湖南株洲市第四中学2026-2027学年高三8月开学考试数学试题

2026.8高三开学考试数学试题 (时量120分钟满分：150分考试范围：高考所有内容) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每道题只有一个答案符合题意。 1.已知复数z满足(1+i)z=1-i,则z2024= A.i B.-1 C.1 D.-i 2.已知向量à=(1,2)，b=(x,x+3).若a∥6，则x= A.-6 B.-2 C.3 D.6 3.已知案合4=x-lk2xe,B=y, 则A∩B= A.[1,3] B.[02] C.{0,2 D.{1,2 4.已知双曲线C: t2 -y=1a>0)经过点2,0)，则c的渐近线方程为 A.y=+2x B.y= 2 c.=好 D.y=tv2 5.已知f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y),且f =2,则f(4) A.4 B.8 C.64 D.256 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且{Sn}单调递增.若a,=5,则d∈ . . 7.已知ae匠小p引，若ma+-og- 则cos2a= 3 1 A·3 1 B.3 23 C.21 23 D. 27 8.中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量5~B(,p),则当 p>5且n(1-p)>5时，5可以由服从正态分布的随机变量n近似替代，且5的期望与方差 分别与7的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布 估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为 附：若：7~N(4,o2),则P(4-o<7<4+o)≈0.6827，P(4-2o<7<u+2)≈0.9545， P(4-3o<7<u+3o)≈0.9973. A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.9773 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分， 9.已知函数f(x)=x3-x2-ax(x之0)，则 A.若f(x)=f(),则a=1 B.若=f0,则a=月 C.若a=1,则f(x)在(0,1)上单调递减 D.若a=,则（在L3)上单调递增 10.指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U为全集且元素个数有限， (1,x∈S 对于U的任意-个子集S,定义集合S的指示函数1s(x),l()={0,xECS若A,B,CU,则（） 注： ∑f国)表示M中所有元素x所对应的函数值f(x)之和（其中M是f(x)定义域的子集）· XEM A@四 B.1MnB()≤14(d)≤1uB) c. ∑1B()=∑(14)+lg田-141) YEU D. 1-l)I-lg国)1-lk国)-国-1acw 11.已知空间两条异面直线a,b所成的角等于60°，过点P与a,b所成的角均为0的直线有 且只有一条，则0的值可以等于 A.30° B.45° C.75° D.90 三、填空题：本题共3道题，每小题5分，共15分 的展开式中x的系数是 13.设数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为T,,若b=-1,b=8b2, (1-2"）Sn=n(n+1)Tn,则an=一 14.已知双曲线C,C2都经过点(1,1)，离心率分别记为%，e2,设双曲线C,C2的渐近线分别 为y=x和y=士北x若kk=1,则三=」 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2 csinB=V2b. (1)求C; (2)若tanM=tanB+tanC,a=2,求△ABC的面积. 16.(15分)已知四面体A-BCD,AB=AD=BC=CD=2,AC=V3. (1)证明：AC⊥BD; (2)若BD=2√3，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值， 17.(15分)已知抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点F到准线1的距离为2，点D(p,0),过F 的直线交「于A,B两点，过A,B分别作I的垂线，垂足分别为A,B,直线A,D,B,D 与直线AB分别交于点M,N. (1)求「的方程； ②)记M,N的纵坐标分别为，，当+=1时，求直线AB的斜率： yM yN ③)没E为x轴上一点，记么，么分别为直线MB,ND的斜率若一为定值，求点E的坐标 k. 18.(17分)在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以)的概率向数轴正方向 或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过-2或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达 会瞬间收到设事件{A,}表示“机器人的前次移动均未向雷达发送信息” (1)求P(4),P(A)月 (2)已知①@两个结论：①P424,)<子；®设{X∈N')是一列无穷个事件，若存在正 数N,对于任意的n均有∑P(X)<N,则"{X}中只有有限个事件同时发生的概率为1. (i)证明： P(4,)<3事件；“雷达会收到信息"的概率为1： ()求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率 19.(17分)已知函数f(x)=V1+2ax2-axsinx. (1)判断f(x)的奇偶性； (2若a=,求证：()≤1 (3)若存在x∈(0，π)，使得对任意x∈(0，xo),均有f(x)<1,求正实数a的取值范围. 2026.8高三开学考试数学答案 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B D A D D ACD BCD 题号 11 答案 AD 1.C【详解)由已知z=1--0- =-i,所以z=i,z204=i2024=i=1.故选：C 1+i(1+i)1-) 2.C【详解】由ā∥b,知1(x+3)=2x,解得x=3故选：C. 3.C【详解】由x-1K2,即-2<x-1<2,解得-1<x<3, 所以A={x‖x-1K2,x∈N}={x-1<x<3,x∈N}={0,l,2}, 又B={=+=y1,所以4nB=0,2故选：C 4.日【详解】因为双硅线C:手-y-a>0经过点20，所以a-26-l,断近线方程 为y=±2x=±x故选：B 5.D【详解】由f(x+y)=f(x)f(y),当y=x时，有f(2x)=f(x), 由（)2，则有f4=(2)=f0=f=2=256放选：D 6.A【详解】因为{an}为等差数列，且a,=5,所以an=5+(n-5)d, 又数列{Sn}为递增数列，所以{an}从第二项开始，各项均为正数 由a2=5+(2-5)d>0→d< 因为an>0(n≥2)恒成立，所以数列{an}为常数数列或递增数列，所以d≥0. 综上，1e0》选：A 7.0详暴1由于a经A0引，则a+A经)， 而m(a+)-写，放a+月e[（行小coa+m=-na+A=2号 3 cos a cos[(a+B)-B]=cos(a+B)cos B+sin(a+B)sin B =22x5+x66 +-X 33339 故c0s2a=2cos2a-1=2x(-6y-1=-2 27 故选：D 8.0I详解1殷子向上的点数为偶数的概率n=,放~A250,》, 显然m=m1-p）=2500×)>5,其中m=1250,m(1-p）=625, 故7-N1250,252), 则4+2o=1250+50=1300, 由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为 0.5+×0.9545≈0.9773.故选：D 9.ACD【详解】对于AB,f'(x)=3x2-2x-a(x≥0)， 因为f(x)=f(),所以x=1是f(x)的极小值点， 则f'(1=3-2-a=0,解得a=1, 此时f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)(x≥0)， 当0≤x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0, 所以f(x)在[0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 所以f(x)=f(),所以a=l,故A正确，B错误； 对于C,若a=1,则f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)(x≥0)， 当0<x<1时，f'(x)<0,所以f(x)在(0，)上单调递减，故C正确； 对于D,若a=月，则/()=3x2-2x+写3x-(e20), 当1<x<3时，f'(x)>0,所以f(x)在(1,3)上单调递增，故D正确故选：ACD. 10.BcD【详解1对于A,由于4cU,所以1，(=，)+∑1，=，(， 故，)-，①，故A错误， 对于B,若x∈A∩B,则14oR(x)=1,l(x)=1,1n(x)=1,此时满足1B(x)≤1(x)≤1n(x), 若x∈A且x生B时，1n(x)=0,1M(x)=1,1AB(x)=1, 若x∈B且xEA时，1An(x)=0,1(x)=0,1B(x)=1, 若x生A且xEB时，1R(x)=0,1(x)=0,1R(x)=0, 综上可得14B(x)≤1(x)≤1(x),故B正确， 对于c,∑，国+1，(-1，(，()=∑，+1(-l,1,+ x∈(Aot B) 0.1-161-161. ∑（，()+1(x)-1,(x)1(x)=∑（L,)+l(x)-1,x1(x)+ xeC,(AUB) xe(A0GB) ∑L,()+l()-1,x)1n(x)+∑(L,)+l)-l,(x1(x)+∑0 re() xEC,(AUB) =,国+l,-1,,a 而国=1+A=.四， xeL,(AB) 由于1网四三0，ret (AVB)所以4四+1，网-，，c=1) 故n(倒=∑(L,(+l(田-l,（》,c正确。 .因-A, 当x∈4UBOC时，此时1（x),1(x),1c(x)中至少一个为1，所以 (1-1(x)1-1(x)1-1c(x)=0, 当xE(AUBUC)时，此时1(x),lw(x),lc(x)均为0，所以(1-1，()1-1()1-lc()=1, 故1-l,(1-l60-l()=∑0-1,1-l1-l.6)=∑l(, 故D正确，故选：BCD 11.AD【详解】过点P作d11a,b1Ib, 从两对角的角平分线开始，直线/与.公所成角的范围为0©[&引电0[昏引 而均为0的直线有且仅有一条，根据对称性，可得0=30°或0=90°故选：AD. 12.8【详解】 x+又 展开武的适项公式为=C中( =C42x”,(其中 r=0,12,3,4), 令4-3r=1,解得r=1,即二项式展开式中x的系数为C4×2=8.故答案为：8 13.2n【详解】设等比数列{bn}的公比为9， 由b=8b2,则g3=8,解得q=2,又b=-1, 所以.=-2，Z--2）-1-2,代入-25，=a+7, 1-2 解得Sn=n(n+l), 当n-1时，a=S,=2, 当n≥2，neN时，an=Sn-Sn-1=n(n+l)-n(n-l1)=2n, a1=2满足上式，所以an=2n,neN.故答案为：2n. 14.1【详解】当k=k2=1时，点(1,1)在渐近线上，不合题意； 当k+k2时，不妨设0<k<1<k2, 则C:(y-kxy+kx)=m, 因为双曲线G经过点(，)， 所以m=1-, 所以：2- -=1 1 因为0<k<1,所以k<1,则双曲线C的焦点在y轴上， 所以 +, e= V1- k x2 同理9 y2 1 =1 k3-1, 因为k2>1,所以>1，则双曲线C2的焦点在x轴上， 1 所以e2= 所以g=6,即9-1，综上所述，气-1故答案为：1. e, e 15.【详解】(1)由2 csinB=√2b得2 sinCsinB=√2sinB,而B为三角形内角， 故sn8>0得nC=受，而C为三角形纳角，：C-或头 A 4 (2)由taA=-tan(B+C)=tanB+tanC得-anB+tanC 1-tanBtanC tanB+tanC, 又m8+tnC*0,x.tDtnC=2,,故&ce(o到 由（1)得tanC=1,故tanB=2, tanM=tanB+tanC=3,而A为三角形内角，÷sinM=3i0 10 2 c 又品c即)io2→c=2 sinA sinC 10 3 2 又anB=2,而B为三角形内角，故sinB-名5， .sdesint= 2xV20x254 1 2 353 16.(1)证明如下： 取BD的中点M,连AM,CM, B 由AB=AD=BC=BD,可得BD⊥AM,BD⊥CM, 又因为AM∩CM=M,AM、CMc平面ACM, 所以BD⊥平面ACM, 因为ACC平面ACM,所以AC⊥BD. (2)方法1：因为BD=2√5，所以AM=CM=1, 又因为AC=√5，所以∠AMC=120°， 由（1)可得BD⊥平面ACM,所以平面BCD⊥平面ACM, 作MH1CM交CM延长线于点H,则AH1平面BCD且AH= 2 H 设点B到平面ACD的距离为h, 因为m=yam,则S4oh= 2 25.3 1 可得h=2 2 -2V3 2 设直线AB与平面ACD所成角为0，可得sin0=五-39 AB13' 所以直线AB与平面ACD取成线面角的正弦值为√39 13 方法2：因为BD=2√5，所以AM=CM=1, 又因为AC=V3,可知∠AMC=120°， 由（1)可得BD⊥平面ACM,且BDC平面BCD, 所以平面BCD⊥平面ACM, 作AH⊥CM交CM延长线于点H, 则AH1平面BCD且H= 2 如图，以MB为x轴，MC为y轴，z轴/AH建立空间直角坐标系， 则0号9}a(a.ao,c0u.0叫v5.ao。 可得c-号-9c-i-5号写 设平面ACD的一个法向量为i=(x,y,z),则 z=0 克AC三)y一2心《 .DC=3x+y=0 令x=1,则y=-√3，z=-3,可得i=1,-V5,-3, 设直线AB与平面ACD所成角为O, 可得sin0= cos AB,n AB 239 ABV3×213' 所以直线AB与平面4CD取成线面角的正弦值为V 13 17.【详解】（1)由题意知p=2,所以抛物线方程为y2=4x: (2) VA A D OEF 由题意可设直线AB的方程为x=my+1,A(x,),B(,),则A(-l),B(-山，y), D(2,0). y2=4x, 所以 x=m+1'得y-4my-4=0, 所以乃+2=4m,2=-4. 所以直线AD的方程为：y=-(x-2),与直线AB的方程x=my+1联立消去x, 3 解得w上 y+3,同理w= my2+3 所以上+上侧+3m,+3-2m+30+）-=m=1所以烟=-1 yM yN y y2 yiy2 所以直线AB的斜率为1=-1. m (3)设E(t,0), y2-+1-2 因为真=4y-2m1+3+3 -3y kxx -t yw my +1-1 (2-t)myy+(3-3)5 my+3 my2+3 因为y+y2=4m,y2=-4. k -3y1 -3y 所以元2-)m-(4)+3-3)(4m-(3-3)片-m(8-4' 当1时，年-2为定值所以行 18.0P(4)=P4)=2 (2) 0N小-货》-片画我. P(4.)P(4)<(2P(4)<P(4)-. 24)小+++子-xr<. 对于一系列无穷事件{A,},存在正数N=3,对于任意的n都有， ∑P(4)<3, 则"{4，n}中只有有限个事件同时发生"的概率为1，即“{4，}中有事件不发生"的概率为1，即 “雷达会收到信息”的概率为1. ()设事件C={机器人从i出发，运动至3首次发送信息(i=-1,0,1), 根据()，机器人发信息的概率为1，即它会从0运动至-2或3的概率为1， 再根据对称性，机器人初始位置为0，首次发信息在-2的概率与初始位置在1， 首次发信息在3的概率相等，即P(C)=P(C): 设事件M,表示点移动到1，事件M。,表示点移动到0，设事件M1表示点移动到-1. 易知事件C,与事件M,相互独立，故P(C,M)=P(C)(i=1,2,3): 又根据全概率公式，若机器人初始位置为0， 第-次移动后的位置为1或-1，故P(C)=P(M)P(C,M)+P(M)P(CM), 故PG)-2PC+2P(G)-2P(C)+-PG】,@ 若机器人初始位置为-1，第一次移动后的位置为0，故P(C)=P(M)P(CMo), 即P(C)=P(G),® 解00，解得PG)号，从而香达第一次收到信息时机器人位香为3的概率为号 2 19. 【详解】(1)f(x)=V1+2ax2-axsinx, 1 当a≥0时，定义域为R,当a<0时，定义域为 1 V-2a'√-2a 均关于原点对称， f(-x)=/1+2a(-x)-a(-x)sin(-x)=v1+2ax2-axsinx=f(x), 故f(x)为偶函数， (2) 当a=时，f()--子+与imr为偶函数。 要证f()sL,只需要证-2≤1-)inx, 当-1sxs1时，1sic>0, 只需证明0s1时，12(-.即证2-血+女mx20, 12 只需证x-sinx≥0，即证x≥sinx, 令g(x)=x-sinx,g'(x)=1-cosx20,g(x)在0≤x≤1单调递增，故g(x)≥g(0)=0,所以 x≥sinx,得证. (3)由f(x)<1可得V1+2ax2<1+axsinx, 当0<x<元时，a>0,故1+axsinx>0, 故1+2axr2（1+axsinx)}→2sinx-2x+axsin2x)0, h(x)=2sinx-2x+axsin2x,h'(x)=2cosx-2+asin2x+axsin2x, m(x)=h'(x),m'(x)=-2sinx+asin2x+asin2x+2acos2x=-2sinx+2asin2x+2axcos2x, n(x)=m'(x),n'(x)=-2cosx+6acos2x-4asin2x, @当0)=-2+60>0时，即a>行，存在6∈(0，使得对任意xe(0),()少0， 故m'(x)在x∈(0，x)单调递增，又m'(0)=0,所以m'(x)>0在x∈(0，x)恒成立， 从而m(x)=N(x)在x∈(O,x)单调递增，又(O)=0,所以(x)>0在x∈(0，x)恒成立， 从而h(x)在x∈(0，)单调递增，结合h(0)=0,得h(0)>0对任意x∈(0，)恒成立，符合 题意， @当0<a<3时，n(0)=-2+6a<0,存在∈(0，)，使得对任意x∈(0，），n(x)<0, 故m'(x)在x∈(0，x)单调递减，又m(0)=0,所以m(x)<0在x∈(0，x)恒成立 从而m(x)=h(x)在x∈(0，)单调递减，又h'(0)=0,所以H(x)<0在x∈(0，x)恒成立， 从而h(x)在x∈(0，x)单调递减，结合h(0)=0,得h(0)<0对任意x∈(0，x)恒成立，不符 合题意， 回当a=3时，令p=m(),p'(=-2sinx-l6asin2r-8 os2x, g)=p6.9闭=2cosx-40acos2x+16xsin2x,则g0=2-40a=1-40<0,类推®同 3 理可得不符合题意， 综上可得a>3