专题2.4.2 抛物线的几何性质 （1）（5大知识点+8大题型+21题强化）讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线几何性质核心知识点，从定义出发系统梳理范围、对称性、顶点、离心率及通径等性质，通过标准方程对比表格构建知识框架，进而延伸到直线与抛物线位置关系、弦长及焦点弦问题，形成从基础到应用的学习支架。 该资料亮点在于分层设计题型，从基础判断到综合应用，培养数学思维中的推理与运算能力，结合拱桥、卫星天线等实际问题，发展数学眼光与模型意识。课中助力教师精准教学，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.4.2 抛物线的几何性质（1） 知识点一、抛物线的简单几何性质 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 知识点二、抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离；恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方程． 知识点三、直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点四、直线与抛物线相交弦长问题 1、弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． （4）线段AB的垂直平分线方程为 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、焦点弦 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 知识点五、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 知识点一、抛物线的几何性质 题型一、由抛物线方程研究其几何性质 【例1】对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为. 故选A项. 【例2】在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）；    （2）；    （3）；    （4）． 【详解】解:抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【跟踪训练】 1．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 2. 关于抛物线，下列说法正确的是_________ (1)开口向左 (2)焦点坐标为 (3)准线为 (4)对称轴为轴 【答案】(1)(4) 【解析】对选项(1)，，开口向左，故(1)正确； 对选项(2)，，焦点为，故(2)错误； 对选项(3)，，准线方程为，故(3)错误； 对选项(4)，，对称轴为轴，故(4)正确. 故选：(1)(4) 3.已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是_______ (1)抛物线的焦点坐标是 (2)抛物线关于轴对称 (3)抛物线的准线方程为 (4)抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】(1)(3) 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故(1)、(3)正确； 抛物线关于轴对称，故(2)错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故(4)错误. 故选：(1)(3) 4.下列关于抛物线的说法错误的是________ A．焦点在x轴上 B．焦点到准线的距离等于10 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 【答案】B 【解析】抛物线的焦点在x轴上，，正确，错误； 设是上的一点，则，所以正确； 由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确. 故选：B. 题型二、由抛物线几何性质求标准方程或参数 【例3】判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴、y轴或原点对称： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1），是椭圆方程，所以关于原点、x轴、y轴对称． （2），曲线是双曲线方程，所以关于原点、x轴、y轴对称． （3），曲线是抛物线方程，开口向下，对称轴为轴，不关于原点、x轴对称． （4）在曲线上任取一点，则关于x轴、y轴、原点的对称点分别为：、、， 将代入曲线方程，得到，与方程不同，将代入曲线方程，得到，与方程不同， 将代入曲线方程，得到，与方程不同， 所以曲线不关于x轴、y轴，原点对称. 【例4】抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 【跟踪训练】 1. 下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是_________ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(3)(4) 【解析】关于轴的对称点为，关于轴的对称点为， 同时满足方程、、，(1)(3)(4)项正确. ，是开口向上的抛物线，关于轴对称，不关于轴对称，(2)选项错误. 2. 设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（    ） 【答案】或 【解析】 设，因为，所以， 因为，所以， 即，所以，所以， 解得，所以，解得或， 所以抛物线的方程为或． 3.已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） 【答案】4或36 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 知识点二、直线与抛物线的位置关系 题型三、判断直线与抛物线的位置关系 【例5】直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【解题思路】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【解答过程】直线过定点， ∵， ∴点在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 【例6】已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当直线平行于轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点， 直线与抛物线的轴不平行时，由于在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条． 综上，符合要求的直线有3条． 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解答过程】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 2.过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【解析】由已知，可得 ①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点； ②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点； ③当直线斜率存在时，设直线方程为， 由可得，，，解得， 故直线方程. 所以存在3条直线,,满足过点与抛物线只有一个公共点. 故选：C. 3.抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】B 【解题思路】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论． 【解答过程】设，，则的中点坐标为，， 所以中垂线的斜率为， 所以直线的中垂线方程为，代入，可得， ∴， ∴线段FA的中垂线与抛物线相切. 故选：B. 题型四、根据直线与抛物线的位置关系求参数 【例7】当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【解析】由，得. 当时，方程化为一次方程， 该方程只有一解，原方程组只有一组解， ∴直线与抛物线只有一个公共点； 当时，二次方程的判别式， 当时，得，， ∴当或时，直线与抛物线有两个公共点； 由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 由得或，此时直线与抛物线无公共点． 综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点； 当或时，直线与抛物线有两个公共点； 当或时，直线与抛物线无公共点． 【例8】已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程． 【解析】当直线l的斜率不存在时，由直线l过点可知，直线l就是y轴，其方程为． 由消去未知数x得．这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线与抛物线C相切． 如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为． 由方程组 消去x，整理得．为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有且， 因此可解得． 此时直线l的方程为，即． 综上可知，直线l的方程为或． 【跟踪训练】 1.已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 【答案】或0 【解析】由，整理得， 当时，，解得， 当时，直线为轴，与抛物线只有一个交点，满足题意， 综上，实数的值为或0. 2.已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解答过程】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A. 3.已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 代入抛物线方程，消去并整理，得． 当时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为），显然满足题意； 当时，， 解得或． 综上，， 故选：A． 4.已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线 （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点? 【解析】设直线的方程为：，即. 联立 （1）因为直线与抛物线只有一个公共点， 等价于方程只有一个根. 当时，，符合题意. 当时，， 整理得：，解得或. 综上可得：或或. （2）因为直线与抛物线有两个公共点， 等价于方程只有两个根. 所以，， 即，解得且. （3）因为直线与抛物线没有公共点， 等价于方程无根. 所以，， 即，解得或. 知识点三、直线与抛物线相交问题 题型五、抛物线的弦长问题 【例9】若抛物线与直线交于，两点，则等于______ 【解析】由消去y并整理得，， 设，，则，， . 【例10】直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 【答案】0 【详解】联立直线与抛物线得， 由韦达定理有，． 弦长为 ， 解得．此时，故方程有解． 故． 【例11】已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为______ 【解析】由题意可知，直线不可能与轴平行，设直线的方程为， 由，消去，得， 设，则， 所以， 因为，所以，解得或（舍）， ， 当且仅当即时，取的最小值为, 所以的最小值为, 【跟踪训练】 1.已知直线与抛物线：交于两点，则_______ 【解析】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 2.已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于_____ 【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得． 【解析】由题意可得，抛物线的焦点， 由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为， ∴直线AB的方程为， 设， 联立方程，可得，解得， 由抛物线的定义可知，. 3.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以， 解得，所以直线的斜率为． 故选：B. 4.过抛物线的焦点作互相垂直的弦，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．32 D．64 【答案】B 【解析】抛物线的焦点， 设直线的直线方程为，则直线的方程为. ，，，. 由，得， ，同理可得. . 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：B 5.已知抛物线，并且经过点. (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求. 【答案】(1) (2)16 【解题思路】（1）将代入抛物线方程即可求解； （2）直线方程与抛物线方程联立，方法一：利用弦长公式或两点间距离结合韦达定理可求；方法二：利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 【解答过程】（1）因为抛物线过点， 所以，解得， 所以抛物线方程为. （2）设， 联立消去可得，. 由一元二次方程根与系数的关系得，. 方法一： . 方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点， 如图，设，过两点分别向准线作垂线，垂足为. 由抛物线的定义可知，. 于是. 由方法一可得， 于是. 题型六、抛物线的焦点弦问题 【例12】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 【一般解法】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1.① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，② 由①②解得xA＝2，xB＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝. 【应用结论】(方法一)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E. 设|BF|＝m，|AF|＝2m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m. 由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m， |BC|＝|BF|＝m， 所以cos θ＝＝， 所以sin2θ＝. 又y2＝4x，所以2p＝4， 利用弦长公式|AB|＝＝. (方法二)因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1， 解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 【例13】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若F是AC的中点，且|AF|＝4，求线段AB的长． 【一般解法】如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D．由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4.因为F是AC的中点，所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)．又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)．代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝. 【应用结论】前面同一般解法，求得抛物线的方程为y2＝4x. (方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3.又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝. (方法二)因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. 【跟踪训练】 1.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则_______； 【答案】10； 【解析】设A（x1,y1）,B(x2,y2),则对于抛物线x2=8y,焦点弦长 因为抛物线的焦点坐标为（0,2），，所以直线AB的方程为 将代入抛物线方程，得 2.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，，则____． 【答案】 【解析】设，，，显然直线AB的斜率存在，设为 将直线方程与抛物线方程联立，消去y得①，则 因为，所以，方程①即 解得，，故 3. 设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【解答过程】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 4. 斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用直线过抛物线焦点以及斜率为，表示出直线方程，然后联立抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦性质，即可求出线段长度. 【解答过程】由题知，抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以该直线方程为， 即， 联立，得， 设，则， 所以. 故选：A. 5. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为P，Q.若|AF|＝3|BF|，则|PQ|＝________. 【答案】　 【解析】F(1，0)，不妨设A在第一象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由|AF|＝3|BF|得y1＝－3y2① 设lAB：y＝k(x－1)与抛物线方程联立得 ky2－4y－4k＝0，y1＋y2＝， y1·y2＝－4，② 结合①②解得y2＝－，|PQ|＝|y1－y2|＝|－3y2－y2|＝－4y2＝. 6.斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________. 答案　 解析　因为抛物线C的方程为y2＝4x， 所以抛物线C的焦点为F(1，0)， 又直线AB过焦点F且斜率为，所以直线AB的方程为y＝(x－1). 将其代入抛物线方程，消去y并化简得3x2－10x＋3＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1. 法一　又直线AB的斜率k＝， 所以|AB|＝|x1－x2| ＝×＝. 法二　|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝. 法三　由直线l的斜率k＝，知其倾斜角θ＝60°， 则弦长|AB|＝＝＝＝. 7.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|． 【答案】（1）；（2）. 【解析】设直线． （1）由题设得，故，由题设可得． 由，可得，则． 从而，得． 所以的方程为． （2）由可得． 由，可得． 所以．从而，故． 代入的方程得． 故． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系. 题型七、抛物线的中点弦及点差法 【例14】已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【解析】设，，，， 由，， 相减可得， ， ， 故选：C． 【例15】已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设,则， 相减得， 由于,所以， 所以,将其代入中可得， 所以 ,故,故选：C 【例16】已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，直线l交抛物线于M，N两点， 设，则， 两式相减得，整理得， 因为MN的中点为，则， 所以， 所以直线l的方程为即.故选：A 【例17】若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线上两点，关于直线对称， 故和直线垂直， 所以，故， 又，所以， 故中点坐标是，即故选：B 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点为是上的点，且. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程. 【解析】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为. （2）易知直线的斜率存在，设的斜率为， 则 两式相减得，整理得. 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即. 联立与，得，显然， 综上满足题意的的方程为. 2.设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【解析】（1） 因为， 所以，即轴. 令，可得， ，， 所以，得， 故抛物线的方程为. （2）如图，易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得. 因为的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 由直线过点，必和抛物线有两个交点， 所以直线的方程为. 3.已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 【解析】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为()，所以，所以， 所以抛物线的方程为． （2）设，，则两式相减， 得，即， 所以直线的斜率． 因为点是的中点，所以，所以． 所以直线的方程为，即． 知识点四、与抛物线有关的实际应用 题型八、抛物线的实际应用 【例18】早在一千年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．根据图上尺寸，试分别求出桥拱所在的抛物线方程和溢流孔所在的抛物线方程，及溢流孔与桥拱交点A的位置． 【解题思路】根据已知条件，分别设出抛物线的方程，再结合抛物线过点（﹣5，20），以及4个溢流孔的轮廓线相同，即可依次求解． 【解答过程】解：设桥拱所在抛物线的方程为y＝ax2， ∵该抛物线过点（﹣5，20）， ∴﹣5＝a•202，解得a， 故桥拱所在抛物线的方程为y， 设A所在溢流孔的抛物线方程为y， ∵该抛物线过点（﹣5，20）， ∴，解得， 所以A所在溢流孔的抛物线方程为y②， ∵4个溢流孔的轮廓线相同， ∴B，C所在溢流孔的抛物线方程为y， 同理可得，另两个溢流孔的抛物线方程为y，y， 联立①②方程，可得点A的坐标为（）， 故桥拱所在的抛物线方程为y，溢流孔所在的抛物线方程分别为y，y，y，y，桥拱交点A的坐标为（）． 【跟踪训练】 1.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【解题思路】以拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据条件求出抛物线方程， 再求出水面下降后，水面的宽度. 【解答过程】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当 时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 2.一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【解答过程】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为； (2) 【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法、代入法进行求解即可. 【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为：，把代入方程中，得 ， 所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；    （2）设抛物线的方程为， 把代入方程中，得， 所以焦点的坐标为：. 一、填空题 1.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是____ 【答案】 【解题思路】联立直线与抛物线方程，根据方程有根，判别式大于等于0即可求解. 【解答过程】∵，∴， 根据题意可知过点的直线有斜率，故设过点的直线l方程为. ∵l与抛物线有公共点，，∴方程组 有解， 即有解．∴即1. ∴或， 当 时，显然符合题意，故 2.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线所得弦长为，则抛物线方程为 ． 【答案】或 【分析】设所求抛物线方程为，与直线方程联立，将弦长用表示出来，即可解得，进而得出抛物线方程. 【详解】设所求抛物线方程为，已知直线变形为， 设直线与抛物线交于， 联立消去y得，整理得． ， 由，解得或． ， 解得或，均符合题意. 所以所求抛物线方程为或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了已知弦长求抛物线标准方程，属于中档题. 3.在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为____ 【答案】 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 4.直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为______ 【答案】 【解题思路】联立直线与抛物线方程，消元，由求出，即可得到抛物线方程，从而得到准线方程. 【解答过程】由，消去整理得， 由，解得或（舍去）， 所以抛物线：，则的准线方程为. 5.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为 . 【答案】 【解析】设出抛物线，得出其准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线方程，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积，从而建立关于的方程求解即可. 【详解】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的方程为， 则抛物线的准线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 由面积为，可得， 所以. 抛物线的方程为. 故答案为：. 【点睛】本题是考查求抛物线的方程的题目，解题的关键是掌握双曲线及拋物线的标准方程及其渐近线方程，是基础题. 6.一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由三角形的面积求出正三角形边长，得到三角形的一个顶点坐标，带入，即可求出抛物线的标准方程. 【详解】设正三角形边长为x．由三角形的面积公式：，解得：． 由抛物线的对称性，可知正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当时，三角形的一个顶点坐标为，代入得；当时，三角形的一个顶点坐标为，代入得． 综上，. 所以抛物线的标准方程为． 故答案为： 【点睛】在求解与抛物线有关的问题时，常常会因为忽视抛物线的焦点位置而导致漏解．在解题时，不仅要注意焦点位置是在x轴上还是在y轴上，还要注意是在坐标轴的正半轴上还是负半轴上． 7.已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，_____ 【答案】 【解析】如下图所示： 易知，不妨设； 设直线的方程为，与联立消去得， , 由韦达定理可知； 由可得；联立解得，即； 根据焦点弦公式可得； 代入计算可得. 8.已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则_______ 【答案】 【解析】点为抛物线的焦点，， 设，， ，， 当斜率不存在时，即，所以，不符合题意， 设直线的斜率为，则直线的抛物线为， 联立直线与抛物线方程，化简整理，可得①， 由韦达定理，可得， ， ，解得②， 将②代入①可得，，解得或， ，， 又，， ． 9.已知直线为抛物线的准线，直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，则的最小值为______ 【答案】8 【解析】因为直线为抛物线的准线，故即， 故抛物线方程为：. 设直线，则，， 而，当且仅当等号成立， 故的最小值为8， 10.已知直线与拋物线交于A，B两点，若（为坐标原点）的面积为，则（    ） 【答案】 【解析】由题知直线过抛物线的焦点， 所以，联立方程得，显然， 设，则， 所以， 因为原点到直线的距离为， 所以，，解得. 11.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（　　）米． 【答案】 【解题思路】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把B（x0，﹣3）代入抛物线方程求得x0进而得到答案． 【解答过程】：如图建立直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝my， 将A（2，﹣2）代入x2＝my， 得m＝﹣2 ∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0， 故水面宽为2m． 12.已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则_______ 【答案】1 【解析】由抛物线得，则，， 不妨设PQ的倾斜角为， 则由，得，， 所以，， 得，， 所以. 二、选择题 13.在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 14.关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【解析】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误.故选：D. 15.关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于原点中心对称 【答案】D 【解析】对于A，将方程中换为，则有， 则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称； 对于B，将方程中换为，则有， 则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称； 对于C，将方程中换为，换为，则有， 与原方程相同，所以方程不关于轴对称； 对于D，将方程中换为，换为，则有， 则，与原方程相同， 所以方程关于原点中心对称.故选：D. 16.已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断. 【解答过程】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 三、解答题 17.求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1），对称轴为x轴，，； （2），对称轴为y轴，， ； （3），对称轴为y轴，， （4），对称轴为x轴，，； 【解析】（1）的焦点在x轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； （2）的焦点在y轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （3）即，焦点在y轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （4）即，焦点在x轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； 18. 已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 【解析】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因直线过点， 所以直线的方程为：，即， 联立得， 设，， 所以，， 所以 （2）因、在抛物线上， 所以，， 两式相减得：， 得， 故直线的斜率为4， 所以直线的方程为：，即 19.设抛物线：的焦点为，，在准线上，的纵坐标为，到点距离为4. (1)求抛物线的方程； (2)过且斜率为2的直线与交于、两点，求的面积. 【解析】（1）由题意得，， 所以，解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可得，， 所以直线的方程为，即， 设，， 联立可得， 所以，， 设点到直线的距离为，则， 所以. 20.在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为. (1)求轨迹为的方程 (2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围. 【解析】（1）设是轨迹上的任意一点， 因为点到点的距离比它到的距离多，可得， 即，整理得， 所以点的轨迹的方程为. （2）在点轨迹中，记， 因为斜率的直线过定点，不妨设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 当时，，此时，可得直线与轨迹恰好有一个公共点； 当时，可得，不妨设直线与轴的交点为， 令，解得， 若直线与轨迹恰好有一个公共点，则满足， 解得或， 综上，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.4.2 抛物线的几何性质（1） 知识点一、抛物线的简单几何性质 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 知识点二、抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离；恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方程． 知识点三、直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点四、直线与抛物线相交弦长问题 1、弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． （4）线段AB的垂直平分线方程为 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、焦点弦 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 知识点五、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 知识点一、抛物线的几何性质 题型一、由抛物线方程研究其几何性质 【例1】对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【例2】在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）；    （2）；    （3）；    （4）． 【跟踪训练】 1．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 2. 关于抛物线，下列说法正确的是_________ (1)开口向左 (2)焦点坐标为 (3)准线为 (4)对称轴为轴 3.已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是_______ (1)抛物线的焦点坐标是 (2)抛物线关于轴对称 (3)抛物线的准线方程为 (4)抛物线的焦点到准线的距离为8 4.下列关于抛物线的说法错误的是________ A．焦点在x轴上 B．焦点到准线的距离等于10 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 题型二、由抛物线几何性质求标准方程或参数 【例3】判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴、y轴或原点对称： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例4】抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是_________ (1) (2) (3) (4) 2. 设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（    ） 3.已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） 知识点二、直线与抛物线的位置关系 题型三、判断直线与抛物线的位置关系 【例5】直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【例6】已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练】 1.已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2.过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 3.抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 题型四、根据直线与抛物线的位置关系求参数 【例7】当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【例8】已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程． 【跟踪训练】 1.已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 2.已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3.已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线 （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点? 知识点三、直线与抛物线相交问题 题型五、抛物线的弦长问题 【例9】若抛物线与直线交于，两点，则等于______ 【例10】直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 【例11】已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为______ 【跟踪训练】 1.已知直线与抛物线：交于两点，则_______ 2.已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于_____ 3.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 4.过抛物线的焦点作互相垂直的弦，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．32 D．64 5.已知抛物线，并且经过点. (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求. 题型六、抛物线的焦点弦问题 【例12】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 【例13】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若F是AC的中点，且|AF|＝4，求线段AB的长． 【跟踪训练】 1.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则_______； 2.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，，则____． 3. 设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 4. 斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为P，Q.若|AF|＝3|BF|，则|PQ|＝________. 6.斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________. 7.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|． 题型七、抛物线的中点弦及点差法 【例14】已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【例15】已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ） A． B． C． D． 【例16】已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【例17】若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点为是上的点，且. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程. 2.设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 3.已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 知识点四、与抛物线有关的实际应用 题型八、抛物线的实际应用 【例18】早在一千年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．根据图上尺寸，试分别求出桥拱所在的抛物线方程和溢流孔所在的抛物线方程，及溢流孔与桥拱交点A的位置． 【跟踪训练】 1.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 2.一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 一、填空题 1.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是____ 2.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线所得弦长为，则抛物线方程为 ． 3.在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为____ 4.直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为______ 5.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为 . 6.一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则该抛物线的标准方程为 ． 7.已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，_____ 8.已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则_______ 9.已知直线为抛物线的准线，直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，则的最小值为______ 10.已知直线与拋物线交于A，B两点，若（为坐标原点）的面积为，则（    ） 11.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（　　）米． 12.已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则_______ 二、选择题 13.在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 14.关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 15.关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于原点中心对称 16.已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三、解答题 17.求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. （1）； （2）； （3）； （4）. 18. 已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 19.设抛物线：的焦点为，，在准线上，的纵坐标为，到点距离为4. (1)求抛物线的方程； (2)过且斜率为2的直线与交于、两点，求的面积. 20.在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为. (1)求轨迹为的方程 (2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $