第4讲 二次函数定义及y=ax² 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数定义及y=ax²的核心知识点，先通过一般形式、系数识别等梳理二次函数概念，再深入探究其图象（抛物线特征、开口方向、对称轴、顶点）与性质（增减性、最值），形成从定义到图象再到性质的完整学习支架。 资料以思维导图总览课程内容，助力学生构建知识框架，体现数学眼光中的几何直观。典例如“篱笆围矩形花圃”问题，培养模型意识与应用意识，创新题结合数形结合思想提升推理能力，课中辅助教师分层教学，课后通过针对性练习帮助学生查漏补缺。

第4讲 二次函数定义及y＝ax² 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册（精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数的概念，能准确判断一个函数是否为二次函数，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 · 掌握 二次函数 （）的图象（抛物线）的画法，理解其开口方向、对称轴、顶点坐标等基本性质。 · 熟练运用 的增减性和最值，能利用图象分析函数值随自变量变化的规律。 · 体会 数形结合、分类讨论的思想，能借助图象解决与二次函数相关的简单综合问题。 ✨ 核心思想：从“形”的角度认识二次函数，掌握   的图象与性质。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 二次函数的定义 一般形式： 形如 （、、 为常数，且 ）的函数叫作二次函数；二次函数自变量 的取值范围是一切实数。 · 要点①： 自变量 的最高次数为 2，且二次项系数 。 · 要点②： 函数解析式必须是整式，分母中含 或根号下含 均不是二次函数。 · 要点③： 当 或 时，仍为二次函数（如 、）。 系数识别： · 二次项系数：（ 的系数） · 一次项系数：（ 的系数） · 常数项： 【例】用长为 20 m 的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过 20 m），围成一个矩形花圃，如图所示。设 ( AB ) 的长为 ( x ) m，花圃的面积为 ( y ) m²，求 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式及自变量 ( x ) 的取值范围。 在矩形 ( ABCD ) 中，( AB = x )，则 ( BC = 20 - 2x )， 所以 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式是即 由边长的实际意义，知 解得；所以，自变量 ( x ) 的取值范围是 ( 0 < x < 10 )。 ☆ 2. 二次函数 y=ax² 的图象 （）的图象是一条 抛物线，具有以下特征： · 顶点： 原点 · 对称轴： 轴（即直线 ） · 开口方向： 由 决定 · → 开口 向上，抛物线有最低点（顶点） · → 开口 向下，抛物线有最高点（顶点） · 开口大小： 由 决定， 越大，开口越 小（越窄）； 越小，开口越 大（越宽）。 ※标准抛物线 和 的顶点均在原点，对称轴为 轴。 ☆ 3. 最简二次函数y=ax²的性质 系数 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线 ） 轴（直线 ） 顶点坐标 最值 最小值 （） 最大值 （） 增减性 时 随 增大而减小； 时 随 增大而增大 时 随 增大而增大； 时 随 增大而减小 图象特征 最低点为原点 最高点为原点 ☆ 4. 知识总结表 核心概念 要点 注意事项 二次函数定义 ， 整式，最高次为2 系数识别 （二次项），（一次项），（常数项） 注意系数为0的情况 图象形状 抛物线，顶点在原点，对称轴为 轴 开口由 决定 开口方向 向上， 向下 — 开口大小 越大，开口越小 比较 即可 增减性 在对称轴两侧相反 结合图象理解 最值 有最小值0； 有最大值0 在 时取得 核心考点·题型方法精讲 【考点1】二次函数的定义与系数识别（第1-8题） ※方法总结 · 判断依据： 函数解析式必须为整式，且自变量 的最高次数为2，同时二次项系数 。 · 常见陷阱： 分母含 （如 ）、根号下含 （如 ）都不是二次函数。 · 系数确定： 将函数化为一般式 后，对应找出 、、。 · 隐含条件： 若解析式含参数，需满足 且次数为2。 1．（2025秋•龙凤区期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2 C．y＝3（x﹣1）2 D．y＝（x+2）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、当a≠0时，y＝ax2+bx+c是二次函数，故A不符合题意； B、y＝x2，不是二次函数，故B不符合题意； C、y＝3（x﹣1）2，是二次函数，故C符合题意； D、y＝（x+2）2﹣x2＝4x+4，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟知形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键． 2．（2025秋•官渡区校级期中）若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣x+1是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣3 或 3 【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）可得|a|﹣1＝2且a+3≠0，然后进行计算即可得到答案． 【解答】解：∵y＝（a+3）x|a|﹣1﹣x+1是关于x的二次函数， ∴|a|﹣1＝2， 解得a＝±3， ∵a+3≠0， ∴a≠﹣3， ∴a＝3． 故选：C． 【点评】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 3．（2026春•海淀区校级期末）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 【分析】二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据定义列出关于a的方程与不等式，进而求解a的值． 【解答】解：由题意可得：|a|﹣2＝2，且a﹣4≠0． 由|a|﹣2＝2，得|a|＝4，解得a＝4或a＝﹣4． 又∵a﹣4≠0，即a≠4， ∴a＝﹣4． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的定义，正确进行计算是解题关键． 4．（2025秋•榆阳区期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为　﹣3或2　 ． 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（其中a、b、c都是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【解答】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得m＝﹣3或m＝2， 故答案为：﹣3或2． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（2025春•花溪区校级月考）当a＝　﹣1　 时，y＝（a﹣1）x﹣3是关于x的二次函数． 【分析】根据二次函数的定义，可得m2﹣2＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：a2+1＝2且a﹣1≠0， ∴a＝±1且m≠1， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 6．（2024秋•杜集区校级月考）已知函数是关于x的二次函数，求m的值． 【分析】根据二次函数的定义可得出一元二次方程和一元一次不等式，解之即可得到答案． 【解答】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 由①解得：m＝±2， 由②解得：m≠2， ∴m＝﹣2． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 7．已知圆柱的高为6，底面半径为r，底面周长为C，圆柱的体积为V． （1）分别写出C关于r，V关于r的函数表达式； （2）这两个函数中，哪个是二次函数？ 【分析】（1）利用圆的周长公式，圆柱体积公式列得表达式即可； （2）利用二次函数的定义判断即可． 【解答】解：（1）已知圆柱的高为6，底面半径为r，底面周长为C，圆柱的体积为V， 则C＝2πr（r＞0），V＝6πr2（r＞0）； （2）一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数， 那么V＝6πr2（r＞0）是二次函数． 【点评】本题考查二次函数的定义，理解题意并列得正确的表达式是解题的关键． 8．（2024秋•凉州区校级期中）已知是y关于x的二次函数，求m的值． 【分析】根据题意可得，m+3≠0，m2+2m﹣1＝2，因式分解求值即可． 【解答】解：由已知条件可得：m+3≠0，m2+2m﹣1＝2， 解得：m≠﹣3，m1＝﹣3，m2＝1， ∴m＝1． 【点评】本题主要考查二次函数的概念，因式分解求一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键． 【考点2】y=ax² 的图象（第9-17题） ※方法总结 · 画图步骤： 列表（取对称点）→ 描点 → 用光滑曲线连接。 · 开口大小比较： 比较 ， 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。 · 图象位置： 所有 的图象都经过原点，且关于 轴对称。 · 与一次函数图象的关系： 联立解析式可求交点，注意分类讨论 的正负。 9．（2024秋•杜集区校级月考）已知及y2＝x﹣3的图象如图所示． （1）当 x＜﹣1和x＞3　 时，y1＞0； （2）当 　﹣1＜x＜3　 时，y1＜0； （3）当 　0＜x＜3　 时，y2＞y1． 【分析】（1）（2）根据抛物线与x轴的交点的横坐标结合图象，利用数形结合即可求解； （3）根据抛物线与直线交点的横坐标结合图象，利用数形结合即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3， ∴当x＜﹣1和x＞3时，y1＞0； 故答案为：x＜﹣1和x＞3； （2）∵抛物线与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3， ∴当﹣1＜x＜3时，y1＜0； 故答案为：﹣1＜x＜3； （3）∵抛物线与直线y2＝x﹣3的交点的横坐标分别为0和3， ∴当0＜x＜3时，y2＞y1； 故答案为：0＜x＜3． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 10．（2025春•丰城市校级期中）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … … … （1）补充表格中的y值； （2）在坐标系中画出图象． 【分析】（1）分别将x的值代入函数解析式，求出对应的y的值即可； （2）利用描点，连线即可画出图象． 【解答】解：（1）当； 当； 当； 当； 当； （2）将（1）中的每对x，y的对应值在平面直角坐标系中描出，再连线即可得到函数图象，如图： 【点评】本题考查列表法画二次函数图象，求函数值，正确掌握画函数图象的步骤：列表，描点，连线是解题的关键． 11．（2026春•同步）画出函数的图象． 【分析】列表、描点，连线画出函数图象即可． 【解答】解：列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 2 0 2 … 描点、连线，画出函数图象： ． 【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象． 12．（2023秋•大观区校级月考）如图，①y＝ax2，②y＝bx2，③y＝cx2，④y＝dx2，比较a，b，c，d的大小，a＞b＞d＞c 用“＞”连接． 【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c）， 所以，a＞b＞d＞c． 故答案为：a＞b＞d＞c． 【点评】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 13．（2024秋•浦东新区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么b　＜　 0，c　＜　 0（填“＞”，“＝”，或“＜”）． 【分析】抛物线开口方向，对称轴，与y轴交点的位置确定a、b、c的符号，从而做出判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴左侧， ∴0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交在负半轴， ∴c＜0， 故答案为：＜，＜． 【点评】考查二次函数的图象和性质，通过抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点确定a、b、c的值，是二次函数性质的集中体现． 14．（2025秋•集美区校级月考）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，请写出一个符合条件的a的值　﹣3（答案不唯一）　 ． 【分析】根据二次函数的性质，得出函数解析式二次项系数小于0即可． 【解答】解：如图是抛物线y＝ax2+bx+c的示意图， 根据图象可得图象开口向下，故二次项系数小于0，即a＜0， 所以a的值可以是﹣3． 故答案为：﹣3（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象性质，二次项系数的正负决定了开口方向是解题关键． 15．（2025•江安县模拟）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行判断． 【解答】解：∵函数y＝mx2+nx与x轴的交点坐标为（0，0）和（，0），函数y＝mx+n与x轴的交点坐标为（，0）， ∴抛物线和直线的有一个交点在x轴上，故选项A、C、D不合题意； 若函数y＝mx+n经过一三四象限，m＞0，n＜0， ∴二次函数y＝mx2+nx的图象开口向上， ∵对称轴为直线x0， ∴在y轴的右侧，故选项B符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．（2024秋•河北区期末）如图，函数y＝ax2+3x+2和y＝﹣ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，分类讨论，当a＞0时；当a＜0时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【解答】解：当a＞0时，则﹣a＜0， ∴一次函数y＝﹣ax+a的图象经过第一、二、四象限； 二次函数y＝ax2+3x+2的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在y轴的左边，当x＝0时，y＝2，即与y轴交于点（0，2）； A、B、C、D选项均不符合该种情况； 当a＜0时，﹣a＞0， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限； 二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在y轴右边，与y轴交于点（0，2）； 如图所示， ∴D选项的图符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，关键是进行分类讨论． 17．（2025秋•正定县期末）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0 【分析】根据二次函数的图象确定系数的符号即可． 【解答】解：由图象开口向下，可得a＜0， ∵对称轴为直线x， ∴b＜0， ∵图象与y轴相交于正半轴， ∴c＞0， 综上，a＜0，b＜0，c＞0． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，能根据图象确定系数正负是解此题的关键． 【考点3】y=ax² 的性质（第18-28题） ※方法总结 · 顶点与对称轴： 顶点恒为 ，对称轴为 轴。 · 最值： 时最小值为0； 时最大值为0。 · 增减性： 结合图象记忆“左降右升”（）或“左升右降”（）。 · 参数 的作用： 决定开口方向、大小，以及函数的最值和增减性。 18．（2024秋•金湾区期中）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3． （1）用公式法求该二次函数的顶点坐标； （2）当x　＜1　 时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝2x2﹣4x+3，可得a＝2，b＝﹣4，c＝3，故1，1，进而可以得解； （2）依据题意，由抛物线为y＝2x2﹣4x+3，从而抛物线开口向上，对称轴是直线x1，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝2x2﹣4x+3， ∴a＝2，b＝﹣4，c＝3． ∴1，1． ∴顶点为（1，1）． （2）由题意，∵抛物线为y＝2x2﹣4x+3， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x1． ∴当x＜1时，y随x的增大而减小． 故答案为：＜1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 19．（2025秋•长兴县月考）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值． （2）写出顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）根据二次函数的定义可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求可得函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，， ∴m＝2； （2）由（1）得，y＝﹣3x2+6x＝﹣3（x﹣1）2+3， ∴顶点为（1，3），对称轴为直线x＝1． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 20．（2025秋•海淀区期中）已知抛物线y＝（x+1）2﹣4与x轴正半轴交于点A，顶点为B． （1）求直线AB的表达式； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线AB于点N，当MN的长为3时，直接写出t的值． 【分析】（1）根据二次函数的性质求出点A和点B，设直线AB为y＝kx+b，进行代入求解即可； （2）根据题意将点M和点N表达出来，再根据MN的长为3进行求解即可． 【解答】解：（1）由解析式可知抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴点B坐标为（﹣1，﹣4）， 当y＝0时，（x+1）2﹣4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3， ∵抛物线与x轴正半轴交于点A， ∴点A为（1，0）， 设直线AB为y＝kx+b， 将点A和点B代入得，， 解得， ∴直线AB的表达式为y＝2x﹣2； （2）由条件可知点M为（t，（t+1）2﹣4）， ∵过点P（t，0）作x轴的垂线，交直线AB于点N， ∴点N为（t，2t﹣2）， ∴MN为|（t+1）2﹣4﹣（2t﹣2）| ＝|t2+2t+1﹣4﹣2t+2| ＝|t2﹣1|， ∵MN的长为3， ∴|t2﹣1|＝3， ∴t2﹣1＝±3， ∴当t2﹣1＝3时，t2＝4， 解得t＝2或t＝﹣2， 当t2﹣1＝﹣3时，t2＝﹣2（无实数解）． ∴t的值为2或﹣2． 【点评】本题考查了一次函数的性质和二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 21．（2025秋•庄浪县期中）已知是二次函数，且开口向上，求m的值． 【分析】根据二次函数的最高指数是2，图象开口向上，二次项系数大于0，列出式子求解即可． 【解答】解：因为是二次函数，所以m2﹣3m﹣2＝2， 解得m＝﹣1或m＝4， ∵抛物线开口向上， ∴m﹣1＞0， 解得：m＞1， ∴m＝4． 故答案为：m＝4． 【点评】本题考查二次函数的定义、二次函数图象开口和系数之间的关系以及一元二次方程的解法，根据相关定义求解即可． 22．（2026•湖州一模）定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b（a＜b）范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． （1）对于一次函数y＝2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值． （2）对于二次函数y＝x2﹣2x﹣3，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在0≤x≤3的范围内，M＝0，m＝﹣3．” 乙同学说：“在0≤x≤t的范围内，若M﹣m＝4，则M＝0，m＝﹣4．” 甲、乙两位同学的说法正确吗？请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由． 【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可； （2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可． 【解答】解：（1）由条件可知：当x＝3时，M＝2×3+1＝7；当x＝0时，m＝2×0+1＝1． （2）甲同学说法错误；乙同学说法正确． 对“甲同学说法”的判断理由如下： y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 由条件可知当x＝1时，函数最小值为m＝﹣4， 当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， 当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0， ∴在0≤x≤3的范围内函数最大值M＝0； 对“乙同学说法”的判断理由如下： 如图：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），即m＝﹣4， 当x＝0时，y＝﹣3， ∵M﹣m＝4， ∴M＝0， 故乙说法正确， 即甲同学说法错误，乙同学说法正确． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 23．（2025秋•广信区期末）抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为　（4，﹣3）　 ． 【分析】根据二次函数的顶点式，即可解答． 【解答】解：抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为（4，﹣3）， 故答案为：（4，﹣3）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 24．（2025秋•江门期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 　　 ． 【分析】根据顶点为（﹣3，2），可设该抛物线的顶点式，即y＝a（x+3）2+2，再根据二次项系数的符号决定开口方向，二次系数的绝对值决定形状可得，从而可以得到该抛物线的解析式． 【解答】解：∵该抛物线的顶点为（﹣3，2）， ∴设此抛物线解析式为y＝a（x+3）2+2， ∵抛物线y＝a（x+3）2+2的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∴此抛物线解析式为， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 25．（2025秋•拱墅区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0），当x＞m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≥1　 ． 【分析】根据题意，得出抛物线的对称轴为直线x＝1，再结合当x＞m时，y随x的增大而增大，得出m的取值范围即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0）， 所以抛物线的对称轴为直线x． 又因为当x＞m时，y随x的增大而增大， 所以抛物线的开口一定向上，即a＞0， 所以m≥1． 故答案为：m≥1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 26．（2025秋•莱州市期中）已知关于x的二次函数y＝（a﹣1）2x﹣1的图象开口向下，则a＝　﹣2　 ． 【分析】根据二次函数y＝（a﹣1）2x﹣1的图象开口向下，可知，然后求解即可． 【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）2x﹣1的图象开口向下， ∴， 解得a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象、二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的定义解答． 27．（2026•番禺区二模）抛物线y＝ax2﹣2a（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＞0，则直线y＝ax+k一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣2a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴kx＝ax2﹣2a， ∴ax2﹣kx﹣2a＝0， ∴x1+x2， ∴0， 当a＞0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、三象限， 当a＜0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第二、三、四象限， 综上，直线y＝ax+k一定经过二、三象限． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正比例函数和二次函数图象上点的坐标特征以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 28．（2026•道里区校级模拟）抛物线y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，1） 【分析】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的顶点坐标． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x+1）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据顶点式，可以写出顶点坐标． 【考点4】创新及压轴题（第29-31题） ※方法总结 · 新定义问题： 如“保值区间”，需结合定义建立方程或不等式，利用单调性求解。 · 几何与函数结合： 如动点问题，利用勾股定理或面积公式建立二次函数模型，求最值。 · 实际应用（利润问题）： 根据题意列出二次函数关系式，利用配方法求最值，注意自变量的取值范围。 29．（2026•通州区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上有两点（x1，y1），（x2，y2），它的对称轴为直线x＝t． （1）若该抛物线经过点（4，0），求t的值； （2）当0＜x1＜1时， ①若t＞1，则y1　＜　 0；（填“＞”“＝”或“＜”） ②若对于x1+x2＝2，都有y1y2＞0，求t的取值范围． 【分析】（1）把点（4，0）代入解析式求得b＝﹣4a，然后利用对称轴公式即可求得t的值； （2）①根据图象上点的坐标特征即可得到y1＜0； ②由题意可知点（x1，y1），（x2，y2）在x轴的同一侧，根据0＜x1＜1，1＜x2＜2，即可得到t的取值范围． 【解答】2解：（1）∵抛物线经过点（4，0）， ∴0＝16a+4b， ∴b＝﹣4a， ∴t2； （2）∵a＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）开口向上， ∵x＝0时，y＝0， ∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过原点， ①∵0＜x1＜1，t＞1， ∴y1＜0， 故答案为：＜； ②∵对称轴为直线x＝t， ∴t， ∴b＝﹣2at， ∴y＝ax2﹣2atx， ∵x1+x2＝2， ∴x2＝2﹣x1， ∵0＜x1＜1， ∴1＜2﹣x1＜2， ∴1＜x2＜2， ∴当t时，点（x1，y1）在x轴的下方，y1＜0， ∵y1y2＞0， ∴y2＜0， ∴2t≥2， ∴t≥1； 当t≤0时，则点（x1，y1），（x2，y2）都在x轴的上方，y1y2＞0， ∴t≤0或t≥1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 30．（2025秋•松原校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2． （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 【分析】（1）设经过t秒以后△PBQ面积为6，根据题意，得（7﹣t）•2t＝6，求出t即可； （2）由题意得S△PBQ（7﹣t）•2t＝﹣t2+7t＝﹣（t）2，再求最大值即可． 【解答】解：（1）设经过t秒以后△PBQ面积为6， ∵∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， ∴PB＝7﹣t，BQ＝2t， ∴S△PBQ（7﹣t）•2t＝6． ∴t＝1或t＝6； ∵当一个点到达终点时另一点也随之停止运动， ∴0≤t≤5． ∴t＝1． 答：1秒后△PBQ的面积等于6cm2； （2）存在时间t，使得△PBQ的面积最大，理由如下： 由题意得：S△PBQ（7﹣t）•2t＝﹣t2+7t＝﹣（t）2． ∵0≤t≤5， ∴当t时，△PBQ面积最大为． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质，会求二次函数的最值是解题的关键． 31．（2026•上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）． （1）求a与b的关系式． （2）若a＜0，当﹣1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． （3）在（2）的条件下，若点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，且﹣9＜n≤m，求t的取值范围． 【分析】（1）利用抛物线的对称性求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求解即可． 【解答】≤解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）， ∴1， ∴b＝﹣2a； （2）由（1）可知y＝ax2﹣2ax﹣1， ∵a＜0，对称轴为直线x＝1， ∴当﹣1≤x≤4时，x＝1时，函数y有最大值为a﹣2a﹣1＝﹣a﹣1，x＝4时，y有最小值为16a﹣8a﹣1＝8a﹣1， ∵最大值与最小值之差为9， ∴﹣a﹣1﹣（8a﹣1）＝9， ∴a＝﹣1； （3）由（2）知y＝﹣x2+2x﹣1，对称轴x＝1 x＜1，n＞m，x≥1，n≤m，x＝1，y＝0 ∵点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上， ∴m＝﹣t2+2t﹣1，n＝﹣（t+1）2+2（t+1）﹣1＝﹣t2， ∵﹣9＜n≤m， ∴﹣9＜n≤m≤0 ∴﹣9＜﹣t2≤﹣t2+2t﹣1≤0， ， 解得t＜3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026•七星关区校级模拟）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】联立函数得，解得x＝0或x＝1，得到二次函数与一次函数相交于点（1，0）和（0，﹣a），即可得出答案． 【解答】解：联立得：， ∴ax2﹣a＝ax﹣a， ∴x2﹣x＝0， 解得：x＝0或x＝1， 当x＝0时，y＝﹣a，当x＝1时，y＝0， ∴二次函数与一次函数相交于点（1，0）和（0，﹣a）， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象与交点问题，掌握相关知识是解题的关键． 【练习2】（2025秋•巴音郭楞州期末）已知y＝（m+2）x|m|是关于x的二次函数，那么m＝　2　 ． 【分析】利用二次函数定义可得：|m|＝2，且m+2≠0，再解出m的值即可． 【解答】解：根据二次函数定义可得： |m|＝2，且m+2≠0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义． 【练习3】顶点坐标为（﹣3，0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是 y（x+3）2 ． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论． 【解答】解：∵顶点为（﹣3，0），且开口方向、形状与函数yx2的图象相同的抛物线， ∴h＝﹣3，a，k＝0， ∴设抛物线的解析式为y（x+3）2． 故答案为：y（x+3）2． 【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键． 【练习4】（2026•玄武区一模）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2.当m＜0时，试比较x1，x2，2，3的大小，并用“＜”连接：　2＜x1＜x2＜3　 ． 【分析】设y＝（x﹣2）（x﹣3），根据二次函数图象和直线y＝m的交点横坐标为x1，x2，由图象即可得到答案． 【解答】解：设y＝（x﹣2）（x﹣3）， 当（x﹣2）（x﹣3）＝0时，x＝2或x＝3， 即抛物线y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴交于点（2，0），（3，0）， 如图所示，抛物线y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝m交点的横坐标为x1，x2， 由图象可知，2＜x1＜x2＜3． 故答案为：2＜x1＜x2＜3． 【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和一元二次方程的关系是解题的关键． 【练习5】（2025秋•东川区期末）抛物线y＝﹣2（x+1）2+8的顶点坐标是　（﹣1，8）　 ． 【分析】根据顶点式的顶点坐标公式，进行作答即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+1）2+8的顶点坐标是（﹣1，8）． 故答案为：（﹣1，8）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力． 【练习6】（2026•武汉模拟）写一个图象经过第一、二、四象限的二次函数表达式y＝x2﹣2x（答案不唯一）　 ． 【分析】根据二次函数的性质写出符合要求的二次函数解析式即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数的图象经过第一、二、四象限， 所以二次函数的表达式可以是y＝x2﹣2x． 故答案为：y＝x2﹣2x（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 【作业1】（2024秋•明水县校级期中）如图，在同一坐标系中，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交x轴于同一点，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，解答本题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的图象的性质． 【作业2】（2025秋•南宁月考）二次函数y＝3x2﹣6x+2，该函数图象的开口方向是 　向上　 （填“向上”或“向下”）． 【分析】由二次项系数的大小可确定开口方向． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝3x2﹣6x+2，其中a＝3＞0， ∴二次函数的图象开口向上． 故答案为：向上． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，能熟练掌握二次函数与系数的关系是解决本题的关键． 【作业3】（2025秋•延平区校级月考）若关于x的函数y＝（m﹣1）x2﹣x﹣2是二次函数，则m的取值范围为m≠1　 ． 【分析】根据二次函数的定义，二次项系数必须不为零． 【解答】解：由题意可得： 需满足二次项系数m﹣1≠0，解得 m≠1， 故答案为：m≠1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是应用知识点解决问题． 【作业4】（2025秋•静安区校级月考）如果函数是二次函数，那么m的值为　2　 ． 【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值． 【解答】解：由题意可得： m2﹣m＝2，（m﹣2）（m+1）＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣1， ∵m+1≠0， ∴m≠﹣1， 故m＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键． 【作业5】（2025秋•杭州校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点坐标是（1，t）现有下列结论： ①b+2a＝0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t+1＝0有两个不相等的实数根；③若且x1≠x2，则x1+x2＝2 ④2b2﹣4a2＞4ac．其中正确的结论有　①②③④　 ． 【分析】根据顶点坐标可得对称轴，根据对称轴计算公式可得b＝﹣2a，据此可判断①；根据顶点坐标可得抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝t﹣1有两个不相同的交点，据此可判断②；根据可得a（x2+x1﹣2）（x2﹣x1）＝0，根据a≠0，x2≠x1，得到x2+x1﹣2＝0，据此可判断③；可证明2b2﹣4a2﹣4ac＝4a（a﹣c）＞0，据此可判断④． 【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a，即b+2a＝0，故①正确，符合题意； ∵函数图象开口向下，顶点坐标为（1，t）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝t﹣1有两个不相同的交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝t﹣1有两个不相等的实数根， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t+1＝0有两个不相等的实数根，故②正确，符合题意； ∵， ∴﹣a（x2+x1）（x2﹣x1）﹣b（x2﹣x1）＝0， ∴[a（x2+x1）+b]（x2﹣x1）＝0， ∴[a（x2+x1）﹣2a]（x2﹣x1）＝0， ∴a（x2+x1﹣2）（x2﹣x1）＝0， 又∵a≠0，x2≠x1， ∴x2+x1﹣2＝0， ∴x2+x1＝2，故③正确，符合题意； ∵2b2﹣4a2＝2（﹣2a）2﹣4a2＝4a2， ∴2b2﹣4a2﹣4ac＝4a2﹣4ac＝4a（a﹣c）； 由条件可知a＜0，c＞0， ∴a﹣c＜0， ∴2b2﹣4a2﹣4ac＝4a（a﹣c）＞0， ∴2b2﹣4a2＞4ac，故④正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业6】（2025秋•船营区校级期末）二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则△ABO的面积为　1　 ． 【分析】分别令y＝0，x＝0，求出点A，B的坐标，从而得到AO，BO的长，根据三角形的面积即可求解． 【解答】解：令y＝0，则2（x+1）2＝0， 解得x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∴AO＝1． 令x＝0，则y＝2， ∴B（0，2）， ∴BO＝2， ∴二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则． 故答案为：1． 【点评】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业7】用描点法（列表、描点、连线）画出函数y＝x2+1的图象． 【分析】列表，描点连线画出函数图象即可． 【解答】解：列表得： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 5 2 1 2 5 如图即为该函数的图象： ． 【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，关键是描点、连线． 【作业8】在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x和y2＝x2的图象． 【分析】利用列表、描点、连线画出函数图象即可． 【解答】解：列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … 描点、连线画出函数图象如图， ． 【点评】本题考查了二次函数的图象和正比例函数的图象，掌握作函数图象的方法是解题的关键． 【作业9】已知y＝（k+2）是二次函数，且该二次函数的图象的顶点是最低点． （1）求k的值． （2）求顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）依据题意，由 是二次函数，且该二次函数的图象的顶点是最低点，可得k2+k﹣4＝2，且k+2＞0，计算即可得解； （2）依据题意，由（1）得，y＝4x2，从而可得二次函数的顶点为（0，0），对称轴是y轴，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，∵ 是二次函数，且该二次函数的图象的顶点是最低点， ∴k2+k﹣4＝2，且k+2＞0． ∴k＝2． （2）由（1）得，y＝4x2， ∴二次函数的顶点为（0，0），对称轴是y轴． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【作业10】（2026•蕲春县校级模拟）“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元/间（x为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去 　38　 个房间．此时，利润为 　10640　 元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当x为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价x的范围． 【分析】（1）依据题意，由民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，进而可以租出去38个房间，进而利润； （2）依据题意，设利润为w元，则（x﹣355）2+10562.5，结合x为10的整数倍及二次函数的性质可以判断得解； （3）依据题意，令w（x﹣355）2+10562.5＝10360，则x＝310或x＝400，又所获利润不低于10360元，则310≤x≤400，又该民宿空闲房间数不能超过20间，故20，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴（300﹣180）÷10＝12． ∴50﹣12＝38． ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间． ∴此时利润＝300×38﹣20×38＝10640（元）． 故答案为：38，10640． （2）由题意，设利润为w元， ∴ （x﹣355）2+10562.5 ∵， ∴开口向下，对称轴为直线x＝355． 又∵x为10的整数倍， ∴当x＝350或360时，W有最大值＝10560元． （3）由题意，令w（x﹣355）2+10562.5＝10360， ∴x＝310或x＝400． 又∵所获利润不低于10360元， ∴310≤x≤400． ∵该民宿空闲房间数不能超过20间， ∴20． ∴x≤380． ∴310≤x≤380，且x为10的整数倍． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 二次函数定义及y＝ax² 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册（精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数的概念，能准确判断一个函数是否为二次函数，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 · 掌握 二次函数 （）的图象（抛物线）的画法，理解其开口方向、对称轴、顶点坐标等基本性质。 · 熟练运用 的增减性和最值，能利用图象分析函数值随自变量变化的规律。 · 体会 数形结合、分类讨论的思想，能借助图象解决与二次函数相关的简单综合问题。 ✨ 核心思想：从“形”的角度认识二次函数，掌握   的图象与性质。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 二次函数的定义 一般形式： 形如 （、、 为常数，且 ）的函数叫作二次函数；二次函数自变量 的取值范围是一切实数。 · 要点①： 自变量 的最高次数为 2，且二次项系数 。 · 要点②： 函数解析式必须是整式，分母中含 或根号下含 均不是二次函数。 · 要点③： 当 或 时，仍为二次函数（如 、）。 系数识别： · 二次项系数：（ 的系数） · 一次项系数：（ 的系数） · 常数项： 【例】用长为 20 m 的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过 20 m），围成一个矩形花圃，如图所示。设 ( AB ) 的长为 ( x ) m，花圃的面积为 ( y ) m²，求 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式及自变量 ( x ) 的取值范围。 在矩形 ( ABCD ) 中，( AB = x )，则 ( BC = 20 - 2x )， 所以 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式是即 由边长的实际意义，知 解得；所以，自变量 ( x ) 的取值范围是 ( 0 < x < 10 )。 ☆ 2. 二次函数 y=ax² 的图象 （）的图象是一条 抛物线，具有以下特征： · 顶点： 原点 · 对称轴： 轴（即直线 ） · 开口方向： 由 决定 · → 开口 向上，抛物线有最低点（顶点） · → 开口 向下，抛物线有最高点（顶点） · 开口大小： 由 决定， 越大，开口越 小（越窄）； 越小，开口越 大（越宽）。 ※标准抛物线 和 的顶点均在原点，对称轴为 轴。 ☆ 3. 最简二次函数y=ax²的性质 系数 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线 ） 轴（直线 ） 顶点坐标 最值 最小值 （） 最大值 （） 增减性 时 随 增大而减小； 时 随 增大而增大 时 随 增大而增大； 时 随 增大而减小 图象特征 最低点为原点 最高点为原点 ☆ 4. 知识总结表 核心概念 要点 注意事项 二次函数定义 ， 整式，最高次为2 系数识别 （二次项），（一次项），（常数项） 注意系数为0的情况 图象形状 抛物线，顶点在原点，对称轴为 轴 开口由 决定 开口方向 向上， 向下 — 开口大小 越大，开口越小 比较 即可 增减性 在对称轴两侧相反 结合图象理解 最值 有最小值0； 有最大值0 在 时取得 核心考点·题型方法精讲 【考点1】二次函数的定义与系数识别（第1-8题） ※方法总结 · 判断依据： 函数解析式必须为整式，且自变量 的最高次数为2，同时二次项系数 。 · 常见陷阱： 分母含 （如 ）、根号下含 （如 ）都不是二次函数。 · 系数确定： 将函数化为一般式 后，对应找出 、、。 · 隐含条件： 若解析式含参数，需满足 且次数为2。 1．（2025秋•龙凤区期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2 C．y＝3（x﹣1）2 D．y＝（x+2）2﹣x2 2．（2025秋•官渡区校级期中）若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣x+1是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣3 或 3 3．（2026春•海淀区校级期末）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 4．（2025秋•榆阳区期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ． 5．（2025春•花溪区校级月考）当a＝　 　 时，y＝（a﹣1）x﹣3是关于x的二次函数． 6．（2024秋•杜集区校级月考）已知函数是关于x的二次函数，求m的值． 7．已知圆柱的高为6，底面半径为r，底面周长为C，圆柱的体积为V． （1）分别写出C关于r，V关于r的函数表达式； （2）这两个函数中，哪个是二次函数？ 8．（2024秋•凉州区校级期中）已知是y关于x的二次函数，求m的值． 【考点2】y=ax² 的图象（第9-17题） ※方法总结 · 画图步骤： 列表（取对称点）→ 描点 → 用光滑曲线连接。 · 开口大小比较： 比较 ， 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。 · 图象位置： 所有 的图象都经过原点，且关于 轴对称。 · 与一次函数图象的关系： 联立解析式可求交点，注意分类讨论 的正负。 9．（2024秋•杜集区校级月考）已知及y2＝x﹣3的图象如图所示． （1）当 　 　 时，y1＞0； （2）当 　 　 时，y1＜0； （3）当 　 　 时，y2＞y1． 10．（2025春•丰城市校级期中）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … … … （1）补充表格中的y值； （2）在坐标系中画出图象． 11．（2026春•同步）画出函数的图象． 12．（2023秋•大观区校级月考）如图，①y＝ax2，②y＝bx2，③y＝cx2，④y＝dx2，比较a，b，c，d的大小，　 　 用“＞”连接． 13．（2024秋•浦东新区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么b　 　 0，c　 　 0（填“＞”，“＝”，或“＜”）． 14．（2025秋•集美区校级月考）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，请写出一个符合条件的a的值　 　 ． 15．（2025•江安县模拟）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 16．（2024秋•河北区期末）如图，函数y＝ax2+3x+2和y＝﹣ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 17．（2025秋•正定县期末）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0 【考点3】y=ax² 的性质（第18-28题） ※方法总结 · 顶点与对称轴： 顶点恒为 ，对称轴为 轴。 · 最值： 时最小值为0； 时最大值为0。 · 增减性： 结合图象记忆“左降右升”（）或“左升右降”（）。 · 参数 的作用： 决定开口方向、大小，以及函数的最值和增减性。 18．（2024秋•金湾区期中）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3． （1）用公式法求该二次函数的顶点坐标； （2）当x　 　 时，y随x的增大而减小． 19．（2025秋•长兴县月考）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值． （2）写出顶点坐标和对称轴． 20．（2025秋•海淀区期中）已知抛物线y＝（x+1）2﹣4与x轴正半轴交于点A，顶点为B． （1）求直线AB的表达式； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线AB于点N，当MN的长为3时，直接写出t的值． 21．（2025秋•庄浪县期中）已知是二次函数，且开口向上，求m的值． 22．（2026•湖州一模）定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b（a＜b）范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． （1）对于一次函数y＝2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值． （2）对于二次函数y＝x2﹣2x﹣3，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在0≤x≤3的范围内，M＝0，m＝﹣3．” 乙同学说：“在0≤x≤t的范围内，若M﹣m＝4，则M＝0，m＝﹣4．” 甲、乙两位同学的说法正确吗？请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由． 23．（2025秋•广信区期末）抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为　 　 ． 24．（2025秋•江门期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 　 　 ． 25．（2025秋•拱墅区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0），当x＞m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　 ． 26．（2025秋•莱州市期中）已知关于x的二次函数y＝（a﹣1）2x﹣1的图象开口向下，则a＝　 　 ． 27．（2026•番禺区二模）抛物线y＝ax2﹣2a（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＞0，则直线y＝ax+k一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 28．（2026•道里区校级模拟）抛物线y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，1） 【考点4】创新及压轴题（第29-31题） ※方法总结 · 新定义问题： 如“保值区间”，需结合定义建立方程或不等式，利用单调性求解。 · 几何与函数结合： 如动点问题，利用勾股定理或面积公式建立二次函数模型，求最值。 · 实际应用（利润问题）： 根据题意列出二次函数关系式，利用配方法求最值，注意自变量的取值范围。 29．（2026•通州区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上有两点（x1，y1），（x2，y2），它的对称轴为直线x＝t． （1）若该抛物线经过点（4，0），求t的值； （2）当0＜x1＜1时， ①若t＞1，则y1　 　 0；（填“＞”“＝”或“＜”） ②若对于x1+x2＝2，都有y1y2＞0，求t的取值范围． 30．（2025秋•松原校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2． （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 31．（2026•上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）． （1）求a与b的关系式． （2）若a＜0，当﹣1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． （3）在（2）的条件下，若点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，且﹣9＜n≤m，求t的取值范围． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026•七星关区校级模拟）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【练习2】（2025秋•巴音郭楞州期末）已知y＝（m+2）x|m|是关于x的二次函数，那么m＝　 　 ． 【练习3】顶点坐标为（﹣3，0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是 　 　 ． 【练习4】（2026•玄武区一模）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2.当m＜0时，试比较x1，x2，2，3的大小，并用“＜”连接：　 　 ． 【练习5】（2025秋•东川区期末）抛物线y＝﹣2（x+1）2+8的顶点坐标是　 　 ． 【练习6】（2026•武汉模拟）写一个图象经过第一、二、四象限的二次函数表达式　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 【作业1】（2024秋•明水县校级期中）如图，在同一坐标系中，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2025秋•南宁月考）二次函数y＝3x2﹣6x+2，该函数图象的开口方向是 　 　 （填“向上”或“向下”）． 【作业3】（2025秋•延平区校级月考）若关于x的函数y＝（m﹣1）x2﹣x﹣2是二次函数，则m的取值范围为　 　 ． 【作业4】（2025秋•静安区校级月考）如果函数是二次函数，那么m的值为　 　 ． 【作业5】（2025秋•杭州校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点坐标是（1，t）现有下列结论： ①b+2a＝0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t+1＝0有两个不相等的实数根；③若且x1≠x2，则x1+x2＝2 ④2b2﹣4a2＞4ac．其中正确的结论有　 　 ． 【作业6】（2025秋•船营区校级期末）二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则△ABO的面积为　 　 ． 【作业7】用描点法（列表、描点、连线）画出函数y＝x2+1的图象． 【作业8】在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x和y2＝x2的图象． 【作业9】已知y＝（k+2）是二次函数，且该二次函数的图象的顶点是最低点． （1）求k的值． （2）求顶点坐标和对称轴． 【作业10】（2026•蕲春县校级模拟）“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元/间（x为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去 　 　 个房间．此时，利润为 　 　 元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当x为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价x的范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $