专题03 反比例函数的应用（5大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数综合及实际应用，通过分层题型构建从图象判断到实际建模的完整逻辑链，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与反比例函数图象综合判断|4题|考查函数图象与系数符号关系|从形到数，建立函数性质与图象的关联| |一次函数与反比例函数的交点问题|4题|涉及交点坐标、范围求解|联立方程思想，深化函数与方程的联系| |一次函数与反比例函数的其他综合应用|4题|含平移、面积计算等综合设问|综合运用函数性质，提升逻辑推理能力| |反比例函数的实际应用|4题|物理（电阻、密度）与生活情境|抽象实际问题为反比例模型，培养应用意识| |一次函数与反比例函数的实际应用|4题|分段函数（如消毒、加热过程）|融合一次与反比例函数，构建复杂问题解决框架|

专题03 反比例函数的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 1 题型二、一次函数与反比例函数的交点问题 3 题型三、一次函数与反比例函数的其他综合应用 6 题型四、反比例函数的实际应用 12 题型五、一次函数与反比例函数的实际应用 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 1.在同一平面直角坐标系中，函数和（，k是常数）的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答，即可求解． 【详解】解：A、当时，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不合题意； B、当时，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不合题意； C、当时，反比例函数y位于第二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； D、当时，反比例函数y位于第二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 2.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数它的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数函数的图象与性质是解题的关键． 先确定直线与y轴交于点，函数与可知反比例函数比例系数与一次函数斜率符号相反，故不同时过第一、三象限或第二、四象限，综合即可判断结果． 【详解】解：对于，当，， ∴直线与y轴交于点，故A、D不符合题意； 由函数与，可知反比例函数比例系数与一次函数斜率符号相反，故不同时过第一、三象限或第二、四象限，故C不符合题意，B符合题意， 故选：B． 3.函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 4.函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，由函数知直线必过这一点，据此可得． 【详解】解：由函数知直线必过这一点， 故选：C． 题型二、一次函数与反比例函数的交点问题 5.正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，关键在于求出交点坐标． 【详解】解：将点A坐标代入反比例函数得：. ∴. ∴， 将点A坐标代入正比例函数得：. ∴. 故答案为：. 6.若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选：B． 7.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得点A的横坐标为2，因为正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，故点B的横坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点B的横坐标为， 则当时，x的取值范围是或， 故选：B 8.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）由直线与轴交于点，与轴交于点，求出直线表达式，再将代入即可得到答案； （2）当时，求的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的的取值范围，求出直线与双曲线的交点是和，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ，解得， 直线， 在直线上， ，则， 直线与反比例函数在第四象限内的图象交于点， ，则反比例函数的表达式为； （2）解：当时，求的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的的取值范围，如图所示： 联立得，则， 解得或， 直线与双曲线的交点是和， 由图可知当时，的取值范围是或． 题型三、一次函数与反比例函数的其他综合应用 9.如图，直线与轴交于，与双曲线交于．将直线平移，与轴交于，与双曲线交于． (1)求双曲线的解析式． (2)当时，求点C，D的坐标． 【答案】(1)双曲线的解析式为 (2)， 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确理解题意，找到各点与表达式间的关系是正确解答此题的关键． （1）将代入，求得m，即可求解； （2）作轴于轴于． 证明（AAS）．得．由，得．即可求得点D坐标，设直线为，代入点D坐标，即可求解点C坐标． 【详解】（1）解：将代入直线的解析式中，得． 解得． 将代入双曲线的解析式中，得． 双曲线的解析式为． （2）解：作轴于轴于． 则． ． ， ， ． ． 由题意，， ． 由，得． ； 设直线为，则． ， 直线为． 由，得． ． 10.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点，若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先求出点．再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）记平移后的直线与轴的交点为，则，连接BD．根据列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ． 点． 把点代入， 得：， ． 直线的表达式为：． （2）记平移后的直线与轴的交点为，则， 连接， ． ． 即：． ． 11.如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质． （1）先求出m的值，利用待定系数法求出k即可得解； （2）过点A作轴于点P，过点N作轴于点Q，证明，得，根据，得，根据，得，可得，即得． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为；； （2）解：过点A作轴于点P，过点N作轴于点Q， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵中, ∴只有， ∴， ∴， ∴， ∵轴， 当， ∴， 当， ∴， ∴， ∴． 12.已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)①；②不等式的解集为或． 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等． （1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入数据计算即可； ②根据函数图象即可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得， ； 直线的解析式为， 令，得， ， ； ②∵，， ∴不等式的解集为或． 题型四、反比例函数的实际应用 13.光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入反比例函数表达式求出参数； （2）通过将给定的照度值代入已求出的函数表达式，求出对应的透明度，从而确定透明度的范围． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 把代入得，． 与之间的函数表达式为； （2）解：智能玻璃的透明度应控制在范围内， 理由如下： 把和别代入得， 且在第一象限随的增大而减小， 智能玻璃的透明度应控制在范围内． 【点睛】 14.“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器、由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤盘中物体的重量．小华仿照古人制作秤的方法制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)弹簧秤的示数的最小值为 (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的增减性和不等式的解法是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，把时，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数的增减性和的取值范围计算即可； （3）根据题意列不等式并求的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵弹簧秤的示数是的反比例函数， ∴设关于的函数表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴关于的函数表达式为． （2）解：∵关于的函数表达式为，， ∴随的增大而减小， ∵当弹簧秤位于木杆最右端时，的值最大，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为． ∴弹簧秤的示数的最小值为． （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴的取值范围为． 15.小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度I（单位：A）和电阻R（单位：）的数量关系．通过滑动电阻保持电阻R两端电压恒定，把不同阻值的电阻R接入电路，观察电流表中的数据，得到如表的数据： 20 30 40 50 60 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)请写出适当的函数表达式表示变量I与变量R的数量关系． (2)当电阻的阻值为时，电路中的电流强度为，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3倍，接入电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)电阻阻值缩小为原来的，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据表格数据的关系，可得R与I的乘积不变，始终等于12，写出函数关系式即可； （2）当时，，结合，即可得出结论． 【详解】（1）根据表格数据的关系，可得R与I的乘积不变，始终等于12． 设， ∴， ∴． （2）电阻阻值缩小为原来的，理由如下： 当时， ； ∵， ∴ 16.如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)满足条件的点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． （1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可； （2）将代入得，求出，得到函数的解析式为； （3）设，连接，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， （2）解：将代入得， ， 函数的解析式为； （3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点， 设， 如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验是原方程的根， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 题型五、一次函数与反比例函数的实际应用 17.某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 18.为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 19.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 20.某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 一、选择题 1．（2025·湖南·模拟预测）在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数关系的应用以及溶质质量分数公式的理解，解题的关键是明确溶质质量分数的定义，结合反比例关系建立函数表达式． 根据溶质质量分数公式，结合题意即可求解． 【详解】解：当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系， 设， 当克时，溶质质量分数为时，即， 得， ，即， 故选：A． 2．（2024·湖北·模拟预测）反比例函数与一次函数的图象交于点，利用图象的对称性可知它们的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．根据题意可知反比例函数与一次函数的图象都关于直线对称，进而求出反比例函数与一次函数的图象交点关于点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象关于直线对称， ∴联立，解得， ∴反比例函数与一次函数的图象交点关于点对称， 设它们的另一个交点是， ∴， ∴， ∴另一个交点坐标为． 故选B． 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握矩形面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和， ∴， ∴函数解析式为：， ∴与之间的函数图象大致是： 故选：． 4．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 5．（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 根据反比例函数和一次函数的图象，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， 则A、D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，函数的图象位于第一、三象限，则B选项符合题意；C选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象位于第二、四象限，均不符合题意； 故选：B 二、填空题 6．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象上点的坐标特征，代数式求值，把点分别代入函数解析式可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 2 … v/（亿米/秒） 3 2 … 若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为 亿米/秒． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据题意确定光的传播速度与介质折射率的反比例函数关系． 先根据表格数据判断光的传播速度与介质折射率成反比例关系，设出反比例函数解析式，代入已知数据求出，得到函数解析式，再将普通玻璃的折射率代入解析式，求出光在其中的传播速度． 【详解】解：由表格可知， ∴在不同介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间存在反比例函数关系． ∴光的传播速度（亿米/秒）与介质折射率之间的函数解析式为． 将代入， 得（亿米/秒）． 答：光在普通玻璃中的传播速度是亿米/秒． 故答案为：． 8．（2025·广东韶关·二模）已知点是反比例函数和一次函数上的一点，则点到原点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，联立函数解析式是解题的关键． 联立，整理得，结合题意可知，，利用勾股定理表示出，整体代入即可求解． 【详解】解：联立， 整理得：， ∵点是反比例函数和一次函数上的一点， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∴点到原点的距离为． 故答案为：． 9．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 【详解】解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，故①正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，故②错误； 当时，， ∵, ∴由图象可得，在第一象限内，随着的增大而减小， ∴，故③正确； 当时，， 解得：，故④错误， 故答案为：①． 10．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点，点的坐标是，点的坐标是． （1） （2）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为 【答案】 2 或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点代入反比例函数解析式，即可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：（1）把点代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得； （2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， 关于x的不等式的解集为或， 故答案为：①2；②或． 三、解答题 11．（安徽省蚌埠市部分学校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试卷）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间成反比例关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据待定系数法，求出反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 函数图象经过点， ， 解得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 时，随的增大而减小， 当时，， 即在安全情况下，该闭合电路中电阻的取值范围是不小于． 12．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 13．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数（k为常数，且）的图象交于，B两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为1或9 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平移问题，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，先把代入，得到A点的坐标，然后代入，求得值，即可求得一次函数解析式； （2）先根据平移的性质得将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，依题意，进行列式化简得，再结合将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， ∴A点坐标为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， 将直线向下平移个单位长度得直线解析式为， 依题意得 消去y得， 整理得， ∵若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点， 故， 解得或， 即m的值为1或9． 14．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 (2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【详解】（1）解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ，得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，得，当时，，得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； （2）解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 15．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)填空：______；______；______； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)的面积为； (3)不等式的解集为或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，求函数解析式，求面积，确定不等式的解集，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设直线与轴交于点，求出点，然后通过即可求解； （3）由图象即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过，两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵反比例函数的图象过， ∴， 故答案为：，，； （2）解：如图，设直线与轴交于点， 由（1）得，， ∴当时，， ∴， ∴点， ∴， ∴ ， ∴的面积为； （3）解：由图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 即不等式的解集为或． 16．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为___________． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、利用图像解不等式、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为． ，与轴交于点． （2）解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． （3）解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 17．（24-25八年级下·浙江·期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表： 时间 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20 水温 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃ (1)在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象． (2)借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30℃为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围． (3)上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)可以喝到不超过50C°的水，理由见解析 【分析】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图象得出函数解析式是解决问题的关键． （1）根据表格描点、连线即可； （2）根据图象可得：在加热过程中，y是x的一次函数，经过点的坐标为，；降温过程中，y是x的反比例函数，经过点；然后利用待定系数法求出两个函数解析式； （3）先求出上午之间有85分钟，是3个周期多15分钟，令，代入函数解析式求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）在加热过程中，y是x的一次函数； 设一次函数关系式为：， 将（代入，得 解得． ∴， 降温过程中，y是x的反比例函数；设关系为，将点代入得， ． ∴ （3）上午之间有85分钟，， 15位于时间段内， 把代入，可得． 所以8：25分时同学们可以喝到不超过50C°的水． 18．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和____________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 【答案】（1）；；；（2）不能围出面积为 的矩形；图象和理由见解析；（3） 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为，解答即可； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可．． 【详解】解：将反比例函数与直线联立得， ， ， ，， 方程组的解为或， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；；； （2）不能围出面积为 的矩形；理由如下： 将反比例函数与直线联立得， ， ， ， 无解， 故两个函数图象无交点； 的图象，如图中所示：   与函数图象没有交点， 不能围出面积为 的矩形． （3）如图中直线所示， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， 有唯一解，即：方程只有一个解， ， 解得：，（舍去）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 1 题型二、一次函数与反比例函数的交点问题 3 题型三、一次函数与反比例函数的其他综合应用 6 题型四、反比例函数的实际应用 12 题型五、一次函数与反比例函数的实际应用 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 1.在同一平面直角坐标系中，函数和（，k是常数）的图像大致是（   ） A． B． C． D． 2.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A．B．C．D． 3.函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 4.函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C．D． 题型二、一次函数与反比例函数的交点问题 5.正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么 ． 6.若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 题型三、一次函数与反比例函数的其他综合应用 9.如图，直线与轴交于，与双曲线交于．将直线平移，与轴交于，与双曲线交于． (1)求双曲线的解析式． (2)当时，求点C，D的坐标． 10.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点，若，请求出的值． 11.如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，连接，，求的面积． 12.已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 题型四、反比例函数的实际应用 13.光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 14.“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器、由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤盘中物体的重量．小华仿照古人制作秤的方法制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 15.小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度I（单位：A）和电阻R（单位：）的数量关系．通过滑动电阻保持电阻R两端电压恒定，把不同阻值的电阻R接入电路，观察电流表中的数据，得到如表的数据： 20 30 40 50 60 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)请写出适当的函数表达式表示变量I与变量R的数量关系． (2)当电阻的阻值为时，电路中的电流强度为，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3倍，接入电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由． 16.如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 题型五、一次函数与反比例函数的实际应用 17.某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 18.为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 19.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 20.某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 一、选择题 1．（2025·湖南·模拟预测）在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）反比例函数与一次函数的图象交于点，利用图象的对称性可知它们的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 4．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 5．（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A．B．C．D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 ． 7．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 2 … v/（亿米/秒） 3 2 … 若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为 亿米/秒． 8．（2025·广东韶关·二模）已知点是反比例函数和一次函数上的一点，则点到原点的距离为 ． 9．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 10．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点，点的坐标是，点的坐标是． （1） （2）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为 三、解答题 11．（安徽省蚌埠市部分学校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试卷）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间成反比例关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 12．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 13．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数（k为常数，且）的图象交于，B两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值． 14．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 15．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)填空：______；______；______； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 16．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为___________． 17．（24-25八年级下·浙江·期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表： 时间 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20 水温 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃ (1)在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象． (2)借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30℃为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围． (3)上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 18．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和____________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $