第3讲 二次函数的图象和性质 同步培优讲义 2026年秋季人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的图象和性质核心知识点，系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等概念，通过典型例题与变式练习构建从基础概念辨析到性质综合应用的学习支架，涵盖画图象、利用对称点求对称轴、比较函数值大小等题型。 资料特色在于结合表格对比与例题详解，培养学生抽象能力和几何直观，通过变式训练发展推理意识，画图象步骤强化模型意识。课中辅助教师清晰授课，课后练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第3讲 二次函数的图象和性质 典 型 例 题 题型 二次函数的图象和性质 1 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 1 例 关于函数，下列说法错误的是（   ） A．函数的最小值为0 B．图象与的交点为 C．图象是轴对称图形，对称轴为直线 D．图象与轴没有交点 【答案】D 【详解】解：， 函数的最小值为0，故A选项正确，不符合题意； 图象与的交点为，故B选项正确，不符合题意； 图象是轴对称图形，对称轴为直线，故C选项正确，不符合题意； 图象与轴交于，故D选项不正确，符合题意；故选：D． 1-1 变式变式 关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而增大 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴该二次函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； 最小值为，故选项C正确，符合题意； 当时，y随x增大而增大，故选项D错误，不符合题意，故选：C． 1-2 变式变式 已知二次函数，下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】二次函数， 该函数图象的开口向下，故正确；其图象的对称轴为直线，故正确； 其图象顶点坐标为，故错误；当时，y随x的增大而增大，故正确， 综上所述：共有3个正确，故选：B． 1-3 变式变式 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（   ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．当时， D．若，是图象上两点，则 【答案】D 【详解】解：设抛物线解析式为，把代入得，解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵，∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； ∵抛物线与轴的交点坐标为，且开口向上， ∴当时，，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点，∴当时，，当时，， ∴，所以选项D符合题意，故选：D． 题型 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 2 1. 列表取值：先确定二次函数y = ax2+bx + c（a≠0），选取关于对称轴x=-对称的自变量x的值，代入函数计算出对应的y值，形成坐标点列表。 2. 描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从小到大顺序依次连接各点，得到二次函数图象。图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下 。 2 例 已知：二次函数中的x和y满足表： x … 0 1 2 3 … … 3 0 0 m … (1)m的值为______； (2)直接写出这个二次函数的顶点式，并画出它的图象； (3)当时，结合图象直接写出y的取值范围； (4)对于正比例函数，当时，总有，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)3 (2)，画出图象见解析 (3) (4) 【详解】（1）∵该二次函数当时，；当时，，∴该二次函数的对称轴为． ∵当时，，∴当时，，即； （2）解：∵该二次函数的对称轴为，∴该二次函数的顶点坐标为， ∴可设该二次函数的顶点式为．∵当时，，∴， 解得：，∴该二次函数的顶点式为． 结合表格画出大致图象如左图； （3）解：将代入，得：，∴当时，； （4）解：当时，，代入，即，解得：． 画出大致图象如右图， ∵当时，总有，即当时，的图象在的上方即可， ∴即可． 2-1 变式变式 已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； x … 0 1 2 3 … y … 0 3 … (2)根据图象回答：时，x的取值范围是_____________； (3)根据图象回答：当时，y的取值范围是_____________． 【答案】(1)填表见解析，图见解析 (2) (3) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，是解题的关键： （1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可； （2）图象法进行求解即可； （3）图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴时，，时，，时， 填表如下：画出函数图象如图： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （2）解：由图象可知：时，；故答案为：； （3）解：由图象可知，当时，y的取值范围是；故答案为：． 2-2 变式变式 我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 【答案】(1)，作图见解析；(2)①②． 【详解】（1）解：当时，，∴， 画出函数的图象如图： 故答案为：； （2）解：观察图象， ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴．正确； ②该函数有最小值，没有最大值．正确； ③当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．原说法错误； ④当时，的值为或．错误； 故答案为：①②． 2-3 变式变式 已知二次函数（，为常数，），其图象与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为，且图象的对称轴为直线． (1)求二次函数解析式及顶点的坐标； (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数的图象； (3)连接，，根据图象直接回答问题： 面积为______； 关于的方程的解为______； 若该二次函数图象上有两点和，则______（从符号，，，，中选择一个填空）； 当时，则的取值范围是______． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点的坐标为； (2)画图见解析； (3)；，；；． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，图象的对称轴为直线， ∴，解得：，∴二次函数解析式为， 由，∴顶点的坐标为； （2）解：列表： ...      ... ... ... 描点，连线，如图， （3）解：如上右图， ∴面积为：，故答案为：； 根据图象可知，∴点关于得对称点为， ∴关于的方程的解为，； 由二次函数解析式为，，对称轴为直线， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，∴，故答案为：； 根据图象可知：当时，则的取值范围是，故答案为：． 题型 已知二次函数上对称的两点求对称轴 3 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 3 例 某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【详解】解：∵二次函数的图象过点利，∴二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为直线．故答案为：直线． 3-1 变式变式 若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【详解】解： 、两点为二次函数与轴的两交点坐标， 点A与点B是抛物线上的对称点，又、关于直线对称， 对称轴为直线，故答案为：直线． 3-2 变式变式 已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【详解】二次函数在时，函数值均为． 对称轴为直线：即：故答案为：． 3-2 变式变式 如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【答案】 【详解】解：在中，当时，，即， 点的坐标为，抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，则，解得：，点的横坐标是，故答案为：． 题型 利用二次函数的性质比较大小 4 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 4 例 若点为二次函数图象上的三点，则的大小关系为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线，离对称轴越远，函数值越小． ∵，，，∴．故答案为：． 4-1 变式变式 若点， ， 均在二次函数 的图象上，则，，的大小关系是 ． （用“<”连接） 【答案】 【详解】解：由题意得：二次函数 的对称轴为直线， ∵，∴抛物线的开口向下， ∵，，∴，故答案为： 4-2 变式变式 已知点和在二次函数图象上，则 ．（填或） 【答案】 【详解】解：，图象的开口向下，对称轴是直线， ∵，，又∵，，故答案为：． 4-3 变式变式 如图，已知抛物线经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵抛物线经过点和两点，，∴对称轴为， ∵开口向下，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∴当时，，故答案为：． 题型 根据二次函数的增减性求最值 5 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 5 例 已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：∵二次函数，∴该函数的对称轴是直线，开口向上 ∴当时，y随x的增大而减小∴当时， ∴当时，y取得最小值，此时．故答案为：3． 5-1 变式变式 已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【答案】5 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值，且， 则当时，，当时，， ∴在中，函数的最大值为，故答案为：． 5-2 变式变式 已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 【答案】或 【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，当时，y的最大值为4， ∵y的最大值为4，距离对称轴最远，∴，∴； 当时，在，当时，函数有最大值，∴，解得； 综上所述：k的值为或．故答案为：或． 5-3 变式变式 已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵，∴当时，y有最大值，最大值为．故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线．当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值，∴，解得：； 当时，抛物线开口向下，∴当时，y有最大值，最大值为，∴， 解得：．综上可知a的值为或．故答案为：1或． 课 后 练 习 1 练 已知抛物线，下列结论中错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y取最大值3 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【详解】解：A：抛物线中，系数，故开口向下，正确； B：顶点式为，对称轴为，此处，故对称轴为直线，正确； C：开口向下时，顶点处取得最大值，最大值为顶点纵坐标，当时，正确； D：开口向下时，对称轴右侧（），随增大而减小，而非增大，故错误． 故选：D． 2 练 关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向下 B．图象与y轴的交点为 C．当时，y随x的增大而增大 D．函数值有最小值 【答案】D 【详解】二次函数的二次项系数小于0，图象开口向下，故A选项不符合题意； 当时，，图象与y轴的交点为，故B选项不符合题意； 二次函数， 当时，y随x的增大而增大，有最大值，故C选项不符合题意，D选项符合题意．故选D． 3 练 若二次函数的图象经过点，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于二次函数，根据配方法， ∴该二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图数开口向上， 点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：，∵，∴对应的函数值．故选：A． 4 练 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【答案】D 【详解】解：把代入，得解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ，故A不符合题意．故选 D 5 练 已知抛物线，当时，的最大值与最小值之和为，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线，∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，当和时，， ∴当时，的最大值为，最小值为， ∵的最大值与最小值之和为，∴， 解得或，此种情况不合题意； 当时，的最大值为，最小值为，此时最大值与最小值的和为，不合题意； 当时，的最大值为，最小值为， ∵的最大值与最小值之和为，∴，解得（不合，舍去）或， ∴的值为，故选：． 6 练 将二次函数化为顶点式 ，其顶点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：，∴顶点坐标为，故答案为：①；② ． 7 练 已知二次函数、且有、则、按从大到小的顺序排列为 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数，∴抛物线开口向上，， ∴当时，值最小．当 时，； 当 时，，∴．故答案为：． 8 练 已知函数，若函数在上的最大值是，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：对称轴为直线， ①时，∵，∴函数在上，随的增大而减小， ∴当时，，解得：或（舍）； ②当时，则，此时当时，函数有最大值，则， 解得：；当时，即，∵，∴函数在上，随的增大而增大， ∴当时，，解得：（舍），综上：的值为或， 故答案为：或． 9 练 抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【详解】解：（1）当时，，若，则抛物线过点，， 该抛物线的对称轴是直线，故答案为：1； （2）抛物线经过点，，，， ，，，抛物线的对称轴为直线， ①当时，此时抛物线开口向上，当时，随着的增大而增大， 对于，，都有，，，不合题意，舍去； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，关于对称轴的对称点为， 对于，，都有，，解得， 综上，当时，都有．故答案为：． 10 练 已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：根据函数的图象可得： 抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点， ∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确； ∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误；∴， ∴，结论①正确；故答案为：①②④. 11 练 已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数的图象上 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． 解得，∴此二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个二次函数的图象上． 12 练 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把点，代入，得：， 解得：，则抛物线所对应的二次函数的解析式为． （2）解：令，即，整理得：，解得：，， ∵抛物线中，，∴抛物线开口向下，∴当时，． 13 练 如下图，已知抛物线． (1)在平面直角坐标系中画出该抛物线． (2)该抛物线开口向_________，对称轴是直线_________，顶点坐标是_________，有最_________值，最值为_________，当x_________时，函数y随x的增大而增大． (3)画出该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位后的图象，并写出平移后对应的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)下；； ；大；3； (3) 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：该抛物线开口向向下，对称轴是直线， 顶点坐标是，有最大值，最值为3，当x时， 函数y随x的增大而增大． （3） 解：如图：通过平移得到函数图象， （4） 则顶点坐标为，则． 14 练 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，求a的值； (2)已知点和是抛物线上的两个点，其中．若且时，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【详解】（1）解：当时，抛物线经过点， ∴，解得； （2）解：∵，∴，∴，∴，，， 设对称轴为直线，则，即， ∵点和是抛物线上的两个点， ∴ ∵，∴，即， ∵，，∴，，即， ∵，，∴，即． 15 练 已知某抛物线的解析式为，为实数． (1)若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，∴，解得， ∴抛物线解析式为，∴此抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，的最大值为4， ∴当时，，∴，整理得：， ∴或，故的值为或． 16 练 已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把，代入，得：，解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时，∵，对称轴为直线，∴当时，函数有最大值为， 解得：；当时，∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：，解得：；综上：或． 17 练 在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵对称轴为直线，，， ∴顶点坐标为； （2）解：，∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵点为函数图象上任意两点， 若对于，且，都有，又，即的中点在右侧， ∵离对称轴越近，函数值越小，即． （3）解：①当时，即时，如图， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ，（舍去）． ②如图，当且时，时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ，，（舍去）． ③如图，当且时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ，，（舍去）． ④如图，当时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：，， （舍去）．综上所述：或． 18 练 在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)当抛物线经过点A，时，求点的坐标； (2)若，抛物线上的点的横坐标为，且． （i）求的长； （ii）当时，平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）解：将点，点代入抛物线（，为常数，）， ，解得，抛物线的解析式为， ，顶点的坐标为； （2）解：（i），抛物线，， ，设直线的解析式为，，解得， 直线的解析式为，联立，则 解得，，，点的横坐标为，纵坐标为， ，； （ii）由（i）知，点，的坐标分别为，， 当时，点，的坐标分别为，，设直线的解析式为， 把，代入，得，解得：，∴直线的解析式为． 设平移后所得抛物线对应的表达式为，则其顶点坐标为， ∵顶点在直线上，， 抛物线与轴交点的纵坐标， ，有最大值，当时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为． 19 练 已知二次函数的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求的值． ②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值． (2)对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2) 【详解】（1）解：①在中，当时，，∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过点，∴抛物线对称轴为直线，∴； ②由①得，∵，∴直线解析式为；∵原抛物线对称轴为直线， ∴，∴， 在中，当时，，∴原抛物线顶点坐标为， ∴新抛物线的顶点坐标为，∵新抛物线的顶点到轴的距离为1，∴， 解得或； （2）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，∵，，∴，∴当时，一定有； 当时，一定有， 当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况， 当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况， 又∵对于抛物线上的任意两点，，对于，都有， ∴，综上所述，． 20 练 已知抛物线的对称轴为直线． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或② 【详解】（1）解：将点代入抛物线表达式得：，则 ∵对称轴∴ （2）①当时，， 则抛物线的表达式为：，顶点坐标为 ∵点，在抛物线上，当时，解得：； 当时， 即，解得：，故或； ②∵点，在抛物线上，， ∴，在对称轴的右边，且随的增大而增大，∴ 将点，代入抛物线表达式得： 得，， ，由，整理得， 则，∵， 则，∵，则， 则，则，综上 1 学科网（北京）股份有限公司 $