26.2.3二次函数 y = ax² + bx + c的图像和性质 讲义 2026-2027学年初中数学人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质，通过回顾已学的y=ax²等特殊形式及平移规律，以配方法为桥梁将一般式化为顶点式，构建从特殊到一般的知识支架，系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标及与坐标轴交点等核心内容。 该资料以“数学眼光”培养几何直观，通过图像示意图和表格对比a、b、c对抛物线的影响，以“数学思维”提升推理与运算能力，如配方法推导及例题精析中的矩形面积最大问题。课中助力教师系统授课，课后易错点提醒和例题解析帮助学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图像和性质 26.2.3二次函数 y = ax² + bx + c的图像和性质讲义 一、学习目标 🎯 理解二次函数 y = ax² + bx + c 的图像是抛物线，掌握通过配方法将其化为顶点式。 ✅ 掌握二次函数的图像特征和性质，能根据系数 a、b、c 判断抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 💡 能运用二次函数的图像和性质解决实际问题，提高数形结合的能力。 二、知识回顾 在学习本节内容之前，我们先回顾一下已学过的二次函数知识： 1. 已学过的二次函数形式 函数形式 图像特征 y = ax² 顶点在原点 (0, 0)，对称轴为 y 轴 y = ax² + k 顶点在 (0, k)，对称轴为 y 轴 y = a(x - h)² 顶点在 (h, 0)，对称轴为 x = h y = a(x - h)² + k 顶点在 (h, k)，对称轴为 x = h 2. 平移规律回顾 向上/下平移：y = ax² → y = ax² + k（上移k>0，下移k<0） 向左/右平移：y = ax² → y = a(x - h)²（右移h>0，左移h<0） 口诀：“左加右减（括号内），上加下减（括号外）”。 三、核心内容：将 y = ax² + bx + c 化为顶点式 1. 配方法推导过程 对于一般式 y = ax² + bx + c（a ≠ 0），我们通过配方法将其化为顶点式： y = ax² + bx + c = a(x² + ()x) + c = a[x² + ()x + ()² - ()²] + c = a(x + )² - + c = a(x + )² + 关键结论： 顶点坐标：(- , ) 对称轴方程：x = - 2. 推导要点说明 1. 第一步：提取二次项系数 a，注意只提取 x² 和 x 的项。 1. 第二步：括号内加上并减去一次项系数一半的平方，即 ()²。 1. 第三步：将前三项写成完全平方形式 a(x + )²。 1. 第四步：合并常数项，通分得到 。 四、二次函数的图像特征与性质 1. 系数 a 决定开口方向 a > 0：抛物线开口向上，函数有最小值。 a < 0：抛物线开口向下，函数有最大值。 |a| 越大：开口越窄（抛物线越瘦高）。 |a| 越小：开口越宽（抛物线越矮胖）。 图1 系数 a 对抛物线开口方向和形状的影响 2. 对称轴与顶点 对称轴方程：x = - 顶点坐标：(- , ) 或写为 (- , ) 💡 记忆口诀：对称轴 x = -b/(2a)，顶点坐标代入求。极值就在顶点处，开口方向定最大最小。 3. 与坐标轴的交点 与 y 轴的交点：令 x = 0，得 y = c，即交点为 (0, c)。 与 x 轴的交点：令 y = 0，解方程 ax² + bx + c = 0。 交点个数由判别式 Δ = b² - 4ac 决定： Δ = b² - 4ac 交点个数 说明 Δ > 0 2 个交点 抛物线穿过 x 轴两侧 Δ = 0 1 个交点（相切） 顶点恰好落在 x 轴上 Δ < 0 无交点 抛物线与 x 轴不相交 图5 判别式 Δ 与 x 轴交点个数的关系 五、系数 a、b、c 的综合影响 在实际解题中，我们常常需要根据 a、b、c 的符号来判断抛物线的位置特征。下面通过示意图帮助理解： 图4 不同系数组合的二次函数图像对比 对称轴位置的判断： 对称轴 x = - 的位置由 a 和 b 的符号关系决定： ab > 0（a、b 同号）：对称轴在 y 轴左侧 ab < 0（a、b 异号）：对称轴在 y 轴右侧 b = 0：对称轴就是 y 轴 📝 速记口诀：左同右异（对称轴在y轴左侧→a、b同号；在右侧→a、b异号）。 c 的作用： c 决定了抛物线与 y 轴的交点位置： c > 0：与 y 轴交于正半轴 c < 0：与 y 轴交于负半轴 c = 0：图像过原点 图6 系数 a、b、c 对抛物线影响速查表 六、例题精析 例题 1（配方法化顶点式） 将二次函数 y = 2x² - 8x + 5 化为顶点式，并求出顶点坐标和对称轴。 解： y = 2x² - 8x + 5 = 2(x² - 4x) + 5 = 2(x² - 4x + 4 - 4) + 5 = 2[(x - 2)² - 4] + 5 = 2(x - 2)² - 8 + 5 = 2(x - 2)² - 3 → 顶点式：y = 2(x - 2)² - 3 → 顶点坐标：(2, -3) → 对称轴：x = 2 → 因为 a = 2 > 0，所以抛物线开口向上，函数有最小值 y = -3。 例题 2（判断开口方向与交点个数） 不画图像，判断二次函数 y = -x² + 4x - 3 的开口方向、对称轴、顶点坐标、与 x 轴的交点个数。 解： ① a = -1 < 0 → 抛物线开口向下 ② 对称轴：x = - = 2 ③ 顶点纵坐标：y = = 1 → 顶点坐标：(2, 1) ④ 判别式：Δ = b² - 4ac = 16 - 4×(-1)×(-3) = 16 - 12 = 4 > 0 → 与 x 轴有 2 个交点 ⑤ 令 y = 0：-x² + 4x - 3 = 0 → x² - 4x + 3 = 0 → (x-1)(x-3) = 0 → 交点为 (1, 0) 和 (3, 0) 图7 例题 2：y = -x² + 4x - 3 的完整图像分析 例题 3（应用题） 用一根长 20m 的篱笆围成一个矩形花园，什么情况下面积最大？最大面积是多少？ 解： 设矩形的一边长为 x m，则另一边长为 (10 - x) m。 面积 S = x(10 - x) = -x² + 10x = -(x² - 10x) = -(x² - 10x + 25 - 25) = -(x - 5)² + 25 因为 a = -1 < 0，所以 S 有最大值。 当 x = 5 时，S最大 = 25。 答：当围成一个边长为 5m 的正方形时，面积最大，最大面积为 25m²。 七、易错点提醒 ❌ 易错点 正确做法 1 忘记 a ≠ 0 的条件 二次函数必须满足 a ≠ 0 2 配方时只给括号内加了项 抽出 a 后，加减的项都要乘 a 3 对称轴公式符号错误 对称轴是 x = - ，注意负号 4 顶点纵坐标代入原式算 可代入 x = - 求 y，或用公式 5 把开口方向和最值类型搞反 a>0 开口向上有最小值；a<0 开口向下有最大值 - - 学科网（北京）股份有限公司 $