精品解析：江苏宜兴市第二高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2026年春学期高一年级期中考试 数学 2026.05 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角的对边分别为，已知，，，则角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则平面图形中的长度为（ ） A. B. C. D. 3 5. 位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 20海里 6. 下列命题中错误的是（ ）． A. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D. 如果平面平面，平面平面，，那么 7. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范．如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为的半球面．现将碗平放于水平桌面上，在碗中注入少量水，静止时水面的面积为，若将碗缓慢倾斜，使得水可以从碗口倒出，则至少需要将碗倾斜的角度为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（ ） A. 派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同 B. 派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10% C. 派遣的老年教师有144人 D. 派遣的青年女教师有15人 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）. A. 、为实数，若，则与共线 B. 若、，则 C. 两个非零向量、，若，则与垂直 D. 若，、分别表示、的面积，则 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球的表面积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是纯虚数，则实数______. 13. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 14. 在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求的坐标； （2）若，求与夹角的余弦值． 16. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 17. 已知的三个内角所对的边分别为的面积为，且． （1）求角的大小． （2）若，求的值． （3）若，点是线段上一点，求内角平分线的长． 18. 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． （1）求证：面； （2）当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 19. 在中，记角所对的边分别为，，为边上的中线． （1）求角； （2）若，求； （3）若在边上，且，与交于点，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期高一年级期中考试 数学 2026.05 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 2. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 3. 在中，角的对边分别为，已知，，，则角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求出的值，结合三角形内角和限制及大边对大角的性质，判断角的取值即可. 【详解】在中，由正弦定理可得，所以  ， 因为是三角形内角，故，所以或. 又，所以，因为，所以，故. 因此角为或. 4. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则平面图形中的长度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则及直观图为等腰梯形的几何性质，求出直观图中的长，还原出原图形中的长及位置关系，最后利用勾股定理求解的长度. 【详解】由题意知，直观图为等腰梯形，且，，. 根据斜二测画法规则，，即. 在等腰梯形中，过点作于点， 则. 在中，. 将直观图还原为平面图形， ，，且，，. 过点作于点，则四边形为矩形，所以，， 所以. 在中，. 5. 位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 20海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设画出示意图，利用余弦定理可得. 【详解】根据题意，画出示意图如下， 由余弦定理得 . 所以，则乙船航行的距离为海里. 故选：B. 6. 下列命题中错误的是（ ）． A. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D. 如果平面平面，平面平面，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】借助正方体的性质，可判定A错误、B正确，结合反证法，可判定C正确；根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，如图所示，在正方体中，平面平面， 但直线与平面不垂直，所以如果平面平面，则平面内所有直线不一定垂直于平面，所以A不正确； 对于B中，例如：在正方体中，平面平面， 直线平面，且平面，所以如果平面平面，在平面内一定存在直线平行于平面，所以B正确； 对于C中，如果平面不垂直于平面，假设在平面内存在直线垂直于平面， 根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，这与平面不垂直于平面，矛盾，所以C正确； 对于D中，如图所示，设平面平面，平面平面， 在平面内取一点，过点作， 因为平面平面，且平面，所以， 又因为，所以，同理可证， 因为，且平面，所以，所以D正确. 故选：A. 7. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律即可求解． 【详解】连接，取中点，连接，则且， 所以， 所以． 8. 明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范．如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为的半球面．现将碗平放于水平桌面上，在碗中注入少量水，静止时水面的面积为，若将碗缓慢倾斜，使得水可以从碗口倒出，则至少需要将碗倾斜的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图一，由，则圆半径，又球半径， 则球心O到水面的距离，， 考虑临界状态，如图二，即倾斜后水面恰好经过点A，由于水的体积不变，则球心O到水面的距离不变， 即，在中，，所以至少需要将碗倾斜的角度为． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（ ） A. 派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同 B. 派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10% C. 派遣的老年教师有144人 D. 派遣的青年女教师有15人 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分层抽样结合各比例关系求解 【详解】因为， 所以派遣的青年男教师的数量占派遣总数的20%， 则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的， 则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同，均占总数的30%，故A，B正确； 派遣的老年教师人数为，故C错误； 派遣的青年女教师的人数为，故D正确． 故选：ABD． 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）. A. 、为实数，若，则与共线 B. 若、，则 C. 两个非零向量、，若，则与垂直 D. 若，、分别表示、的面积，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性质可判断A；根据平面向量数量积的运算律判断C． 【详解】解：对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误， 对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错， 对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确， 若，设，，可得为的重心， 设，，， 则，，，由， 可得，故D正确； 故选：AB. 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球的表面积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可判断A选项；利用基本不等式结合锥体的体积公式可判断B选项；易知球心在直线上，所以该圆锥外接球半径即为外接圆半径，利用正弦定理以及球体表面积公式可判断C选项；将、展开为一个平面，利用余弦定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆锥的母线长为， 故该圆锥的侧面积为，A对； 对于B选项，因为为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点， 所以，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，故， 当且仅当时，等号成立，故， 故，故三棱锥体积的最大值为，B错； 对于C选项，易知球心在直线上，所以该圆锥外接球半径即为外接圆半径， 设其外接球半径为，， 所以，故圆锥外接球的表面积为，C对； 对于D选项，当时，易知，将、展开为一个平面，如下图所示： 在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 易知，故， 由余弦定理可得， 当点、、三点共线时，的长取最小值，且其最小值为，D对. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是纯虚数，则实数______. 【答案】2 【解析】 【详解】由复数是纯虚数， 可得，解得. 13. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 【答案】## 【解析】 【详解】过作于点，如图： 则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知 所以. 则，所以，所以球的半径， 所以球的体积，圆台的体积， 所以. 14. 在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】因为， 且， 则， 又因为，且与所成的夹角为， 则， 可得， 当且仅当时，的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求的坐标； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，代入求值即可； （2）由，得，利用向量数量积和向量的模，求夹角的余弦. 【小问1详解】 由，设，，， ，或． 【小问2详解】 ，， ，， ，． 设与的夹角为，则． 与的夹角的余弦值为． 16. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】（1） 因为， 所以，又底面ABC， 所以，又， 所以平面PAC， 因为平面PBC， 所以平面平面PAC； （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示： 作，连接OM， 因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC， 所以平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角， 设，则， 所以，又， 所以， 所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 17. 已知的三个内角所对的边分别为的面积为，且． （1）求角的大小． （2）若，求的值． （3）若，点是线段上一点，求内角平分线的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，三角形面积公式及同角三角函数的关系即可求解； （2）根据三角形面积公式得出，结合及余弦定理即可求解； （3）根据平面向量数量积的定义得出，再根据角平分线的性质及平面向量线性运算得出，由平面向量数量积的运算律即可求解． 【小问1详解】 由余弦定理得，三角形面积， 代入已知等式得， 又 ，故． 【小问2详解】 由，得， 又，则， 由余弦定理得， 解得（负根舍去）． 【小问3详解】 因为， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以， 则， 故． 18. 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． （1）求证：面； （2）当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1）证明： 由为正三角形且可知． 又因为，且，在中，由余弦定理得 ． 所以，所以，所以，即． 所以，又因为平面平面， 所以面． （2）（ⅰ）2； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先应用余弦定理得出，再应用勾股定理证明，最后应用线面平行判定定理证明； （2）（ⅰ）先应用线面平行性质定理得出再结合比例关系得出，最后再应用线面平行性质定理得出即可得出比例；（ⅱ）应用三棱锥体积公式结合比列关系计算. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （ⅰ）如图，连接交于点，连接． 因为平面平面，平面平面，所以． 在梯形中，，所以． 因为，所以有， 又面面，平面平面． 所以． 又，所以． （ⅱ）因为． 设梯形高为，则 所以． 又，所以． 所以． 19. 在中，记角所对的边分别为，，为边上的中线． （1）求角； （2）若，求； （3）若在边上，且，与交于点，，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再结合三角形内角和定理与三角恒等变换公式可求角. （2）设，根据列式，可求的值. （3）先根据求边，再利用求的长. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理，可得， 又， 所以. 因为为三角形内角，所以， 所以， 所以， 又为三角形内角，所以. 【小问2详解】 因为为边上的中线，所以. 设，则，. 所以. 又根据正弦定理，， 所以， 所以. 【小问3详解】 如图， 设， 因为，，三点共线，故可设. 又. 又. 由. 由， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $