计数原理知识清单-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了人教A版2019计数原理全知识点，涵盖两个计数原理、排列、组合、二项式定理四大核心模块，构建了从基础原理到应用方法再到公式速查的完整知识体系。 清单采用“原理定义+关键特征+口诀记忆”分层呈现，如将分类加法与分步乘法原理用“分类互斥类独立，分步相依步关联”口诀区分，培养学生数学思维与表达能力。特设核心公式速查表和易错点警示，如排列组合应用题标注“平均分组除阶乘”等易错点，配方法口诀与实例解析，帮助学生高效自主复习，教师可据此精准指导，提升备考针对性。

人教A版2019计数原理知识点口诀—— 2027届高三数学一轮复习 一、两个计数原理（选择性必修第三册） 1. 分类加法计数原理 · 定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 种不同的方法，在第2类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 · 推广：完成一件事有 类不同方案，各类方法数分别为 ，则共有 种方法。 · 关键特征：各类方案相互独立，每类方案都能独立完成整件事（分类互斥，类类独立）。 口诀： 分类加法计数原理，完成一事分几类； 每类都能独立完成，方法数相加得总数。 两类方案m加n，n类方案各数相加； 分类互斥类独立，加法原理要记清。 2. 分步乘法计数原理 · 定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 · 推广：完成一件事需要 个步骤，各步方法数分别为 ，则共有 种方法。 · 关键特征：各步骤相互依存，每一步都不能独立完成整件事，必须依次完成所有步骤（分步相依，步步关联）。 口诀： 分步乘法计数原理，完成一事分几步； 每步不能独立完成，依次完成所有步骤。 两步方案m乘n，n步方案各数相乘； 分步相依步关联，乘法原理要记清。 3. 两个原理的区别与联系 分类加法 分步乘法 区别 分类完成，每类独立 分步完成，每步不独立 关键词 或、要么…要么… 且、先…再… 计算 相加 相乘 联系 都是计算完成一件事的方法总数，复杂问题常先分类后分步 口诀： 两个原理要分清，分类加法分步乘； 分类每类独立完，分步每步不独立。 关键词”或”用加法，关键词”且”用乘法； 复杂问题先分类，类内再分步来算。 分类不重也不漏，分步顺序要合理； 计数原理是基础，排列组合都靠它。 二、排列（选择性必修第三册） 4. 排列的定义与排列数 · 排列：从 个不同元素中取出 （）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列。 · 排列数：从 个不同元素中取出 （）个元素的所有不同排列的个数，记作 （或 ）。 · 排列数公式： · 全排列： 个不同元素全部取出的排列，。 · 规定：。 · 排列的特征：元素不同，且有顺序（顺序不同是不同排列）。 口诀： 排列从n个不同元素，取m个按序排成列； 排列数A_n^m，n(n减1)…(n减m加1)。 也等n的阶乘除以(n减m)的阶乘，全排列A_n^n等n的阶乘； 零的阶乘等于一，这个规定要记住。 排列特征有顺序，顺序不同不同排列； 元素不同是前提，排列公式要熟练。 5. 排列应用题常用方法 · 特殊元素优先法：先排有特殊要求的元素，再排其他元素。 · 特殊位置优先法：先排有特殊要求的位置，再排其他位置。 · 捆绑法：相邻问题，将相邻元素捆绑成一个”大元素”与其他元素排列，再考虑大元素内部顺序。 · 插空法：不相邻问题，先排无限制的元素，再将不相邻元素插入空隙。 · 定序问题：某些元素顺序固定，用除法（总排列数除以固定元素的全排列数）。 · 间接法（排除法）：正面计算复杂时，用总数减去不符合条件的。 口诀： 排列应用题方法多，特殊元素优先排； 特殊位置也优先，先特殊后一般。 相邻问题捆绑法，绑成大元再排列； 内部顺序也要算，捆绑法要记全。 不相邻问题插空法，先排无限制元素； 不相邻元素插空隙，空隙数要算清楚。 定序问题用除法，总排列除固定元素排列； 间接法排除不符合，正难则反是策略。 三、组合（选择性必修第三册） 6. 组合的定义与组合数 · 组合：从 个不同元素中取出 （）个元素合成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。 · 组合数：从 个不同元素中取出 （）个元素的所有不同组合的个数，记作 。 · 组合数公式： · 组合的特征：元素不同，但无顺序（顺序不同是同一组合）。 · 排列与组合的区别：排列有序，组合无序。 口诀： 组合从n个不同元素，取m个合成一组； 组合数C_nm，A_nm除以m的阶乘。 也等n的阶乘除以[m的阶乘乘(n减m)的阶乘]，组合特征无顺序； 顺序不同同一组合，排列组合区别在序。 排列有序组合无序，判断关键看顺序； 组合公式要熟练，计数问题常用它。 7. 组合数的性质 · 性质1（对称性）： · 性质2（递推公式/ Pascal公式）： · 性质3：，，。 · 性质4：。 · 性质5：（奇数项和等于偶数项和）。 口诀： 组合数性质五条，对称性质C_nm等C_n(n减m)； 取m个等于取(n减m)个，对称性质简化算。 递推公式C_(n+1)m等C_nm加C_n^(m减1)，杨辉三角就是它； 上肩两数相加得下数，组合数递推要记清。 C_n0等一C_nn等一，C_n^1等n基本值； 所有组合数和等2的n次方，奇偶项和各等2的(n减1)次方。 8. 组合应用题常用方法 · 分组问题： · 不平均分组：将 个不同元素分成 组，各组元素数不同，直接用组合数相乘。 · 平均分组：将 个不同元素平均分成 组（每组 个，），分法数为 （要除以组数的阶乘，消除组间顺序）。 · 部分平均分组：有几组元素数相同，除以相同组数的阶乘。 · 分配问题： · 定向分配：指定每组分给谁，直接用组合数相乘（不除阶乘）。 · 不定向分配：先分组再分配（分组后乘组数的全排列）。 · 相同元素分配：隔板法（见下）。 · 几何问题：组合数计数，注意共线、共面等限制。 · 至多至少问题：分类讨论或间接法。 口诀： 组合应用题方法多，分组分配是重点； 不平均分组直接乘，平均分组要除阶乘。 平均分成k组，组合相乘除以k的阶乘； 消除组间顺序影响，平均分组易错点。 部分平均分组，除以相同组数阶乘； 定向分配直接分，不定向先分组再排列。 相同元素隔板法，至多至少分类或排除； 几何问题注意共线，组合计数要仔细。 9. 隔板法 · 适用条件：将 个相同元素分给 个不同对象。 · 基本型（每对象至少一个）：将 个相同元素分给 个不同对象，每个对象至少一个，分法数为 （ 个元素间有 个空隙，插入 个隔板）。 - 允许为空型：将 个相同元素分给 个不同对象，允许为空，分法数为 （先借 个元素，每个对象至少一个，转化为基本型）。 - 至少 个型：每个对象至少 个，先给每个对象分 个，转化为基本型。 口诀： 隔板法相同元素分不同对象，n个相同元素分给m个对象； 每个至少一个，C_(n减1)^(m减1)。 n个元素n减1个空隙，插入m减1个隔板； 隔板法基本型要记牢，相同元素是前提。 允许为空型，先借m个元素； 转化为每个至少一个，C_(n加m减1)^(m减1)。 至少k个型，先分k减1个； 剩余元素再隔板，转化思想是关键。 四、二项式定理（选择性必修第三册） 10. 二项式定理与通项 · 二项式定理： · 通项公式：展开式的第 项为 · 二项式系数：（）叫二项式系数，注意与项的系数区别。 · 展开式共有 项。 口诀： 二项式定理(a加b)的n方，展开共n加1项； C_n^0 a的n方加C_n^1 a的(n减1)方b，一直加到C_n^n b的n方。 通项T_(k加1)等C_n^k a的(n减k)方b的k方，k从零到n； 求特定项用通项，k值要算准确。 二项式系数C_n^k，项的系数含a b的系数； 两者区别要分清，二项式系数只是组合数。 11. 二项式系数的性质 · 对称性：（与首末两端”等距离”的两个二项式系数相等）。 · 增减性与最大值： · 当 为偶数时，中间一项（第 项）的二项式系数最大，为 。 · 当 为奇数时，中间两项（第 项和第 项）的二项式系数相等且最大，为 。 · 各二项式系数和： · 奇数项与偶数项二项式系数和： · 杨辉三角：二项式系数表，每行两端为1，其余每个数等于它肩上两数之和。 口诀： 二项式系数性质多，对称性质C_nk等C_n(n减k)； 与首末等距离相等，对称性质简化算。 增减性先增后减，中间项系数最大； n偶数中间一项最大，n奇数中间两项相等最大。 所有二项式系数和，等于2的n次方； 奇数项和偶数项和，各等2的(n减1)次方。 杨辉三角是系数表，每行两端都是一； 其余数等肩上两数和，二项式系数直观表。 12. 赋值法求系数和 · 求所有项系数和：令 （或令变量为1）。 · 求奇数项系数和与偶数项系数和： · 令 得所有项系数和 · 令 得奇数项减偶数项 · 奇数项系数和 ，偶数项系数和 · 求常数项：令通项中变量指数为0，求 。 · 求特定项系数：利用通项公式 ，令变量指数等于目标值求 。 口诀： 赋值法求系数和，令变量为1得总和； (a加b)的n方令a等1 b等1，所有项系数和就得到。 奇偶项和分开求，令b等1和b等负1； 两式相加除以2得奇数项和，相减除以2得偶数项和。 常数项令指数为零，特定项令指数等目标； 通项公式是工具，赋值法求系数和常用。 五、计数原理易错点总口诀 计数原理两基础，分类加法分步乘； 分类每类独立完，分步每步不独立。 关键词”或”用加法，关键词”且”用乘法； 复杂问题先分类，类内再分步来算。 排列有序组合无序，判断关键看顺序； 排列数A_nm，组合数C_nm。 排列公式n(n减1)…，组合公式除以m的阶乘； 零的阶乘等于一，这个规定要记住。 组合数对称C_nm等C_n(n减m)，递推C_(n加1)m等C_nm加C_n^(m减1)； 所有组合数和等2的n次方，奇偶项和各等2的(n减1)次方。 排列应用方法多，特殊元素优先排； 相邻捆绑不邻插空，定序除法间接排除。 组合应用分组分配，平均分组要除阶乘； 相同元素隔板法，n减1空隙插m减1板。 二项式定理展开n加1项，通项T_(k加1)等C_n^k a的(n减k)方b的k方； 二项式系数与项系数，两者区别要分清。 二项式系数对称先增后减，中间项最大； 赋值法求系数和，令变量为1或负1。 计数问题重审题，分类不重也不漏； 正难则反用间接，计数原理拿高分。 六、核心公式速查表 名称 公式 分类加法 分步乘法 排列数 全排列 ， 组合数 组合数对称 组合数递推 组合数和 奇偶项和 隔板法（至少1） 隔板法（可为空） 二项式定理 通项 二项式系数最大（n偶） 第 项， 二项式系数最大（n奇） 第 项， 赋值法 令变量为1得系数和，令变量为-1得奇偶差 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $