集合知识清单-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了人教A版2019集合全知识点，涵盖集合的概念、关系、运算、综合应用及易错点，通过模块划分、口诀提炼和表格归纳构建完整知识体系。 清单以“口诀记忆+表格对比”强化数学语言表达，如元素三性口诀、德摩根定律口诀，用核心公式速查表培养数学思维逻辑，特设易错点警示和新定义问题策略，助力学生自主复习，辅助教师精准教学。

人教A版2019集合知识点口诀—— 2027届高三数学一轮复习 一、集合的概念（必修第一册） 1. 集合与元素 · 元素与集合的关系： · 属于：（ 是集合 的元素） · 不属于：（ 不是集合 的元素） · 元素的三个特性： · 确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。 · 互异性：集合中的元素是互不相同的，即同一元素不能重复出现。 · 无序性：集合中的元素没有顺序之分。 口诀： 集合元素两概念，大写集合小写元； 属于用∈不属于∉，元素集合关系明。 元素三性是基础，确定互异和无序； 确定性是判标准，互异性去重复，无序性不排序。 2. 集合的表示方法 · 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号 括起来。如 。 · 描述法：用集合所含元素的共同特征表示，格式为 或 。 · Venn图法：用平面上封闭曲线的内部代表集合。 · 区间法： · 开区间： · 闭区间： · 半开半闭：， · 无穷区间：，， 口诀： 集合表示四方法，列举描述Venn图区间； 列举法一一列出来，元素之间用逗号。 描述法竖线分两边，左边元素右边特征； Venn图画封闭曲线，区间表示数集专用。 开区间用小括号，闭区间用中括号； 无穷大用+∞，无穷小用-∞，无穷端用小括号。 3. 常见数集与集合分类 · 常见数集： · ：自然数集（非负整数集，含0） 或 ：正整数集（不含0） · ：整数集 ：有理数集 · ：实数集 · 集合分类： · 有限集：含有有限个元素的集合。 · 无限集：含有无限个元素的集合。 · 空集：不含任何元素的集合，记作 。 口诀： 常见数集要记牢，N自然数含零； N星N加正整数，Z整数Q有理R实数。 集合分类看元素，有限无限和空集； 空集没有元素在，记作∅要记清。 二、集合间的基本关系（必修第一册） 4. 子集、真子集、相等 关系 定义 符号 图示 子集 集合 中任意一个元素都是集合 中的元素 （或 ） A在B内 真子集 且存在 （或 ） A在B内且不重合 相等 且 完全重合 · 空集的性质： · 空集是任何集合的子集： · 空集是任何非空集合的真子集：（） · 子集个数公式：若集合 有 个元素，则 · 子集： 个 · 真子集： 个 · 非空子集： 个 · 非空真子集： 个 口诀： 子集包含真子集，相等互含是一家； A中元素都在B中，A就是B的子集。 真子集比子集少一个自身，相等集合元素全相同； 空集是任何集合子集，非空集合真子集。 n个元素的集合，子集二的n次方； 真子集减一，非空真子集减二。 三、集合的基本运算（必修第一册） 5. 并集、交集、补集 运算 定义 符号表示 Venn图 并集 由属于集合 或属于集合 的所有元素组成 两圆合并 交集 由属于集合 且属于集合 的所有元素组成 两圆重叠 补集 由全集 中不属于集合 的所有元素组成 全集中去掉A · 全集：含有所研究问题中涉及的所有元素的集合，通常记作 。 口诀： 并集取或交集取且，补集全集中去掉A； 并集A∪B两圆合并，交集A∩B两圆重叠。 补集∁_U A，U是全集要记清； 补集元素在U不在A，Venn图中阴影明。 6. 集合运算的性质 并集性质： - - - （交换律） - （结合律） - ， - 交集性质： - - - （交换律） - （结合律） - ， - 补集性质： - （双重否定） - - - ， 分配律： - - 口诀： 并交自身等于自身，并空等A交空等空； 交换律结合律都满足，并集A∪B等A等价B含于A。 交集A∩B等A等价A含于B，补集的补集是自身； A并补集等全集，A交补集等空集。 分配律两条要记，交对并并对交； A交(B并C)等(A交B)并(A交C)，A并(B交C)等(A并B)交(A并C)。 7. 德摩根定律 · 口诀：补并等于补交，补交等于补并（去括号，变符号，并变交，交变并）。 口诀： 德摩根定律两条，补并等于补交； 补交等于补并，去括号变符号。 并变交来交变并，补集分配到每个； 德摩根定律常用，集合运算化简利器。 8. 容斥原理 两个集合的容斥原理： 三个集合的容斥原理： · 表示集合 中元素的个数（cardinality）。 口诀： 容斥原理计数用，两集合并等于各自和减交集； |A∪B|等|A|加|B|减|A∩B|，多算的交集要减掉。 三个集合更复杂，加加减减再加上； 各自和减两两交，再加三者交集数。 |A∪B∪C|等|A|加|B|加|C|减|A∩B|减|A∩C|减|B∩C|加|A∩B∩C|； 容斥原理多退少补，计数问题常用它。 四、集合的综合应用 9. 集合与方程、不等式 · 集合与方程：方程的解集、方程组的解集。 · 一元方程解集： · 一元二次方程解集： · 集合与不等式：不等式的解集。 · 一元一次不等式： · 一元二次不等式： · 含参集合问题：注意讨论参数，特别是空集情况。 · 集合相等问题：利用元素相同列方程，注意互异性检验。 口诀： 集合方程紧相连，方程的解组成集合； 不等式解集也是集合，数轴表示最直观。 含参集合要讨论，空集情况不能忘； 集合相等列方程，互异性检验要做。 10. 集合中的新定义问题 · 新定义集合：题目中定义新的集合运算或关系，如 （差集）等。 · 解题策略： 0. 准确理解新定义的含义 0. 将新定义转化为熟悉的集合运算 0. 利用Venn图或数轴辅助分析 0. 注意特殊情况（空集、端点） 常见新定义： - 差集： - 对称差： - 幂集：集合 的所有子集组成的集合，记作 ，有 个元素。 口诀： 新定义题仔细读，理解定义是第一步； 转化为熟悉运算，Venn图数轴来辅助。 差集A减B，A中有B中无； 对称差是并减交，幂集是所有子集。 新定义题重理解，照葫芦画瓢就对了； 特殊情况要考虑，空集端点不能漏。 五、集合易错点总口诀 集合学习重基础，元素三性要记牢； 确定性是判标准，互异性去重复，无序性不排序。 表示方法有四种，列举描述Venn图区间； 描述法竖线分两边，左边元素右边特征。 子集真子集相等，空集性质要记清； 空集是任何集合子集，非空集合真子集。 n个元素子集数，二的n次方要记牢； 真子集减一，非空真子集减二。 并集取或交集取且，补集全集中去掉A； 德摩根定律去括号，并变交来交变并。 容斥原理计数用，两集合和减交集； 三集合加加减减，最后加回三者交。 含参集合要讨论，空集情况不能忘； 集合相等列方程，互异性检验要做。 新定义题仔细读，理解定义是第一步； 转化为熟悉运算，特殊情况要考虑。 集合是数学基础，贯穿高中全过程； 数形结合Venn图，集合学习拿高分。 六、核心公式速查表 名称 公式 子集 真子集 且 相等 且 子集个数 个元素：子集 ，真子集 ，非空真子集 并集 交集 补集 德摩根定律 德摩根定律 两集合容斥 三集合容斥 并集等价 交集等价 差集 对称差 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $