专题4.3.1 数列的概念与质 （4大知识点+8大题型+21题强化） 【精英班课程】 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版2020选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题4.3.1 数列的概念与性质 知识点01 数列及其有关概念 1.一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 2.数列的项：数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 【注意】（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． （3）数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 知识点02：数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 【注意】(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项．(4)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． (5)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 知识点03：数列的表示方法 1．列表法:列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … 2．图象法;在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． 3．通项公式法 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式． 注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 4．递推公式法 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 知识点04：数列的性质 1.单调性 如果对所有的，都有>，那么称数列{}为严格递增数列；如果对所有的，都有< ，那么称数列{}为严格递减数列. 2.周期性 如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列. 3.最值问题 ①把看成函数，研究函数的最值 ② 利用基本不等式求解 ③在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 题型01：数列的概念和分类 【方法点拨】1、判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． 2、判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 【例1】下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列，，，与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列，可记为 【跟踪训练】 1. 下列四个命题： ①任何数列都有通项公式； ②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列； ③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式； ④数列的通项公式是项数n的函数 其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图像表示 B．此数列的图像仅在第一象限 C．此数列的图像为直线 D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点 题型02：判断或者写出数列的项 【方法点拨】1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 2.判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 【例2】数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【例3】记Tn为数列{an}的前n项积，已知+=3，则T10等于 (　　) A. B. C. D. 【跟踪训练】 1.数列，，，，的第14项是_________． 2.已知数列，则___________（用数字作答） 3已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　) A．70　 B．28　 C．20　 D．8 题型03：根据数列项写出数列通项公式 1、 【方法点拨】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等. 【例4】数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 2. 已知数列，则该数列的通项公式可能为__________. 3. 数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第________项． 4. 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． （1）1，3，7，15，31，…； （2）4，44，444，4 444，…； （3）－1，3，－5，7，－9，…； （4）2，－，，－，，－，…； （5）1，2，1，2，1，2，…. 题型04：数列的单调性 【方法点拨】解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求. (1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列． (2)作商比较法：根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断； ①当an>0时，>1⇔数列{an}是单调递增数列；<1⇔数列{an}是单调递减数列；＝1⇔数列{an}是常数列． ②当an<0时，>1⇔数列{an}是单调递减数列；<1⇔数列{an}是单调递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列． (3) 函数法：结合相应的函数图象直观判断．　 【例5】已知数列的通项公式为，则数列为（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【例6】数列的通项公式为，．求证：为递增数列． 【例7】已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例8】在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知数列{an}满足an=2n2+λn(λ∈R)，则“{an}为递增数列”是“λ≥0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.在数列中，已知，则“”是“是严格增数列”的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 3.数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（    ） A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D． 4.已知数列的通项公式为，若数列是严格减数列，求实数m的取值范围． 5. 已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 6. 已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为______． 题型05：数列的周期性 【方法点拨】解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. 【例9】已知数列{an}满足an+1=，且a1=3，则a2 026等于(　　) A.3 B. C.-2 D. 【例10】若数列满足，其前项积为，则（   ） A． B． C．6 D．-6 【跟踪训练】 1．已知数列满足，则前2023项的和的值为（    ） A．506 B．1012 C．1013 D．2024 2.已知数列 满足 ，则其前 2023 项的和为_____. 3.在数列中，，，()，求. 4.对于数列，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．-2 5.已知数列满足，，则（    ） A．0 B． C． D． 6.在数列中，，，则的值为______． 题型06：数列的最值 【方法点拨】求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项； (2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用 (n≥2)确定最大项，利用 (n≥2)确定最小项； (3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．　 【例11】数列{bn}满足bn=，则当n=　　　　时，bn取最大值为　　　　　　.  【例12】已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（   ） A．1 B．2 C．6 D．7 【跟踪训练】 1．已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 2.已知数列an=(n∈N*)，则数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是(　　) A.a1，a100 B.a46，a45 C.a46，a1 D.a45，a100 3.已知数列的通项公式为，若为该数列的最小项，则______． 4.已知数列的通项公式为， (1)依次写出数列的前项； (2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项． 题型07：数列不等式恒成立 【例13】已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝．若对任意的a∈N*，都有 bn≥b8成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－8，－7)　　　　　B．[－8，－7)　　　　　C．(－8，－7]　　　　　D．[－8，－7] 【例14】已知数列{an}满足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若an<an＋1对∀n∈N*恒成立，则 实数λ的取值范围为________． 【跟踪训练】 1. 已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________. 2.已知数列{an}中，an＝1＋ (n∈N*，a∈R且a≠0)． (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围． 题型08：综合提升 【例15】设数列的前项和为．已知． (1)求证：数列为等差数列，并求出其通项公式； (2)设，又对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可取值． 【跟踪训练】 1．已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2.已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 一、填空题 1.数列中，，，，则________ 2.数列{an}满足an+1=(n∈N*)，a2 026=-1，则a3n+2=　　　　.  3.已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则________ 4.数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 5.已知数列中，，且，则 . 6.数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是______． 7.已知数列满足：，，则数列的前383项和为______． 8．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第__________项. 9.已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是______. 10.已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 11．若，则数列的最大项是第______项． 12.给出下列命题： ①已知数列，，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项； ②数列，…的一个通项公式是； ③已知数列，，且，则； ④已知，则数列为递增数列． 其中正确命题的个数为______． 二、选择题 13.若数列{an}的前4项依次是20，11，2，-7，则数列{an}的一个通项公式是(　　) A.an=9n+11 B.an=-9n+29 C.an=15.5+(-1)n+1×4.5 D.an=9n-16 14.已知数列{an}是递增数列，且对于任意n∈N*，an=n2+2λn+1，则实数λ的取值范围是(　　) A.λ>-1 B.λ<-1 C.λ>- D.λ<- 15.已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 16.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn= 3、 解答题 17.已知数列满足：，． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 18．已知数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围. 19.在数列中，. (1)求证：数列先递增后递减； (2)求数列中的最大项. 20.已知数列的前项和为，且满足，. (1)求，，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）； (2)设，，求的最大值 21.数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)设函数是与n的最大者，求的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题4.3.1 数列的概念与性质 知识点01 数列及其有关概念 1.一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 2.数列的项：数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 【注意】（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． （3）数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 知识点02：数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 【注意】(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项．(4)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． (5)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 知识点03：数列的表示方法 1．列表法:列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … 2．图象法;在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． 3．通项公式法 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式． 注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 4．递推公式法 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 知识点04：数列的性质 1.单调性 如果对所有的，都有>，那么称数列{}为严格递增数列；如果对所有的，都有< ，那么称数列{}为严格递减数列. 2.周期性 如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列. 3.最值问题 ①把看成函数，研究函数的最值 ② 利用基本不等式求解 ③在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 题型01：数列的概念和分类 【方法点拨】1、判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． 2、判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 【例1】下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列，，，与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列，可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断. 【详解】由数列定义知A错；B中排列次序不同，错误； C中第项为，正确；D中，错误. 故选：C 【跟踪训练】 1. 下列四个命题： ①任何数列都有通项公式； ②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列； ③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式； ④数列的通项公式是项数n的函数 其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据数列的表示方法以及数列的通项公式的定义即可判断各命题的真假． 【详解】对①，根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，比如：的近似值构成的数列，就没有通项公式，所以①错误； 对②，根据数列的表示方法可知，②正确； 对③，给出了数列的有限项，数列的通项公式形式不一定唯一，比如：， 其通项公式既可以写成，也可以写成，③错误； 对④，根据数列通项公式的概念可知，④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查数列的表示方法以及数列的通项公式的定义的理解，属于基础题． 2. 若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图像表示 B．此数列的图像仅在第一象限 C．此数列的图像为直线 D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点 答案选D． 题型02：判断或者写出数列的项 【方法点拨】1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 2.判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 【例2】数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 【例3】记Tn为数列{an}的前n项积，已知+=3，则T10等于 (　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当n=1时，T1=，又Tn=a1a2a3…an，则an=(n≥2)，代入+=3， 化简得Tn-Tn-1=(n≥2)，则{Tn}是以T1=为首项，为公差的等差数列，即Tn=， 所以T10=. 【跟踪训练】 1.数列，，，，的第14项是_________． 【解析】不妨设数列为，则，，，， 由此归纳得到的一个通项公式为， 所以； 故答案为： 2.已知数列，则___________（用数字作答） 【答案】 【分析】用换，然后两式作差得到奇数项为等差数列，然后求出奇数项的通项，可得答案. 【详解】当时， ，两式作差得： 即 因此，奇数项和偶数项分别构成公差为 的等差数列， 奇数项：，公差 ，故 ， 当 为奇数时，令 ，解得 ，代入得 故答案为： . 3已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　) A．70　 B．28　 C．20　 D．8 【答案】C 题型03：根据数列项写出数列通项公式 1、 【方法点拨】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等. 【例4】数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设数列1，3，6，10，15，…为，根据数列中项的关系，由数学归纳法可得，由此即可得到结果. 【详解】设数列1，3，6，10，15，…为， 所以， ， 所以. 故选：B. 【跟踪训练】 1. 数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列中数据特征得到通项公式. 【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该含有， 满足， 所以数列的一个通项公式可以为，其余选项不适合， 故选：B. 2. 已知数列，则该数列的通项公式可能为__________. 【答案】，答案不唯一 【分析】通过观察数列的规律求得正确答案. 【详解】通过观察可知，该数列的绝对值是，即奇数列， 所以. 故答案为：，答案不唯一 3. 数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第________项． 【答案】12 【分析】结合题意找到数列的规律求解出通项公式从而求数列的第几项. 【详解】观察，易知数列的一个通项公式为，． 所以. 故答案为：12. 4. 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． （1）1，3，7，15，31，…； （2）4，44，444，4 444，…； （3）－1，3，－5，7，－9，…； （4）2，－，，－，，－，…； （5）1，2，1，2，1，2，…. 【解析】（1）由题意，数列的前几项为：1，3，7，15，31，…， 可得各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为， 故原数列的通项公式为. （2）由数列的前几项为：4，44，444，4 444，… 各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…， 新数列的通项为，故原数列的通项公式为． （3）所给数列有这样几个特点： ①符号正、负相间； ②整数部分构成奇数列； ③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方； ④分数部分的分子依次大1. 综合这些特点写出表达式，再化简即可． 由所给的几项可得数列的通项公式为， 所以. （4）数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为， 再把各分母分别加上1，数列又变为，所以. (5)由1，2，1，2，1，2，，可写成分段函数的形式：. 题型04：数列的单调性 【方法点拨】解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求. (1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列． (2)作商比较法：根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断； ①当an>0时，>1⇔数列{an}是单调递增数列；<1⇔数列{an}是单调递减数列；＝1⇔数列{an}是常数列． ②当an<0时，>1⇔数列{an}是单调递减数列；<1⇔数列{an}是单调递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列． (3) 函数法：结合相应的函数图象直观判断．　 【例5】已知数列的通项公式为，则数列为（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】B 【详解】由，显然随的增加，逐渐变小并趋向于，所以为递减数列. 故选：B 【例6】数列的通项公式为，．求证：为递增数列． 【答案】证明见解析 【详解】 ，因为，所以，所以，所以，又，所以，即，．所以是递增数列． 【例7】已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【解析】由题意可得，解得 故选：D. 【例8】在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】. 由题知恒成立，当时，即，得. 讨论单调性，若是递增数列，则函数随增大而增大. 已知为正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需，即. 综上，实数k的取值范围是. 【跟踪训练】 1.已知数列{an}满足an=2n2+λn(λ∈R)，则“{an}为递增数列”是“λ≥0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由{an}为递增数列得，an+1-an=[2(n+1)2+λ(n+1)]-(2n2+λn)=λ+4n+2>0，n∈N*， 则λ>-(4n+2)对于n∈N*恒成立，得λ>-6，可得λ≥0⇒λ>-6，反之不成立. 2.在数列中，已知，则“”是“是严格增数列”的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据，分别求解，是严格增数列时的的取值范围，根据两种情况下的取值关系即可判断充分必要条件. 【详解】已知， 若，则，解得； 若是严格增数列，则，恒成立，所以恒成立， 整理得恒成立， 又数列为递减数列，所以，故； 综上可得：“”是“是严格增数列”的充要条件. 故选：A. 3.数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（    ） A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D． 【解析】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列， 所以对于都成立， 所以对于都成立， 即， 所以对于都成立， 所以对于都成立， 所以， 即的取值范围是， 故选：D 4.已知数列的通项公式为，若数列是严格减数列，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意转化为在且时恒成立，即在且时恒成立；分、和，三种情况讨论，即可求解. 【详解】由数列的通项公式为，则， 可得， 若数列是严格减数列，可得在且时恒成立， 即在且时恒成立； 当时，可得恒成立，满足题意； 当时，变形为，不能恒成立，不满足题意； 当时，变形为，可得，可得， 综合可得：实数的取值范围为． 5. 已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】先结合题意求出分段数列，再利用指数函数性质和二次函数性质求解参数范围，最后利用必要非充分条件的定义求解即可. 【详解】因为数列满足，所以， 当时，若数列为严格增数列，则， 当时，若数列为严格增数列， 则，可得，解得， 而数列为严格增数列，得到，解得， 综上可得，即， 则“数列为严格增数列”是“”的必要非充分条件，故B正确. 故选：B 6. 已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题设，讨论符合求其范围，进而得到的取值范围. 【详解】由题意， 当时，，可得或， 此时，时，恒有或，故或， 同时，由，而， 所以， 所以或，故或， 当时，在上单调递减，则，显然， 且在上单调递增，则，依次类推知时恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 当时，在上单调递增，则，依次类推知恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 所以或 当时，，可得，不合前提； 综上，. 故答案为： 题型05：数列的周期性 【方法点拨】解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. 【例9】已知数列{an}满足an+1=，且a1=3，则a2 026等于(　　) A.3 B. C.-2 D. 【答案】C 【解析】∵an+1=，且a1=3， ∴a2===-2， a3===，a4===， a5===3，a6===-2，… ∴数列{an}的周期为4， ∵2 026=506×4+2，∴a2 026=a2=-2. 【例10】若数列满足，其前项积为，则（   ） A． B． C．6 D．-6 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；， 故数列是以4为周期的周期数列，， . 【跟踪训练】 1．已知数列满足，则前2023项的和的值为（    ） A．506 B．1012 C．1013 D．2024 【详解】因为数列满足， 所以， 故数列是以3为周期的周期数列，且， 所以. 2.已知数列 满足 ，则其前 2023 项的和为_____. 【答案】 【分析】由递推公式确定数列周期，即可求解. 【详解】由，可得：， 由题意，所以， 所以易知是周期为2的数列， 所以也是是周期为2的数列， 且，即， 所以， 故答案为： 3.在数列中，，，()，求. 【答案】2 【解析】根据递推式依次计算出数列的前几项，归纳出数列是周期数列，且周期为6，用6项的和为0．由此易计算出和． 【详解】由，，，可得，，， ，，，，，，…，则， 且，则 【点睛】本题考查数列的前项和，解题关键是通过归纳法得出数列是周期数列． 4.对于数列，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．-2 【解析】对于数列，，，， 所以；；；； ；； ；…… 故数列的各项依次为1，-2，-3，-1，2，3，1，-2，-3，-1，2，3，…… 所以数列是以6为周期的周期数列. 所以. 故选：C 5.已知数列满足，，则（    ） A．0 B． C． D． 【解析】因为数列满足，， 所以，，，，…… 由此归纳得数列是周期数列，数列的周期为3. 所以. 故选：B 6.在数列中，，，则的值为______． 【解析】因为，， 所以当时，，，得， 当时， ，，得， 当时， ，，得， 所以数列为周期为3的周期数列， 所以， 故答案为： 题型06：数列的最值 【方法点拨】求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项； (2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用 (n≥2)确定最大项，利用 (n≥2)确定最小项； (3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．　 【例11】数列{bn}满足bn=，则当n=　　　　时，bn取最大值为　　　　　　.  【答案】4　 【解析】方法一　∵bn+1-bn=-=， ∴当n≤3时，bn+1>bn，{bn}单调递增， 当n≥4时，bn+1<bn，{bn}单调递减， 故当n=4时，(bn)max=b4=. 方法二　令即 解得≤n≤， 又n∈N*，∴n=4， 故当n=4时，(bn)max=b4=. 【例12】已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（   ） A．1 B．2 C．6 D．7 【详解】依题意，， 当时，，数列单调递减，且， 当时，，数列单调递减， 因此，， 所以当取得最小值时，. 【跟踪训练】 1．已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】由； 由. 所以数列中，当时；当时， 所以数列中，最小. 即数列的最小项是第8项. 2.已知数列an=(n∈N*)，则数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是(　　) A.a1，a100 B.a46，a45 C.a46，a1 D.a45，a100 【答案】B 【解析】an= = =1+(n∈N*)， 因为452<2 026<462，-<0， 所以当1≤n≤45时，数列{an}单调递增，且an>1； 当n≥46时，数列{an}单调递增，且an<1. 所以数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是a46，a45. 3.已知数列的通项公式为，若为该数列的最小项，则______． 【解析】令，解得：； 当且时，，则递减；当且时，，则递增； 又，， ，即或. 故答案为：或. 4.已知数列的通项公式为， (1)依次写出数列的前项； (2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项． 【答案】(1)，，，，； (2)答案见解析. 【分析】（1）分别将代入通项公式即可； （2）由可知当时，；当时，，并可得到在每一段上的单调性，由此可确定最值. (1) 由题意得：，，，，. (2) ， 当时，且递增；当时，且递增； ；. 题型07：数列不等式恒成立 【例13】已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝．若对任意的a∈N*，都有 bn≥b8成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－8，－7)　　　　　B．[－8，－7)　　　　　C．(－8，－7]　　　　　D．[－8，－7] 答案　A　 解析　因为{an}是首项为a，公差为1的等差数列，所以an＝n＋a－1，因为bn＝，又 对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，所以1＋≥1＋，即≥对任意的n∈N*恒成立，因为数列{an}是公差为1的等差数列，所以数列{an}是单调递增的递增数列，所以，即，解得－8＜a＜－7．故选A． 【例14】已知数列{an}满足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若an<an＋1对∀n∈N*恒成立，则 实数λ的取值范围为________． 答案　[0，＋∞)　 解析　由nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，得－＝λ，所以数列的奇数项和偶 数项分别构成首项均为1，且公差均为λ的等差数列．因为a1＝1，a2＝2，所以当n为奇数时，＝1＋λ＝λ＋1，所以an＝λ＋n；当n为偶数时，＝1＋λ＝λ＋1，所以an＝λ＋n．当n为奇数时，由an<an＋1，得λ＋n<λ＋n＋1，即λ(n－1)>－2，若n＝1，则λ∈R；若n>1，则λ>－，所以λ≥0．当n为偶数时，由an<an＋1，得λ＋n<λ＋n＋1，即3nλ>－2，所以λ>－，即λ≥0．综上，λ的取值范围为[0，＋∞)． 【跟踪训练】 1. 已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________. 【答案】(－3，＋∞) 【详解】 因为数列{an}是单调递增数列， 所以an＋1－an>0 (n∈N*)恒成立． 又an＝n2＋λn (n∈N*)，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)>0恒成立，即2n＋1＋λ>0. 所以λ>－(2n＋1) (n∈N*)恒成立． 而n∈N*时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)． 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 2.已知数列{an}中，an＝1＋ (n∈N*，a∈R且a≠0)． (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围． 解：(1)因为an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)，又a＝－7，所以an＝1＋(n∈N*)． 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4， a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)． 所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋，已知对任意n ∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知5＜＜6，即－10＜a＜－8. 所以a的取值范围是(－10，－8)． 题型08：综合提升 【例15】设数列的前项和为．已知． (1)求证：数列为等差数列，并求出其通项公式； (2)设，又对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可取值． 【答案】(1)证明见解析；； (2)； (3). 【分析】（1）根据与的关系，即可得到数列的通项公式； （2）根据（1）中结论，即可得到数列的通项公式，由其单调递增，即可得到结果； （3）根据条件可得是公差为的等差数列，从而去掉绝对值符号，列出不等式，解出即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 两式相减，得，即， 又，所以数列为首项为1，公差为6的等差数列， 所以； （2），显然单调递增， 且，则，所以，即 所以； （3）因为，所以是公差为的等差数列， 所以当时，，当时，， 所以 ， 因为， 所以，解得， 又为正整数且，所以， 所以的所有可取值为. 【跟踪训练】 1．已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【详解】（1）证明：由， 可得， 即数列是首项和公比均为3的等比数列， 则，即； （2）数列， 则， 可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立， 可得，即有，即的取值范围是. 2.已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大项为；最小项为 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案. 【详解】（1）证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 一、填空题 1.数列中，，，，则________ 【解析】因为，，， 所以，； 2.数列{an}满足an+1=(n∈N*)，a2 026=-1，则a3n+2=　　　　.  【答案】 【解析】因为数列{an}满足an+1=(n∈N*)，则an=1-，又a2 026=-1， 所以a2 025=1-=2，a2 024=1-=， a2 023=1-=-1， 所以数列{an}是以3为周期的周期数列， 所以a3n+2=a2=a3×674+2=a2 024=. 3.已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则______ 【详解】设，，其中、，且， 所以，， 因为、，且，则、， 所以，、为的两个约数，显然， 所以，，解得，则，解得. 4.数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 【答案】12 【详解】观察，易知数列的一个通项公式为，． 所以. 故答案为：12. 5.已知数列中，，且，则 . 【答案】 【详解】在数列中，，且，由可得， ，，，， 以此类推可知，对任意的，，故数列是以为周期的周期数列， 因为，故. 故答案为：. 6.数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则，即， 整理可得，由一次函数的单调性且，则， 解得. 故答案为：. 7.已知数列满足：，，则数列的前383项和为______． 【答案】 【分析】根据递推关系式求出，得数列为以4为周期的周期数列，进而求和. 【详解】数列满足：，， 则 所以数列为以4为周期的周期数列， 则前383项和为. 故答案为： 8．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第__________项. 【答案】 【分析】通过列举法进行观察，然后利用差比较法比较求得正确答案. 【详解】依题意，， 则， 当时，， 所以当时，， 所以数列的最大项为第项. 故答案为： 9.已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【详解】，若为递增数列，则， 有，解得， 则，时，所以，则k的取值范围为. 故答案为：. 10.已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案. 【详解】根据题意，可得，即， ，对， 又数列是单调递减数列，则， . 故答案为：. 11．若，则数列的最大项是第______项． 【答案】7 【分析】，对应的二次函数为，对称轴为，找到离对称轴最近的整数即可． 【详解】，其对应的二次函数为， 对称轴为，但为正整数，所以离最近的整数为7， 所以在第7项取最大值． 故答案为：7. 12.给出下列命题： ①已知数列，，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项； ②数列，…的一个通项公式是； ③已知数列，，且，则； ④已知，则数列为递增数列． 其中正确命题的个数为______． 【解析】对于①中，令，解得，且数列为递减数列， 所以最大项为第1项，所以①正确； 对于②中，数列，，，，…的一个通项公式为， 所以 原数列的一个通项公式为，所以②正确； 对于③中，由且，即，解得，所以， 所以，所以③正确； 对于④中，由，可得，即，所以数列为递增数列，所以④正确． 故答案为：. 二、选择题 13.若数列{an}的前4项依次是20，11，2，-7，则数列{an}的一个通项公式是(　　) A.an=9n+11 B.an=-9n+29 C.an=15.5+(-1)n+1×4.5 D.an=9n-16 【答案】B 【解析】对于选项A，当n=2时，a2=9×2+11=29≠11，故A错误； 对于选项B，数列{an}的前4项依次是20，11，2，-7，则数列{an}的一个通项公式为an=-9n+29，故B正确； 对于选项C，当n=3时，a3=15.5+4.5=20≠2，故C错误； 对于选项D，当n=1时，a1=9-16=-7≠20，故D错误. 14.已知数列{an}是递增数列，且对于任意n∈N*，an=n2+2λn+1，则实数λ的取值范围是(　　) A.λ>-1 B.λ<-1 C.λ>- D.λ<- 【答案】C 【解析】因为数列{an}是递增数列， 则an+1-an=(n+1)2+2λ(n+1)+1-(n2+2λn+1)=2λ+2n+1>0， 所以λ>-对∀n∈N*恒成立，所以λ>-. 15.已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】B 【详解】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列. 故选：B 16.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn= 【答案】ABC 【解析】对于A，数列{an}的首项为a1=S1==，故A正确； 对于B，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=，a1=适合上式，故B正确； 对于C，因为an+1-an=-=-<0，所以数列{an}为递减数列，故C正确； 对于D，Tn=×××…×=，所以数列{Sn}的前n项积Tn=，故D错误. 3、 解答题 17.已知数列满足：，． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）利用取倒数法结合等差数列的定义及通项公式求法计算即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则； （2）由上可知的前n项和为 . 18．已知数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】 (1)依题意，故，从而，， 故，， 当时，上式也符合， 所以. (2) 由（1）知，， 若对任意的，数列是单调递减数列， 则对任意的恒成立， 即， 又， 因为函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以由对勾函数的性质可知， 当或时，取得最小值6， 即取得最大值，故实数的取值范围为. 19.在数列中，. (1)求证：数列先递增后递减； (2)求数列中的最大项. 【解析】(1)证明：因为，令， 即，整理得，解得，即当时，. 同理，令， 即当时，. 令，得， 即当时，. 综上，数列从第1项到第8项递增，从第9项起递减，即数列先递增后递减. (2)由（1）知，，， 故是数列中的最大项. 20.已知数列的前项和为，且满足，. (1)求，，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）； (2)设，，求的最大值 【解析】（1）解：， 由，得，同理可得，， 所以猜想； （2）解：由（1）知，时，， 当时，满足上式， 所以， 所以，， 设，则有在上为减函数，在上为增函数， 因为，且， 所以当或时，有最大值. 21.数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)设函数是与n的最大者，求的最小值． 【解析】(1)解：由， 当时，， 两式相减得， 则， 因为，所以， 所以， 则 ， 以上各式相乘得：， 所以， 当时，上式也成立， 所以； (2)解：， 故当或时，取得最小值， 所以； (3)解：， 当时，， 当时，， 故， 当时，， 则， 当时，， 则， 因为， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $