即可求得结果. 【详解】由题意，直线的斜率存在，设，则， 因为点在椭圆上，所以， 两式相减得，，即， 整理得，即， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 故答案为：. 3.已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为______． 【答案】/ 【分析】利用点差法求解直线的斜率. 【详解】设，， 因为线段的中点坐标为，所以，， 将点，代入椭圆方程可得：， 两式相减得，即， 也即，所以. 设直线的斜率为，则. 故答案为：. 4.已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可知：的中点即为弦的中点，利用点差法运算求解. 【详解】设直线：，可得， 设的中点为，连接OM，则，， 因为，则，即为弦的中点， 设，则， 因为， 可得，两式相减得， 整理得，可得， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：D.    5. 已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设半焦距为，根据题意，再待定系数求解即可； （2）设，，根据点差法求解即可. 【详解】（1）解：设半焦距为， 因为椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上， 所以，解得． 所以的方程为. （2）解：设，，    代入椭圆方程得， 两式相减可得，即. 由点为线段的中点得， 则的斜率， 所以的方程为，即. 所以直线的方程为. 知识点三、综合提升 题型06：求椭圆的三角形四边形面积 【例11】已知椭圆的左焦点为，短轴长为4．求： (1)椭圆C的标准方程． (2)过点F且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的相关概念，求出参数，写出椭圆的标准方程即可. （2）根据直线点斜式方程，以及直线与椭圆的位置关系，联立方程组，求出交点坐标，求出三角形面积即可 【详解】（1）由题意知，所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2） 如图所示，过点F且斜率为1的直线l方程为， 可得，消去得，解得或， 则交点坐标为 则. 【例12】焦点在轴上的椭圆，离心率为，短轴长为2． (1)求该椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左、右焦点，分别向斜上方作斜率为1的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点，求四边形的面积． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由题意可求得，，求解可得椭圆的标准方程； （2）延长交椭圆于另一点，连接，，利用已知可得，联立直线的方程与椭圆方程，可求得. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为． 由题意知，，，解得，，． 故椭圆的标准方程是． （2）椭圆的左、右焦点是，延长交椭圆于另一点，连接，． 利用椭圆的对称性可知，故， 则． 易知直线的方程为，与椭圆联立方程组 ， ． 而点到直线的距离等于点到直线的距离， 从而，故四边形的面积为． 【跟踪训练】 1.已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆的方程； (2)过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值． 【详解】（1）因为点是椭圆的右顶点，所以. 又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. （2）由题意得直线l的方程为：， 设， 联立，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 2.已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点. (1)求的值； (2)求（为坐标原点）面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率列式计算即可； （2）直线，联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式、面积公式写出面积关于k的表达式，进而利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题意可得，，因为离心率，所以， 又，所以，解得； （2）由（1）知，椭圆的上焦点为， 设，直线， 联立，整理得：， 则，且， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    3.已知椭圆（）的离心率为． (1)求E的方程； (2)记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件先求出椭圆的半焦距，继而求得短半轴长，即得椭圆方程； （2）先检验当直线的斜率为0时，不合题意，再设，将其与椭圆方程联立，消元后写出韦达定理，利用弦长公式建立方程，求得，即得直线的方程，求出点到直线的距离，即可求得的面积. 【详解】（1）不妨记E的半焦距为c，则，解得， 故E的方程为． （2）当直线AB的斜率为0时，，不合题意，舍去； 当直线AB的斜率不为0时，记，联立， 消去可得，显然，设，， 则，， 于是， ， 即，可得（舍）或，故， 故：，故O到的距离， 故的面积．    题型07：椭圆的定点问题 【例13】已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【详解】（1）由题，，． 所以离心率． （2）由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． （3）如图：    设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以，故，则， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 【跟踪训练】 1. 如图：已知三点、、都在椭圆上． (1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积； (2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据点、、都是椭圆的顶点，计算的面积即可得； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系得出，根据中点坐标公式，求解即可得； （3）设，，，根据，得出，用与表示直线与椭圆的方程，求解即可得出和的值，从而求出点的坐标． 【详解】（1）因为点、、都是椭圆的顶点， 所以的面积为； （2）设，，因为直线的斜率为， 所以可设直线的方程为， 由，消去，整理得， ，即， ，， 设弦中点，则， ， 消去，得， 所以， 所以点的轨迹方程为，； （3）设，，，则， 因为直线的斜率为，设直线的方程为， 其中，且不过， 椭圆的方程可化为，即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， ，解得， 代入，解得，所以， 所以存在点或，使得恒成立． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2.已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上． （1）求的方程： （2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由； （3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：过定点． 【解答】解：（1）结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上， 即有、、满足椭圆方程， 即，， 解得，， 可得椭圆方程为； （2）设直线为，线段中点为， 根据椭圆中点弦性质， 即， 联立解得中点，， 代入，可得， ； （3）证明：当直线的斜率不存在时，设，，， 直线与直线的斜率的和为，， 解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足； 若直线的斜率存在，设，联立椭圆， 可得， 设，，，， 则，， ， 直线，即， 则直线经过定点． 题型08：椭圆的定值问题 【例14】已知椭圆，其离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； (3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据椭圆离心率及所过点列出方程组求解即得. （2）由（1）求出点坐标，再利用斜率坐标公式计算得解. （3）根据给定条件，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【解答过程】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由（1）得，直线的斜率， 所以直线的斜率之和为. （3）由直线过点，且交椭圆于两点，得直线的斜率存在， 当直线的斜率为0时，其方程为，不妨令点，由（2）知； 当直线的斜率不为0时，设其方程为，， 由消去并整理得， ，解得或，， 因此 ， 所以为定值. 【跟踪训练】 1. 已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定值为 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由解得， 即轨迹的方程为：； （2）因为直线经过点，倾斜角为， 所以直线的方程为，联立， 解得或，故得点和点， 则， 由得，解得； （3）如图， 法一：由题意得直线不可能与轴重合， 设为：， 联立得到， 而， 由韦达定理得， ， 故是为定值，且该定值为； 法二：①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 可得，此时， ②当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，得到， 而， 由韦达定理得， 所以 ， 故是为定值，且该定值为， 综上所述，为定值. 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 的周长为6，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值，理由见解析. 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可得到答案. （2）首先直线的方程为，与椭圆联立得到，，根据得，同理得，再计算即可. 【详解】（1）由题意，可得，又， 所以椭圆C的方程为； （2） 由题，得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为， 则联立，消去，整理得，， 设，则，， 又，则， 由得，所以，同理得， 所以 所以为定值. 3.已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在轴上存在定点，使得为定值． 【分析】（1）由椭圆定义、勾股定理、直角三角形面积公式求解即可； （2）设直线与椭圆联立，设定点，由韦达定理化简数量积，让含m的项系数为 0，即可求出定点的坐标. 【详解】（1）设，又，则， 由得，∴解得， 故． （2）由（1）知，左焦点． 因为直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆方程，得． 设，则， ． 设定点，则， 代入得：， 令此式与无关，则，则， 此时， 因此，在轴上存在定点，使得为定值． 题型09：椭圆的最值与范围问题 【例15】设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过的右焦点，且，，求的值； （3）设直线的方程为，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系列出等式，进而可得椭圆的方程； （2）设的左焦点为，连接，利用向量的运算以及椭圆的定义和对称性推出，再代入三角形面积公式中即可求解； （3）设出，，三点的坐标，利用向量的运算得到，，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，将点的坐标代入椭圆方程中得到，此时满足，再结合弦长公式和换元法进行求解即可． 【小问1详解】 由的离心率是短轴的长的倍，得 ，即， 又，则， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设的左焦点为，连接， 因为，所以点、关于点对称， 又，则， 由椭圆的对称性可得， ，且三角形与三角形全等， 则， 又，化简整理得， ，则. 【小问3详解】 设，，， 又 ，则，， 由得，， ， 由韦达定理得，，， 又， 则，， 因为点在椭圆上，所以， 化简整理得，， 此时，， 则 ， 令，即， 则， 则的取值范围是. 【点睛】关键点点睛:本题考查直线与椭圆得位置关系及弦长范围问题，关键是向量坐标化得C坐标并代入椭圆方程得m,k的等量关系. 【跟踪训练】 1. 已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据椭圆定义得到，，故C的方程为； （2）（ⅰ）设直线l方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，直线PM的方程为，代入两根之和，两根之积求出，故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）计算出，得到的取值范围为. 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 2.已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； 【小问2详解】 设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； 【小问3详解】 设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 一、填空题 1.已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 2.已知直线与椭圆相交于不同两点，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】联立直线与椭圆方程，利用判别式大于，解不等式可得结果. 【详解】联立，消去并整理得， 依题意得，即， 解得或. 3.若直线过点且与椭圆仅有1个交点，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【解析】由已知可设直线， 联立， 化简得. 因为直线与椭圆相切， 所以有， 解得． 故答案为： 4.已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设点为椭圆的右焦点，将代入椭圆方程，求出的值，即可得出的值. 【详解】在椭圆中，，，则. 不妨设点为椭圆的右焦点，则， 将代入椭圆的方程得，解得，故. 故选：B. 5.已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为_____. 【答案】3 【分析】过焦点的弦长最短的是通径，通径为． 【详解】由已知，，通径长为， 则 的最小值． 故答案为：3. 6.已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用点差法即可求解. 【解答过程】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 7.若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若直线轴，则点、关于轴对称，则直线的中点在轴，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设点、，则， 所以，，两式作差可得， 即，即， 可得直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即.故选：B. 8.过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由弦中点坐标利用点差法计算可得直线的斜率. 【解析】显然在椭圆内， 当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，， 此时不是线段的中点， 所以直线的斜率存在，设，， 则，两式相减并化简得， 又，，代入得， 解得， 故选：D 9.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【解析】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【解答过程】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 11.已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 【答案】B 【解题思路】设直线方程为，，联立方程组结合韦达定理可得，设长轴上的点，可得，可求定点的坐标，验证斜率为0的情况即可. 【解答过程】椭圆，直线过右焦点， 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，， 由，消去得，， 整理得，所以， 设长轴上的点， 可得， 所以 ， 当且仅当时，即时， 为定值，此时点坐标为， 当直线直线的斜率为0时，，计算可得， 所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，且点坐标为. 故选：B. 12.已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得的范围，再结合根与系数的关系写出数量积，由得范围求得的范围． 【解答过程】当直线斜率不存在时，直线方程为，，， 此时； 当直线斜率存在时，设斜率为，设, 则直线方程为， 联立，得， ，得． ， ． ． ，，， 则， 综上，的取值范围是． 故选：D． 二、选择题 13．已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 14．焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 或 【答案】A 【分析】设椭圆方程为，且，及交点，将两点代入椭圆方程可得， 根据弦中点坐标关系可得，结合直线方程得，再由椭圆的焦距求得的值，即可得椭圆标准方程． 【解析】设椭圆方程为，且 设直线与椭圆相交的两点坐标为，由题意可知，即， 所以， 又在椭圆上，可得：，两式相减得， 整理得：，则，所以， 又直线的斜率为2，所以，即，所以 椭圆的焦距为，所以，则， 故可得：解得，故椭圆的标准方程为：． 故选：A． 15.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据和长轴是短轴长的2倍可设椭圆方程，再联立直线和椭圆方程通过韦达定理可求解出斜率，从而求得. 【解答过程】因为长轴长是短轴长的2倍，所以，而，则. 设， 直线的方程为 代入椭圆方程可得，整理得， 即. ，. ，， 所以，则，即，化简得，解得， 因为，所以. 故选：A. 16.如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性，结合椭圆过焦点的最长、最短弦求出范围. 【详解】设点关于原点的对称点为，由椭圆的对称性，得点在椭圆上，    由互相平分于点，得四边形为平行四边形，则且， 又且，则点与点重合，因此， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径，最长弦长为实轴长， 椭圆的通径长为，实轴长为，由知，线段与椭圆实轴不重合， 所以. 故选：C 三、解答题 17.已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆长轴长与离心率求出代入椭圆的标准方程即可. （2）联立直线方程与椭圆方程，有两个公共点即联立后的方程有两根，结合根的判别式即可求出的取值范围. 【解答过程】（1）由题设，则，故椭圆； （2）联立，则，化简得：， 由直线与椭圆有两个公共点，则，得. 故m的取值范围是. 18．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设椭圆标准方程，由椭圆上的点和焦点建立方程组，即可解得椭圆标准方程； （2）设直线的方程，联立方程组并整理得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理写出交点坐标与参数的关系.并代入三角形面积公式，借助基本不等式即可求得最大值. 【解答过程】（1）设椭圆方程为，由题意可知 则，∴， 即椭圆. （2）设直线， 联立方程组得，整理后得， 令，则， ， 令，则，∴， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴. 19．椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为.若在轴上方，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用椭圆的离心率，及椭圆上的点到焦点的最小距离列式求出，即得椭圆方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，求得韦达定理，利用化简后代入韦达定理，推得，即可证明直线过定点. 【解答过程】（1）由题意，即，因点为椭圆上的点，故线段的最小值为， 联立两方程解得，则， 故椭圆的标准方程为； （2）依题意，直线的斜率必存在，可设其方程为：， 由，消去可得：， 因， 设，则， 由可得. 即，整理得， 将韦达定理代入，可得， 即，化简得，此时经检验符合题意， 故直线的方程为：，恒过定点.    20.已知O为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，A为其左顶点，C的离心率为，点M是C上一点，的最小值为 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l与椭圆C相交于E，F两点，若，证明：直线l过定点. （3）若点，点 N为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3）18 【分析】（1）由题可知，，得出a、c，进而得出椭圆C的方程； （2）设，，设直线l的方程为，与椭圆联立，由，得，结合韦达定理得出t的值，进而得出直线l过定点； （3）当直线与椭圆相切时，与 AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时的面积取得最大值，设出直线方程，与椭圆联立，结合判别式等于0，得出直线方程，再计算可得的面积的最大值. 【解析】（1）由题可知，，解得，， 所以C的方程：； （2）设，， 由题意分析可设直线l的方程为， 联立直线方程与椭圆方程， 可得， 则即， ，， 因为，所以， 即， 因为化简得，经检验符合题意. 所以直线l的方程为，即横过定点 （3）设与直线AM平行的直线方程为：， 如下图，当直线与椭圆相切时，与 AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N， 此时的面积取得最大值. 联立直线方程与椭圆方程， 可得：，化简可得：， 所以，即m2，解得， 与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 由两点之间距离公式可得 所以的面积的最大值： 21.已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. （1）求的方程； （2）直线的斜率为时，求与的面积之比； （3）椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）1 （3）过定点， 【分析】（1）根据条件，确定的值，得椭圆的标准方程. （2）设直线，得到点的坐标，再与椭圆方程联立，借助韦达定理，得到点坐标的关系，表示出与的面积，可求它们的比. （3）分斜率是否存在进行讨论.当直线斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立，根据韦达定理，结合，可探索的关系，得到直线过定点. 【解析】（1）由题知，，所以， 又离心率，得， 则有 所以椭圆的方程为. （2）如图： 设直线，所以， 联立直线与椭圆方程得 ，整理得，，得， 设，则，即， . 所以与的面积之比为1. （3）当直线斜率存在，设直线，联立直线与椭圆方程得 ，整理得，， 整理得，即， 所以或，均满足 当时，直线过点，不满足题意. 当时，直线过定点. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，过点. 综上可知，直线过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $