第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷(二）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学一元二次函数、方程和不等式单元复习卷，通过基础辨析、综合应用及情境化问题，全面考查知识掌握与核心素养，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|不等式性质（第1题）、充分必要条件（第2题）、基本不等式（第7题）|分层考查抽象能力与推理意识| |填空题|3题/15分|不等式解法（第12题）、最值计算（第13题）|聚焦基础技能与符号运算| |解答题|5题/77分|二次函数应用（第18题花园面积）、含参不等式（第16题）|突出模型意识与创新应用，贴合高考命题趋势|

一元二次函数、方程和不等式单元测试卷(二）答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，即，故B错误； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误. 2．已知，，则是的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解】由，即，等价于，解得，所以， 又，所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要条件. 3．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 4．已知不等式的解集是，则的值是（    ）. A． B． C．或 D． 【答案】D 【解】不等式的解集是， 可得，且方程的两个根分别为，， 则，，解得，， 所以，即为，可得， 所以不等式的解集为. 5．某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润最大时，其营运年数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解】由题意可设， 且当时，，即， 解得，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 6. 已知，，且，若恒成立，则实数的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】，，且， ， 当且仅当且时取等号，此时， 若恒成立． ，， 解不等式可得，，故实数的最小值为， 7．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解】因为，，．所以，当且仅当时，等号成立． 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解】由，则函数单调递增，且当时，；当时，. 因为时，恒成立，所以恒成立， 则当时，恒成立；当时，恒成立. 故有时，，则， 所以，当且仅当，即时取等号. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 10. 已知，，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解】因为，，所以，， 则，，， 即，，，则； 故AB正确，CD错. 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解是______． 【答案】或 【解】原不等式等价于，解得或， 13．已知，则的最小值为____，此时_________ 【答案】 6 4 【解】已知，因为，那么. 将变形为. 根据基本不等式，则有. 先计算的值，，所以. 那么，即的最小值为. 当且仅当时，等号成立，此时取得最小值. 解方程，可得，因为，所以，解得. 14．设，，，则的最小值为________ 【答案】8 【解】，，， 所以, 则， 当且仅当，即时取等号. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 比较大小. （1）比较与的大小； （2），，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【解】（1）因为， 又， 所以， 所以； （2）因为， 又，，所以，所以. 16. 已知关于x的不等式（） （1）若，解不等式； （2）若不等式的解集为R，求实数a的范围． 【答案】（1）或（2）. 【解】（1）当时，不等式即为， 可得，即 ， 解得或． （2）因为不等式的解集为， 所以恒成立 则函数的图象恒在轴上方，与轴无交点； 从而一元二次方程无实数根， ， 解得：． 17．已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 18．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大， 最大面积为. 19．已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. (3) 【解】（1）的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得；. （2），，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3），，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次函数、方程和不等式单元测试卷(二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知，，则是的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 4．已知不等式的解集是，则的值是（    ）. A． B． C．或 D． 5．某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润最大时，其营运年数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6. 已知，，且，若恒成立，则实数的最小值是（       ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 10. 已知，，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解是______． 13．已知，则的最小值为____，此时_________ 14．设，，，则的最小值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 比较大小. (1)比较与的大小； (2)，，比较与的大小. 16. 已知关于x的不等式（） (1)若，解不等式； (2)若不等式的解集为R，求实数a的范围． 17．已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 18．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 19．已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $