江苏无锡市太湖高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

参考答案 2025一2026学年度第二学期期中考试 高一数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.B2.A3.B4.D5.C6.B7.A8.D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分， 9.BCD 10.ACD 11.AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.16 13.5-114.(0,6 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解(1)，在复平面内复数21对应的点在第一象限的角平分线上 ∴a2-4=5,得a=±3 复数名=5+51的共轭复数=5-51 +b=5+51+b-5+53-40+b=2+h- 1 (2)22 3+4i 25 5 5 Z+b(bER) +b=0 若22 是纯虚数，则5 7 b=一于 解得5 16.解：如图，过点C作CE⊥AD于点E,该几何体是直角梯形ABCE绕AE所在直线旋转一周形成的 圆台挖去Rt△CDE绕DE所在直线旋转一周形成的圆锥所得的几何体. E D A 3√3 :∠DAB=90°，∠ADC=120°，AB=3N3,CD=4,AD=1, 在圆锥中，底面半径EC=2V5,母线CD=4,高DE=2. 在圆台中，上底面半径EC=25,下底面半径AB=3V5,高AE=3, 母线BC=V32+(W3)=2V3 故所求几何体的表面积 S表=S维侧+S台侧+S圆台下底=π：2V3.4+元(2V5+35)2V5+π-(35}2=(57+8√3)元 体积 =h6-a5[25+25.35+65j]3-252=49m 17.解(1)平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F是线段AD上靠近点D的三等分点， 由题知 G-号8c.同=4，l3则 -F-c号0-丽-0 ① 21 EG=EB+BG=B+2BC=a+2五 3 3 旺-c-（居-0+号--4-音9-6=0 ② 4 :EF⊥EG,即 FEG=T -1 EG-EB+BG-1a+16 (2)若3，则 2 3 乐c-5-及+。6+0-81 904 a-6+号x9-×16=- 4 ,解得db=6, cos(a,B)=4B6 1 同54×32 又位，=∠Ae0.∠1=5 =4x3×sinT=6V5 ∴.平行四边形ABCD的面积 3 cosB=2c+b 18.解(1)（方法1） 2a OsB=a'+c-b_2c+b 由余弦定理知 2ac 2a 化简得b2+c2-a2=-bc .cos4=bte-a1 2bc 2 又1e(0π)A=2n 3 'cosB=2c+b （方法2) 2a,.2acosB =2c+b. 由正弦定理得2 sinAcosB=2sinC+sinB」 A+B+C=元，sinC=sin(A+B) .2sinAcosB 2sinAcosB+2cosAsinB+sinB. ∴.2 cosAsinB+sinB=0. 又sinB>0.cosA=- 2, 2π 又A∈(0，π)A= 3 (2)角A的平分线交BC边于点DA=3÷∠B1D=∠C4D=T 3, 3 又SAARC=SAACD+SABCD, .2π_1 bADsin 32 3,即bc=AD(b+c） AD=3 3 又 .c=2b+c) 在△4BC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA, :(2N13}2=b+c2-2bcos2π=2+c2+hc 3 52*c=6+e,周52+6*a）=6+o 13 2(b+c)2-3(b+c)-104=0,解得b+c=8或 b+c=- 2（舍)· ∴.△ABC的周长1=a+b+c=8+2V13 19.解(1)在△ABC中，AB=4,BC=5,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB.BC·cos∠ABC=16+25-2×4×5cos∠ABC=41-40coS∠ABC 在△ADC中，AD=3,DC=5,由余弦定理得 AC2=AD+DC2-2AD.DC·cos∠ADC=9+25-2×3×5cos∠ADC=34-30cos∠ADC ∴.41-40cos∠ABC=34-30cos∠ADC.∴.40cos∠ABC-30cos∠ADC=7 4cos∠ABC-3cos∠ADC=7 10为定值. (2)①△BCD是等边三角形，且BC=3,.BD=3,∠CBD=60° 1 AB 在△4BC中，AB=4,BD=AD=3.c0s∠ABD=2 2 sin/ABD=-c0S ZABD=5 3 sinLABC=sim(∠Ac+60)=5x号+2x5_25+5 3232 6 5c8acn8c-4x3255-25+5 6 ②设∠ABD=0,∠BAD=&,则LABC=0+60° AD BD 在△ABC中，由正弦定理得sin0sina,.BDsin0=ADsina=3sina 由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD.cosa=16+9-2×4×3sina=25-24cosa 又AD2=AB2+BD2-2AB·BD.cos0, ∴.9=16+(25-24cos)-8 BDcos0 ∴.BDcos0=4-3cosa 5-号4B-Bcsm0+60r）-x4xBD3n0+5cos Pcos0=BDsin0+3BDcos0 2 =3sina+3(4-3cosa)=3sina-3v3cosa+43=6sin(a-60)+43 0°<a<180°，∴.-60°<a-60°<120° ∴当且仅当0-60°=90°，即a=150°时，△4BC的面积取最大值，最大值为6+4W3 2025－2026学年度第二学期期中考试 高一数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．若，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，，则向量（ ） A． B． C． D． 3．有一块多边形木板，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），其中，，，则这块木板的面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 6．素面高足银杯（如图1）是陕西历史博物馆收藏的唐代金银器典型代表，其造型被证实受到罗马拜占庭艺术风格影响，是研究唐代贵族生活方式与跨文化融合的关键物证．如图2，将银杯主体近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略）．已知杯口直径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ）． A． B． C． D． 7．如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，，则（ ） A． B． C． D． 8．在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题错误的是（ ） A．一个棱柱至少有5个面； B．直四棱柱是长方体； C．圆心和圆上两点可确定一个平面； D．正方形的直观图是正方形． 10．对于复数，下列说法正确的是（ ） A．； B．； C．若，则； D．若，则． 11．中，角，，所对的边分别为，，，则如下命题中，正确的是（ ） A．若，则； B．若，则是等腰三角形； C．若为锐角三角形，则； D．若，，，则边上的中线的长为． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知圆锥底面半径为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________． 13．复数满足，则的最小值为________． 14．已知平面向量，（，）满足，且与的夹角为，则的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设为虚数单位，，复数，，且在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上． （1）求的值及复数的共轭复数； （2）若（）是纯虚数，求实数的值． 16．（15分）如图，在平面四边形中，，，，，．求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积与体积． 17．（15分）如图，在平行四边形中，，，点是的中点，是线段上靠近点的三等分点，，设，． （1）若， ①用，表示，；②求的大小； （2）若，且，求平行四边形的面积． 18．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若角的平分线交边于点，，，求的周长． 19．（17分）如图，在平面四边形中，，． （1）若，求证：当长度变化时，为定值，并求此定值； （2）若是等边三角形， ①当时，求的面积； ②求的面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $