专题01 集合与常用逻辑用语（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整理了集合与常用逻辑用语专题，涵盖集合的元素特性、关系、运算，常用逻辑用语的充分必要条件、全称与存在量词，构建完整知识体系。 清单采用基础梳理与高阶思维分层突破，设母题探究、考法深研等模块，如“条件关系集合转化秒杀技法”培养数学思维，标注易错点（如忽视空集）辅助精准复习，助力学生自主构建逻辑体系，教师可据此优化教学策略。

专题01 集合与常用逻辑用语 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01集合与元素 考点02集合间的基本关系 考点03集合的基本运算 考点04充分条件与必要条件 考点05全称量词与存在量词 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 容斥原理的应用 难点解读02 集合新定义问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01集合基本运算综合 题型02充分、必要条件与量词命题综合判定 ▶重点突破・考法深研 重点01利用元素与集合的关系求参数 重点02利用集合间的关系求参数 重点03利用集合运算结果求参数 重点04利用充分必要条件求参数 重点05利用全称/存在量词命题真假求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01子集的个数问题 技法点拨02集合间关系的判断 技法点拨03Venn图在集合运算中的应用 技法点拨04条件关系集合转化秒杀技法 技法点拨05判断全称/存在量词命题的真假 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01对集合表示方法的理解偏差致错 易错点02忽视（漏）空集致错 易错点03忽视集合元素的互异性致错 易错点04充分性与必要性位置颠倒理解错误 易错点05对含有一个量词命题的否定理解错误 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 5、常见集合的含义 集合 代表元素 方程的根 不等式的解 函数的自变量的取值 函数的函数值 函数图象上的点 【新题对点练】（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 考点02 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 【新题对点练】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为，则： ，， 所以，即，因此 考点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 【新题对点练】（2026·浙江金华·三模）已知全集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， ． 考点04 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作． 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 【新题对点练】（2026·广东茂名·二模）已知实数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，取，，满足，，此时，而， 因此，由无法推出，充分性不成立. 若，由，，得， 因此，，即，必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 考点05全程量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题． 3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （1）全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：． （2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：． （3）命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （4）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【新题对点练】（2026·安徽芜湖·一模）设命题，则的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由全称量词命题的否定为特称量词命题，则原命题的否定为.故选：A 难点解读01 容斥原理的应用 容斥原理的基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复． 如果被计数的事物有A，B两类，那么A类和B类元素个数的总和=A类元素个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数，即card（A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)． 类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式： card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)． 难点破解 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 2．（2026·山东淄博·二模）已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3次，则3次所得数字之积能被10整除的概率为__________. 【答案】 【解析】根据题意，每次投掷得到情形A：掷出5点，情形B：掷出偶数点， 情形C：掷出3或7点的概率分别为， 于是3次投掷均没有5的概率为，3次投掷均没有偶数的概率为， 3次投掷既没有5也没有偶数的概率为， 因此根据容斥原理，3次投掷既有5也有偶数的概率为. 难点解读02 集合新定义问题 （1）看透“新”定义：分析新定义中元素的特征，从定义中提取关键要素，明确问题本质，并将其应用到解题过程中． （2）明确“新”性质：分析题目中给出的性质，如集合中元素的特性、集合之间的关系等，并将之与集合原有性质关联，根据题目要求进行推理或计算． （3）遵循“新”法则：把握新的运算法则，将其转化到集合、不等式等相关运算中．解题提示：对于比较象的题目，可以利用特例和赋值方法解释或理解新定义，有助于排除一些选项． 难点破解 1．（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【解析】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 2．（2026·河南南阳·二模）（多选）已知集合，记，则（    ） A．中有个元素 B．中的最大元素为2046 C．当为偶数时，中有个元素 D．当为奇数时，中的元素之和为 【答案】BCD 【解析】对于A：的元素在区间内的正整数，所以元素个数为，故A错误； 对于B：当时，，所以表示在区间为3的倍数， 最大元素为小于的最大的3的倍数，所以最大元素为，故B正确； 对于C：当为偶数时，令，则， 所以中的倍数的个数为，故C正确； 对于D：当为奇数时，令，中元素的首项为，末项为的等差数列，项数为， 所以中的元素之和为，故D正确. 素养进阶·答题技法突破 题型01 集合基本运算综合 考情定位：新高考开篇固定必考题型，全章节基础送分考点，年年必考，难度偏低，兼顾基础概念与数形结合考查． 核心考法：①依托元素互异性化简集合，完成交并补基础运算；②数集、平面点集区分运算；③不等式解集、区间型集合数轴运算；④有限集合子集、真子集个数求解；⑤含参集合运算、集合包含关系判定． 解题要点：求值类题型必须核验集合元素互异性；数集区间运算依托数轴判别端点虚实；点集运算联立方程求解交点；含参集合优先讨论空集特例，结合数轴校验端点等号取值． 【典例1】（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得,又因， 则. 【典例2】（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，所以 题型02 充分、必要条件与量词命题综合判定 考情定位：新高考选填中档高频考点，贴合新课标命题要求，融合不等式、函数性质命题，逻辑套路固定，区分基础逻辑思维． 核心考法：①文字、不等式、函数类命题充分必要条件判定；②全称、特称命题真假判断与命题否定；③依托量词命题、条件关系逆向求解简易参数范围． 解题要点：条件判定优先转化集合包含关系，遵循小推大逻辑；命题否定严格执行改量词、否结论、条件不变规则；恒成立、存在性问题区分最值选取逻辑，参数结果务必代回核验． 【典例1】（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 【典例2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题.故选：B. 重点01 利用元素与集合的关系求参数 （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 【典例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，代入得，解得. 【典例2】（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 重点02 利用集合间的关系求参数 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围．常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【典例1】（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【解析】由可知，解得. 此时，符合要求.所以. 【典例2】（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【解析】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 重点03 利用集合运算结果求参数 法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围． 法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验． 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集． 【典例1】（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即，结合集合元素的互异性， 可得或，解得或． 【典例2】（2026·湖北·三模）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 即的取值范围是. 重点04 利用充分必要条件求参数 1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； 2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 【典例1】（2026·山东济南·模拟预测）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以.故选：D. 【典例2】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，即，故． “”是“”的必要不充分条件且． 由且，结合， 故.故选：C 重点05 利用全称/存在量词命题真假求参数 1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； 2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为.故选：B. 【典例2】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 技法点拨01 子集的个数问题 求子集个数的两种方法： 1、列举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况； 2、公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 【典例1】（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由题意得，元素个数为，子集个数为. 【典例2】（2026·江西·二模）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【解析】求解集合，由得，即. 故. 求解集合，由且，得，整数解为，故. 所以，该集合元素个数为. 因为个元素的集合真子集个数，代入得真子集个数为. 技法点拨02 集合间关系的判断 判断集合间关系的三种方法： 1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系； 2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系； 3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． 【典例1】（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 【典例2】（2026·山东济南·模拟预测）（多选）已知为全集，集合，是的子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】已知为全集，，，由集合运算性质：， 因为，所以. A：可以是空集，此时，满足，错误. B：已推出，错误. C：，，，正确. D：，相等集合互相包含，成立，正确. 技法点拨03 Venn图在集合运算中的应用 元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达．有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题． 【典例1】（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 【典例2】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【解析】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确.故选：BC 技法点拨04 条件关系集合转化秒杀技法 将命题转化为对应解集集合，依托集合包含关系快速判条件：小范围⇒大范围，为充分不必要条件；大范围⇒小范围，为必要不充分条件；集合相等，则互为充要条件． 【典例1】（2026·江西·模拟预测）“或”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 【典例2】（2026·湖南常德·一模）已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若平面向量，，则等价于， 又因为，所以， 化简可得：，解得或. 若，则一定满足，充分性成立， 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，选A. 技法点拨05 判断全称/存在量词命题的真假 全称量词命题：限定范围内全部成立则为真，存在一例不成立则为假； 特称量词命题：限定范围内存在一例成立则为真，全部不成立则为假． 【典例1】（2026·湖北黄冈·二模）已知命题：，有，命题：，使得，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】对于命题，取，得，所以命题不正确，所以是真命题； 对于命题，取，得，所以命题正确. 综上所述，和都是真命题. 【典例2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解析】令，则显然成立，是真命题，是假命题， 当时，，故命题是假命题，是真命题． 易错点01 对集合表示方法的理解偏差致错 辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义． 【典例1】（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，所以， 由得，所以， 所以. 【典例2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， ，则. 易错点02 忽视（漏）空集致错 辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 【典例2】（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 易错点03 忽视集合元素的互异性致错 辨析：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素． 【典例1】（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【解析】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 【典例2】（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】根据集合元素的互异性可知，，. 因为含有4个元素，所以仅含有1个元素， 若，则或，所以或. 若，则. 结合集合元素的互异性可知或. 当时，，，，符合题意. 当时，，，，不符合题意. 综上，. 易错点04 充分性与必要性位置颠倒理解错误 辨析：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算． 【典例1】（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式等价于，解得. 找充分不必要条件，即找集合的真子集，仅 C选项是原解集真子集. 【典例2】（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得， 所以的取值范围是. 易错点05 对含有一个量词命题的否定理解错误 辨析：对含有一个量词的命题进行否定时，先将存在（全称）量词变为全称（存在）量词，再将结论加以否定论．这类问题最常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词． 【典例1】（2026·湖南邵阳·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为带量词的命题的否定只需改变量词，否定结论， 所以命题“”的否定是“”. 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】命题，，则可得为，. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·北京丰台·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，， 则集合必包含元素，可能包含元素，所以，，故A正确，BD错误， 因为，且，所以，故C错误. 2．（2026·江苏苏州·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解不等式的解集得到的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系. 【解析】由，得，即， 则“”是“”的必要不充分条件. 3．（2026·四川成都·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，所以. 4．（2026·贵州黔西南·二模）集合的子集个数为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【解析】，故子集的个数为. 5．（2026·河北邯郸·二模）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D． 【答案】A 【解析】已知，则是的公共元素，且中元素不能重复. 因为，，因此或，解得或. 验证：若，，集合出现重复元素，舍去； 若，，，此时，符合条件. 6．（25-26高三上·福建漳州·期末）设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，, 故由交集和补集的概念阴影部分表示的集合为.故选：B. 7．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（    ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【解析】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 8．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由命题“”为真命题， ，解得：， 二、多选题 9．（2026·山西临汾·二模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】易知，即. ，即. A.，成立. B.因为，所以，不成立. C.或， ，成立. D.或， 或，成立. 10．（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（    ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．不是的子集的必要条件是 D．的充要条件是． 【答案】AB 【解析】对于A，因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故A正确； 对于B，因为，所以集合中的元素都是集合中的元素，故， 所以，故B正确； 对于C，令，显然不是的子集，此时，故C错误； 对于D，令，显然，但， 所以的充要条件不是，故D错误； 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【解析】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 三、填空题 12．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 13．（2026·山西吕梁·三模）若命题：，，则为________. 【答案】，使得. 【解析】由全称命题的否定可知，：，使得. 14．（2026·浙江温州·二模）表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 【答案】17 【解析】. 四、解答题 15．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，，又因为， 所以，所以，所以； （2）当时，， 因为，， 所以只有一个元素且， 所以，所以. 16．（2026·河南·三模）给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 【答案】(1) ，； (2)（i） ；（ii） 【解析】（1）（1） ， ． （2）（2）（i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列， 且这两个数为， 若去掉中最大的数后仍有一个逆对数的排列，则位于，之间或最后； 若去掉后逆对数为0，则可能位于除最后的所有位置， ； 方案二：对按所在位置分类： 若在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1； 若不在末位，设，，则当的逆对数为1时， 前面和后面的数都从小到大排列，共个，逆对数个数， 综上， ． （ii）设是中“逆对数”为2的一个排列，且，， 若去掉中最大的数后仍有两个逆对数的排列，则位于，或，之间或最后： 若去掉后逆对数为1，且为，则可能位于除最后与，之间的所有位置， ， 由（i）知 ， 又 ，则 ， 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ， ， ， 又 ，则 ， 是首项为3，公比为3的等比数列， ， ． $专题01 集合与常用逻辑用语 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01集合与元素 考点02集合间的基本关系 考点03集合的基本运算 考点04充分条件与必要条件 考点05全称量词与存在量词 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 容斥原理的应用 难点解读02 集合新定义问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01集合基本运算综合 题型02充分、必要条件与量词命题综合判定 ▶重点突破・考法深研 重点01利用元素与集合的关系求参数 重点02利用集合间的关系求参数 重点03利用集合运算结果求参数 重点04利用充分必要条件求参数 重点05利用全称/存在量词命题真假求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01子集的个数问题 技法点拨02集合间关系的判断 技法点拨03Venn图在集合运算中的应用 技法点拨04条件关系集合转化秒杀技法 技法点拨05判断全称/存在量词命题的真假 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01对集合表示方法的理解偏差致错 易错点02忽视（漏）空集致错 易错点03忽视集合元素的互异性致错 易错点04充分性与必要性位置颠倒理解错误 易错点05对含有一个量词命题的否定理解错误 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 5、常见集合的含义 集合 代表元素 方程的根 不等式的解 函数的自变量的取值 函数的函数值 函数图象上的点 【新题对点练】（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 考点02 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 【新题对点练】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 考点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 【新题对点练】（2026·浙江金华·三模）已知全集，若，则（    ） A． B． C． D． 考点04 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作． 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 【新题对点练】（2026·广东茂名·二模）已知实数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点05全程量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题． 3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （1）全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：． （2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：． （3）命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （4）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【新题对点练】（2026·安徽芜湖·一模）设命题，则的否定是（    ） A． B． C． D． 难点解读01 容斥原理的应用 容斥原理的基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复． 如果被计数的事物有A，B两类，那么A类和B类元素个数的总和=A类元素个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数，即card（A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)． 类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式： card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)． 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东淄博·二模）已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3次，则3次所得数字之积能被10整除的概率为__________. 难点解读02 集合新定义问题 （1）看透“新”定义：分析新定义中元素的特征，从定义中提取关键要素，明确问题本质，并将其应用到解题过程中． （2）明确“新”性质：分析题目中给出的性质，如集合中元素的特性、集合之间的关系等，并将之与集合原有性质关联，根据题目要求进行推理或计算． （3）遵循“新”法则：把握新的运算法则，将其转化到集合、不等式等相关运算中．解题提示：对于比较象的题目，可以利用特例和赋值方法解释或理解新定义，有助于排除一些选项． 1．（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 2．（2026·河南南阳·二模）（多选）已知集合，记，则（    ） A．中有个元素 B．中的最大元素为2046 C．当为偶数时，中有个元素 D．当为奇数时，中的元素之和为 素养进阶·答题技法突破 题型01 集合基本运算综合 考情定位：新高考开篇固定必考题型，全章节基础送分考点，年年必考，难度偏低，兼顾基础概念与数形结合考查． 核心考法：①依托元素互异性化简集合，完成交并补基础运算；②数集、平面点集区分运算；③不等式解集、区间型集合数轴运算；④有限集合子集、真子集个数求解；⑤含参集合运算、集合包含关系判定． 解题要点：求值类题型必须核验集合元素互异性；数集区间运算依托数轴判别端点虚实；点集运算联立方程求解交点；含参集合优先讨论空集特例，结合数轴校验端点等号取值． 【典例1】（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 充分、必要条件与量词命题综合判定 考情定位：新高考选填中档高频考点，贴合新课标命题要求，融合不等式、函数性质命题，逻辑套路固定，区分基础逻辑思维． 核心考法：①文字、不等式、函数类命题充分必要条件判定；②全称、特称命题真假判断与命题否定；③依托量词命题、条件关系逆向求解简易参数范围． 解题要点：条件判定优先转化集合包含关系，遵循小推大逻辑；命题否定严格执行改量词、否结论、条件不变规则；恒成立、存在性问题区分最值选取逻辑，参数结果务必代回核验． 【典例1】（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 重点01 利用元素与集合的关系求参数 （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 【典例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点02 利用集合间的关系求参数 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围．常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【典例1】（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 重点03 利用集合运算结果求参数 法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围． 法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验． 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集． 【典例1】（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·湖北·三模）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点04 利用充分必要条件求参数 1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； 2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 【典例1】（2026·山东济南·模拟预测）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点05 利用全称/存在量词命题真假求参数 1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； 2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 子集的个数问题 求子集个数的两种方法： 1、列举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况； 2、公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 【典例1】（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例2】（2026·江西·二模）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．15 D．16 技法点拨02 集合间关系的判断 判断集合间关系的三种方法： 1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系； 2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系； 3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． 【典例1】（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·山东济南·模拟预测）（多选）已知为全集，集合，是的子集，若，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 Venn图在集合运算中的应用 元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达．有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题． 【典例1】（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨04 条件关系集合转化秒杀技法 将命题转化为对应解集集合，依托集合包含关系快速判条件：小范围⇒大范围，为充分不必要条件；大范围⇒小范围，为必要不充分条件；集合相等，则互为充要条件． 【典例1】（2026·江西·模拟预测）“或”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【典例2】（2026·湖南常德·一模）已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 技法点拨05 判断全称/存在量词命题的真假 全称量词命题：限定范围内全部成立则为真，存在一例不成立则为假； 特称量词命题：限定范围内存在一例成立则为真，全部不成立则为假． 【典例1】（2026·湖北黄冈·二模）已知命题：，有，命题：，使得，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【典例2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 易错点01 对集合表示方法的理解偏差致错 辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义． 【典例1】（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 易错点02 忽视（漏）空集致错 辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点03 忽视集合元素的互异性致错 辨析：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素． 【典例1】（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【典例2】（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 易错点04 充分性与必要性位置颠倒理解错误 辨析：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算． 【典例1】（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 易错点05 对含有一个量词命题的否定理解错误 辨析：对含有一个量词的命题进行否定时，先将存在（全称）量词变为全称（存在）量词，再将结论加以否定论．这类问题最常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词． 【典例1】（2026·湖南邵阳·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·北京丰台·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·四川成都·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州黔西南·二模）集合的子集个数为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 5．（2026·河北邯郸·二模）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D． 6．（25-26高三上·福建漳州·期末）设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（    ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 8．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·山西临汾·二模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（    ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．不是的子集的必要条件是 D．的充要条件是． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C．中元素个数为 D． 三、填空题 12．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 13．（2026·山西吕梁·三模）若命题：，，则为________. 14．（2026·浙江温州·二模）表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 四、解答题 15．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 16．（2026·河南·三模）给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． $