湖南省怀化市2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的模长为 A． B． C． D． 2．已知等差数列中，，，则公差 A． B． C． D． 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．已知，，则 A． B． C． D． 5．在的展开式中，所有项的系数和为 A． B． C． D． 6．已知抛物线上两点，处的切线互相垂直，则 A． B． C． D． 7．《九章算术》记载的“圆囷”是圆柱形粮仓．现用总长米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面（不计上下底），已知圆柱侧面积，侧面用料长度满足（其中为两条母线的长度和，为底面半径，为高，单位均为米）．若要使圆柱侧面积最大，则其高与底面半径之比的值为 A． B． C． D． 8．定义在上的“关联二次函数”满足，且，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则 A．的最小正周期为1 B．的最小值为 C．的图象关于直线对称 D．的单调递增区间为 10．已知，，，则 A． B． C． D． 11．已知正四面体的棱长为2，点在棱上（不含端点），过点且平行于和的平面截四面体所得截面为四边形．则 A．截面四边形面积的最大值为1 B．三棱锥的体积的最大值为 C．三棱锥的外接球半径的最小值为 D．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从正态分布，若，则=_________． 13．双曲线的焦点坐标为_________． 14．已知两平面向量，满足：，对任意的，有恒成立．若，，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（★）（13分） 已知在中，内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求的值； （2）已知平分且交于点，，求的最小值． 16．（★）（15分） 如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 17．（15分） 某市举办青少年科技创新知识竞赛，共设三个环节，依次为“基础理论”“实验操作”和“综合应用”．已知某选手通过三个环节的概率分别为，和，且各环节之间相互独立．每个环节通过得10分，未通过得0分，已知该选手三个环节全部参加．记为该选手的总得分． （1）求该选手恰好通过两个环节的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）学校规定：总分达到20分及以上可获一等奖学金500元，总分10分可获二等奖学金200元，总分0分不获奖学金．记该学生获得的奖学金金额为元，求的数学期望． 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，是椭圆上关于坐标原点对称的两点，是椭圆上异于，的任意一点，直线，的斜率分别为，．证明：为定值； （3）设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值． 19．（17分） 已知函数，其中． （1）讨论函数的零点个数； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意正整数，都有． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A C D A B C BD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）由正弦定理可知：， 1分 在中，， 2分 ， 3分 又中， ， 4分 即， ， 5分 ，，即． 6分 （2）由题意可知，， 7分 ， 9分 ， 10分 由基本不等式可得，即，， 11分 当且仅当时取等号． ，，当且仅当时取等号． 12分 ，的最小值为． 13分 16．【解析】（1）连接，因为是等边三角形，是的中点，所以． 1分 又因为，，平面，，所以平面． 3分 因为平面，所以． 4分 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面． 6分 （2）法一：在菱形中，， 由（1）得平面，所以平面． 7分 在平面内，作于． 因为平面，平面，所以． 9分 又因为，，平面，， 所以平面， 11分 所以的长度为点到平面的距离． 12分 在中，因为，，， 所以，同理． 13分 因为平面，平面，所以． 在中，因为，所以边上的高． 即点到平面的距离为． 15分 法二：因为平面，平面，所以． 由（1）得，，两两垂直， 故以，，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 8分 则，，， 9分 ，，． 10分 设平面的法向量为， 所以即 12分 所以是平面的一个法向量． 13分 所以点到平面的距离． 15分 17．【解析】（1）设事件表示“第个环节通过”，则，，，且，，相互独立． 1分 “恰好通过两个环节”包含三种互斥情况： 通过第1，2个，未通过第3个：． 2分 通过第1，3个，未通过第2个：． 3分 通过第2，3个，未通过第1个：． 4分 因此，恰好通过两个环节的总概率为． 5分 （2）由题意易知，随机变量的所有可能取值为，，，． 6分 ①当时，三个环节均未通过： ． 7分 ②当时，恰好通过一个环节，分为三种情况： 仅通过第1个：． 仅通过第2个：． 仅通过第3个：． 所以． 8分 ③当时，恰好通过两个环节，由（1）可知． 9分 ④当时，三个环节全部通过： ． 10分 综上，随机变量的分布列为： 11分 （3）由题意，奖学金与总分的关系如下： 当或时（总分），获得一等奖学金元； 当时，获得二等奖学金元； 当时，获得元． 因此，随机变量的取值为，，， 12分 对应概率为：，， ． 13分 所以的分布列为： 0 200 500 ． 故该学生获得奖学金金额的数学期望为402元． 15分 18．【解析】（1）由离心率，得， 1分 又，所以， 2分 椭圆过点，代入椭圆方程得，将代入得，从而． 3分 故椭圆的标准方程为． 4分 （2）设，则．设，其中． 5分 依题意：，， 6分 ， 7分 由椭圆方程知：，， 8分 代入得， ，为定值． 10分 （3）设直线，与椭圆：联立，得， 即， 11分 判别式， 原点到直线的距离， 12分 将代入得恒成立， 设，， 则弦长， 13分 的面积， 14分 令，则， 令，变形得， 当时，由基本不等式：，当且仅当，即时等号成立， 此时，故， 15分 当时，， 16分 当直线斜率不存在时，由到直线的距离为可知，由对称性取， 此时，，， 综上可得，面积的最大值为． 17分 19．【解析】（1）函数的定义域为，将函数变形得， 1分 令，由于，故在上单调递增，其值域为． 2分 于是原函数零点个数等于关于的函数在上的零点个数． 则． ①当时，，在上单调递增． 若，则，无零点； 3分 若，取，则， 取，则， 由零点存在定理，在上有唯一零点，结合单调性，共1个零点． 4分 ②当时，令得． 当时；当时， 故的极小值（最小值）为． 5分 若，则，，函数无零点； 若，则，函数恰有1个零点； 若，则，结合时，，，此时； 时，，且远远大于，此时，故函数有2个零点． 6分 综上：或时，有1个零点；时，没有零点；时，有2个零点． 7分 （2）由同构可知对任意恒成立． 当时，取，则，不成立； 8分 当时，恒成立； 9分 当时，由（1）知的最小值为，令，结合解得． 综上所述，的取值范围是． 11分 （3）由（2）知，当时，（当且仅当时取等）． 12分 取，得， 13分 化简即得不等式，当且仅当时等号成立． 14分 令且，则， 15分 整理得． 对，，…，累加得， 原不等式得证． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $