【章节复习1】一元二次方程 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学一元二次方程复习讲义通过思维导图总览知识体系，结合知识总结表梳理核心内容，从定义、四种解法到根的判别式、韦达定理及应用，形成逻辑递进的知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层考点设计，5大核心考点配套典型例题与习题，如配方法解方程、韦达定理求参数、利润问题建模，培养运算能力与模型意识。基础题巩固知识，综合题提升思维，助力教师实施精准教学，学生自主复习高效。

【章节复习1】一元二次方程 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一元二次方程的概念与一般形式 · 掌握四种解法（直接开平、配方、公式、因式分解） · 熟练运用根的判别式判断根的情况 · 掌握根与系数的关系（韦达定理） · 能建立方程模型解决实际问题 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.一元二次方程的定义与一般形式 定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 注意：二次项系数 a ≠ 0 是必要条件。 ☆ 2.一元二次方程的四种解法 · 直接开平方法：适合 (x + m)² = n（n ≥ 0） · 配方法：将方程化为 (x + m)² = n 的形式 · 公式法：x =，Δ = b² − 4ac · 因式分解法：分解为两个一次因式乘积 典型例题 1 用配方法解 x² − 2x − 2025 = 0，化为 (x + a)² = b，求 。 解析：配方得 (x − 1)² = 2026，a = −1，b = 2026， = 1。 ☆ 3.根的判别式（Δ = b² − 4ac） · Δ > 0 ⇔ 两个不等实根 · Δ = 0 ⇔ 两个相等实根 · Δ < 0 ⇔ 无实根 ☆ 4根与系数的关系（韦达定理） 若 x₁、x₂ 是方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根，则： x₁ + x₂ = - ，x₁·x₂ = 。 典型例题 2 方程 x² − 3x + k = 0 一根是另一根的2倍，求 k。 解析：设两根为 t, 2t，则 t + 2t = 3 → t = 1，k = 1×2 = 2。 ☆ 5.一元二次方程的应用 常见类型：增长率、利润、面积、方案决策。关键：找出等量关系列方程，检验解的合理性。 典型例题 3 衬衫降价问题：每件盈利40元，每天售20件，降价1元多售2件，每天盈利1200元，求降价多少？ 解析：设降价 x 元，(40 − x)(20 + 2x) = 1200，解得 x = 10 或 20，因需扩大销量取 x = 20。答：降价20元。 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0） 整式、一个未知数、最高次2 直接开平方法 (x + m)² = n（n ≥ 0） 注意正负根 配方法 配方后开方 二次项系数化为1 公式法 x = Δ ≥ 0 因式分解法 a(x − m)(x − n) = 0 化为一次因式乘积 判别式 Δ = b² − 4ac Δ>0两不等；Δ=0两等；Δ<0无实根 韦达定理 x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a 前提：Δ ≥ 0 应用问题 增长率、利润、面积、方案 建立方程，检验合理性 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的概念（第1—6题） · 判断依据：整式、一个未知数、最高次2，二次项系数不为0。 · 含参数时注意 a ≠ 0。 1．（2025秋•东台市期末）下列方程中，是关于x一元二次方程是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 2．（2025秋•渠县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 3．下列方程： ①2x2﹣mx﹣1＝0（m为常数）； ②； ③x2+y＝0； ④（x+3）2＝（x﹣3）2； ⑤mx2﹣3x+2＝0（m为常数）； ⑥（m2+1）x2+（2m﹣1）x+2﹣m＝0（m为常数）． 其中一定是一元二次方程的有（　　） A．①②③⑥ B．①⑥ C．③④⑤ D．②③④⑤ 4．（2025秋•凉州区期末）若方程（a+2）x|a|﹣x＝1是关于x的一元二次方程，则a的值为　 　 ． 5．（2024秋•静安区校级期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m＝ 　 　 ． 6．（2025秋•召陵区期末）请写出一个常数项为0，有一个根为x＝3的一元二次方程：　 　 ． 【考点2】一元二次方程的解法（第7—17题） · 根据方程特征选方法：缺项选开平，二次项系数1配方法，复杂选公式，能因式分解优先。 · 分式方程转化后须验根。 7．（2025秋•东西湖区期末）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 8．（2026•临泉县模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 9．（2026春•西湖区校级期末）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 10．（2026•秦州区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝ 　 　 ． 11．（2025秋•秦淮区期末）方程x2＝x的解是 　 　 ． 12．（2026•邗江区校级二模）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，将原方程转化为（x+m）2＝n的形式可得 　 　 ． 13．（2024秋•凉州区校级期末）解下列方程． （1）x2+4x﹣12＝0； （2）（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0． 14．（2025秋•西城区校级期末）x2+6x+6＝0． 15．（2026•台山市一模）解方程：3x（x﹣5）＝10﹣2x． 16．（2026•惠山区校级三模）解方程： （1）； （2）4x2﹣4x﹣3＝0． 17．（2023•西城区校级开学）用适当的方法解方程： （1）（2x+5）2＝5； （2）x2+4x﹣2＝0； （3）2x2﹣5x+1＝0； （4）x2﹣1＝2（x+1）． 【考点3】根的判别式（第18—26题） · 根据Δ判断根的情况。 · 含参问题：列Δ表达式，解不等式（Δ≥0，Δ>0，Δ=0）。 18．（2026•高州市二模）若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x+m）＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 19．（2026春•安吉县期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（　　） A．n2＝2m B．m＝2n2 C．n＝2m2 D．m2＝2n 20．（2026•沂源县二模）关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 21．（2026•宝安区校级四模）方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根，则（a+1）（a﹣1）的值为　 　 ． 22．（2026•韶关二模）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　 　 ． 23．（2025秋•青岛校级月考）用合适的方法解下列方程： （1）2x2﹣5x+2＝0； （2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）； （3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+4＝0有实数根，求m的最大整数值． 24．（2026春•苏州期中）已知x＝7是关于x的方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边．求△ABC的周长． 25．（2024秋•兴国县期末）已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+2＝0． （1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 　 　 ； （2）若方程有相等的实数根，求a的值． 26．（2025秋•同步）当m分别满足什么条件时，关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m是实数）的根的情况如下： （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程没有实数根？ 【考点4】根与系数关系（第27—41题） · 直接应用韦达定理求两根和与积。 · 构造对称式：x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂。 · 已知两根关系求参数时列方程。 27．（2025秋•鲁山县期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b﹣ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．15 D．17 28．（2026•丛台区校级二模）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 29．（2026•桂林模拟）设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2027 30．（2026•界首市二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 31．（2025秋•武汉期末）新定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+2n＝0是“倍根方程”，则代数式的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 32．（2026•江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 33．（2026•平邑县一模）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则另一个根为 　 　 ． 34．（2026春•西岗区期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则此方程的另一个根是　 　 ． 35．（2026•南京模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　 　 ． 36．（2026•滕州市校级模拟）若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　 　 ． 37．（2025秋•红河县期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值． 38．（2025春•牟平区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）当m＝1时，解该一元二次方程； （2）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （3）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 39．（2026春•昆山市期中）已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 40．（2025秋•仙桃期末）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根． （1）当x1＝﹣1时，求m的值； （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 41．（2025秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 【考点5】一元二次方程的应用（第42—54题） · 增长率：a(1+x)² = b。 · 利润：总利润 = (售价−成本)×销量。 · 面积：根据图形列方程。 · 方案比较：计算并比较利润、销量等。 42．二次三项式ax2+bx+c（a≠0）在实数范围内能够因式分解的条件是（　　） A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．以上都不对 43．（2024春•奉贤区期末）如果二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（　　） A．p≤9 B．p≥9 C．p＜9 D．p＞9 44．（2025秋•普陀区期末）在实数范围内因式分解：2x2+4x+1＝　 　 ． 45．（2026•靖江市一模）在实数范围内分解因式：a4﹣9＝　 　 ． 46．（2025秋•凤翔区期末）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？ 47．（2025秋•宝应县期末）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 48．（2025秋•南京期末）某商店的一种服装，每件成本为60元．经市场调研，售价为80元时，可销售750件；售价每提高5元，销售量将减少50件．已知商店销售这批服装获利22500元，这种服装每件售价是多少元？ 49．（2025秋•仁化县期末）2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 50．（2026•鼓楼区校级模拟）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为448m2.求停车场内车道的宽度？ 51．（2025秋•南关区校级期末）如图，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，使养鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为a，另三边用竹篱笆围成．已知篱笆总长为40m．求养鸡场的长与宽各为多少米？ 52．（2025秋•赣州期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 53．（2026•张店区二模）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ 任务三 有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 54．（2026春•宁波期末）【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的图解法是：如图，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，，AC＝b，在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程x2+ax＝b2进行配方， 得， 因为∠ACB＝90°，所以AB2＝AC2+BC2， … （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 （2）若利用此图解法解方程x2+2x＝5，那么BC＝　 　 ，AB＝　 　 ，方程的正根x＝　 　 ． （3）已知关于x的一元二次方程x2+ax＝64（a＞0），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【章节复习1】一元二次方程 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一元二次方程的概念与一般形式 · 掌握四种解法（直接开平、配方、公式、因式分解） · 熟练运用根的判别式判断根的情况 · 掌握根与系数的关系（韦达定理） · 能建立方程模型解决实际问题 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.一元二次方程的定义与一般形式 定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 注意：二次项系数 a ≠ 0 是必要条件。 ☆ 2.一元二次方程的四种解法 · 直接开平方法：适合 (x + m)² = n（n ≥ 0） · 配方法：将方程化为 (x + m)² = n 的形式 · 公式法：x =，Δ = b² − 4ac · 因式分解法：分解为两个一次因式乘积 典型例题 1 用配方法解 x² − 2x − 2025 = 0，化为 (x + a)² = b，求 。 解析：配方得 (x − 1)² = 2026，a = −1，b = 2026， = 1。 ☆ 3.根的判别式（Δ = b² − 4ac） · Δ > 0 ⇔ 两个不等实根 · Δ = 0 ⇔ 两个相等实根 · Δ < 0 ⇔ 无实根 ☆ 4根与系数的关系（韦达定理） 若 x₁、x₂ 是方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根，则： x₁ + x₂ = - ，x₁·x₂ = 。 典型例题 2 方程 x² − 3x + k = 0 一根是另一根的2倍，求 k。 解析：设两根为 t, 2t，则 t + 2t = 3 → t = 1，k = 1×2 = 2。 ☆ 5.一元二次方程的应用 常见类型：增长率、利润、面积、方案决策。关键：找出等量关系列方程，检验解的合理性。 典型例题 3 衬衫降价问题：每件盈利40元，每天售20件，降价1元多售2件，每天盈利1200元，求降价多少？ 解析：设降价 x 元，(40 − x)(20 + 2x) = 1200，解得 x = 10 或 20，因需扩大销量取 x = 20。答：降价20元。 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0） 整式、一个未知数、最高次2 直接开平方法 (x + m)² = n（n ≥ 0） 注意正负根 配方法 配方后开方 二次项系数化为1 公式法 x = Δ ≥ 0 因式分解法 a(x − m)(x − n) = 0 化为一次因式乘积 判别式 Δ = b² − 4ac Δ>0两不等；Δ=0两等；Δ<0无实根 韦达定理 x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a 前提：Δ ≥ 0 应用问题 增长率、利润、面积、方案 建立方程，检验合理性 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的概念（第1—6题） · 判断依据：整式、一个未知数、最高次2，二次项系数不为0。 · 含参数时注意 a ≠ 0。 1．（2025秋•东台市期末）下列方程中，是关于x一元二次方程是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【解答】解：A．ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，不符合题意； B．x2+y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D．x2+x＝4，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键． 2．（2025秋•渠县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、原方程不是整式方程，不符合题意； B、当a＝0时，ax2+by+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； C、（x﹣1）（x+2）＝1，即x2+x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； D、3x2﹣2xy﹣5y2＝0不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程． 3．下列方程： ①2x2﹣mx﹣1＝0（m为常数）； ②； ③x2+y＝0； ④（x+3）2＝（x﹣3）2； ⑤mx2﹣3x+2＝0（m为常数）； ⑥（m2+1）x2+（2m﹣1）x+2﹣m＝0（m为常数）． 其中一定是一元二次方程的有（　　） A．①②③⑥ B．①⑥ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【解答】解：①2x2﹣mx﹣1＝0（m为常数）是一元二次方程，符合题意； ②，是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ③x2+y＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ④（x+3）2＝（x﹣3）2，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； ⑤mx2﹣3x+2＝0（m为常数），当m＝0时，不是一元二次方程，不符合题意； ⑥（m2+1）x2+（2m﹣1）x+2﹣m＝0是一元二次方程，符合题意， 综上所述，一定是一元二次方程是①⑥． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 4．（2025秋•凉州区期末）若方程（a+2）x|a|﹣x＝1是关于x的一元二次方程，则a的值为　2　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【解答】解：∵方程（a+2）x|a|﹣x＝1是关于x的一元二次方程， ∴|a|＝2且a+2≠0， 解得a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了根据一元二次方程的定义，绝对值，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 5．（2024秋•静安区校级期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m＝ 　3　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义得到m2﹣7＝2且m+3≠0，求得m的值即可． 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣7＝2且m+3≠0， 解得m＝3， 所以m的值为3， 故答案为：3． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，关键掌握未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0． 6．（2025秋•召陵区期末）请写出一个常数项为0，有一个根为x＝3的一元二次方程：x2﹣3x＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，常数项为0即c＝0，且有一个根为x＝3，因此可构造一个以x＝0和x＝3为根的一元二次方程． 【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， ∵常数项c＝0，一个根为x＝3， ∴代入方程得a•32+b•3+0＝0， 即9a+3b＝0， 3a+b＝0， b＝﹣3a， 取a＝1，则b＝﹣3， 故方程为：x2﹣3x＝0． 故答案为：x2﹣3x＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，掌握相应的定义是关键． 【考点2】一元二次方程的解法（第7—17题） · 根据方程特征选方法：缺项选开平，二次项系数1配方法，复杂选公式，能因式分解优先。 · 分式方程转化后须验根。 7．（2025秋•东西湖区期末）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 【分析】将x2﹣6x﹣1＝0变形即可得出答案． 【解答】解：移项得x2﹣6x＝1， 配方得x2﹣6x+9＝1+9， （x﹣3）2＝10， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8．（2026•临泉县模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 【分析】将已知根代入原方程，得到关于k的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除k＝﹣2，即可得到答案． 【解答】解：由条件可得：k2﹣4＝0，解得k＝±2， ∵已知方程是一元二次方程， ∴k+2≠0，即k≠﹣2， ∴k＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2026春•西湖区校级期末）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【分析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 10．（2026•秦州区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝ 　﹣1　 ． 【分析】把x＝0代入一元二次方程得到a2﹣1＝0，再解关于a的方程，然后根据一元二次方程的定义可确定满足条件的a的值． 【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0， 解得a1＝1，a2＝﹣1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 11．（2025秋•秦淮区期末）方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键． 12．（2026•邗江区校级二模）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，将原方程转化为（x+m）2＝n的形式可得 　（x﹣2）2＝3　 ． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【解答】解：x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3． 故答案为：（x﹣2）2＝3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 13．（2024秋•凉州区校级期末）解下列方程． （1）x2+4x﹣12＝0； （2）（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0． 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x+6＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程； （2）先利用因式分解法把方程转化为2y﹣1＝0或2y+2＝0，然后解两个一次方程． 【解答】解：（1）x2+4x﹣12＝0， （x+6）（x﹣2）＝0， x+6＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝﹣6，x2＝2； （2）（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0， （2y﹣1）（2y﹣1+3）＝0， 2y﹣1＝0或2y+2＝0， 所以y1，y2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 14．（2025秋•西城区校级期末）x2+6x+6＝0． 【分析】根据公式法解方程即可． 【解答】解：根据公式法，由题意得c＝6，a＝1，b＝6， ∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×1×6＝36﹣24＝12， ，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（2026•台山市一模）解方程：3x（x﹣5）＝10﹣2x． 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【解答】解：原方程整理得：3x2﹣13x﹣10＝0， a＝3，b＝﹣13，c＝﹣10， Δ＝b2﹣4ac＝289＞0， ， ． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 16．（2026•惠山区校级三模）解方程： （1）； （2）4x2﹣4x﹣3＝0． 【分析】（1）根据解分式方程的步骤进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）， 1＝﹣x+1+3（x﹣2）， 1＝﹣x+1+3x﹣6， x﹣3x＝1﹣6﹣1， ﹣2x＝﹣6， x＝3， 当x＝3时，x﹣2≠0， 所以x＝3是原方程的解； （2）4x2﹣4x﹣3＝0， （2x+1）（2x﹣3）＝0， 则2x+1＝0或2x﹣3＝0， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解分式方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及解分式方程的步骤是解题的关键． 17．（2023•西城区校级开学）用适当的方法解方程： （1）（2x+5）2＝5； （2）x2+4x﹣2＝0； （3）2x2﹣5x+1＝0； （4）x2﹣1＝2（x+1）． 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程直接开平方得：2x+5＝±， 解得：x1，x2； （2）原方程变形得：x2+4x＝2， 配方得：x2+4x+4＝6， 即（x+2）2＝6， 直接开平方得：x+2＝±， 解得：x12，x22； （3）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝25﹣8＝17＞0， 则x， 即x1，x2； （4）原方程变形得：（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0， 因式分解得：（x+1）（x﹣1﹣2）＝0， 即（x+1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【考点3】根的判别式（第18—26题） · 根据Δ判断根的情况。 · 含参问题：列Δ表达式，解不等式（Δ≥0，Δ>0，Δ=0）。 18．（2026•高州市二模）若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x+m）＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等实数根得判别式的值为0，解方程即可求出m的值． 【解答】解：原方程展开得x2+（m﹣1）x﹣m＝0，由条件可知： Δ＝（m﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝0， 解得m＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2026春•安吉县期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（　　） A．n2＝2m B．m＝2n2 C．n＝2m2 D．m2＝2n 【分析】根据所给“倍根方程”的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 令关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）的两个实数根为a和b， 则a+b＝3m，ab＝4n． 因为该方程是“倍根方程”， 则不妨令a＝2b， 所以2b+b＝3m， 解得b＝m， 则a＝2m， 所以2m×m＝4n， 整理得，m2＝2n． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的解，理解所给“倍根方程”的定义是解题的关键． 20．（2026•沂源县二模）关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 【分析】根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝16﹣8（m﹣2）＞0且m﹣2≠0， 解得m＜4且m≠2， 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟知以上知识是解题的关键． 21．（2026•宝安区校级四模）方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根，则（a+1）（a﹣1）的值为　7　 ． 【分析】先根据题意求出a2的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣a）2﹣8＝0，即a2＝8， ∴（a+1）（a﹣1） ＝a2﹣1 ＝8﹣1 ＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式与方程解的关系是解题的关键． 22．（2026•韶关二模）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得． 【解答】解：由条件可知方程根的判别式4+4k＞0，且k≠0， 解得k＞﹣1且k≠0， 故答案为：k＞﹣1且k≠0． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 23．（2025秋•青岛校级月考）用合适的方法解下列方程： （1）2x2﹣5x+2＝0； （2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）； （3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+4＝0有实数根，求m的最大整数值． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （3）根据判别式和二次项系数不为0求出m的取值范围即可得到答案． 【解答】解：（1）原方程分解因式可得： ∴（2x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0， 解得； （2）原方程移项可得： （x﹣3）2+5（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3+5）（x﹣3）＝0， ∴x﹣3+5＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝3； （3）由条件可得： ， 解得m≤2且m≠1， ∴m的最大整数值为2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 24．（2026春•苏州期中）已知x＝7是关于x的方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边．求△ABC的周长． 【分析】把x＝7代入方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0得49﹣7（3m+1）+7m＝0，然后解关于m的方程即可求得m的值，从而得到方程x2﹣10x+21＝0，解方程得x1＝3，x2＝7，根据三角形三边的关系得到等腰三角形ABC的腰长为7，底边长为3，然后计算△ABC的周长． 【解答】解：把x＝7代入方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0得49﹣7（3m+1）+7m＝0， 解得m＝3； ∴方程为x2﹣10x+21＝0，解得x1＝3，x2＝7， ∵3+3＜7， ∴等腰三角形ABC的腰长为7，底边长为3， ∴△ABC的周长为7+7+3＝17． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 25．（2024秋•兴国县期末）已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+2＝0． （1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 　﹣3　 ； （2）若方程有相等的实数根，求a的值． 【分析】（1）将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+2＝0，即可求出a的值； （2）根据“方程有相等的实数根”可得Δ＝0，再结合二次项系数a﹣3≠0，即可求出a的值． 【解答】解：（1）由条件可知a﹣3+4+2＝0， 解得：a＝﹣3； 故答案为：﹣3； （2）根据题意，可得16﹣8（a﹣3）＝0且a﹣3≠0， 解得：a＝5． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解答本题的关键． 26．（2025秋•同步）当m分别满足什么条件时，关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m是实数）的根的情况如下： （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程没有实数根？ 【分析】先求出Δ＝4+4（m+1）＝4m+8， （1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，进一步求解即可； （2）根据该方程有两个相等的实数根，可得Δ＝4m+8＝0，进一步求解即可； （3）根据该方程没有实数根，可得Δ＝4m+8＜0，进一步求解即可． 【解答】解：由题意，∵关于x的一元二次方程为（m+1）x2+2x＝1（m为实数）， ∴（m+1）x2+2x﹣1＝0，m+1≠0．∴a＝m+1，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝4+4（m+1）＝4m+8， （1）根据题意，得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0， 解得m＞﹣2且m≠﹣1； （2）根据题意，得Δ＝4m+8＝0， 解得m＝﹣2； （3）根据题意，得Δ＝4m+8＜0， 解得m＜﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 【考点4】根与系数关系（第27—41题） · 直接应用韦达定理求两根和与积。 · 构造对称式：x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂。 · 已知两根关系求参数时列方程。 27．（2025秋•鲁山县期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b﹣ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．15 D．17 【分析】由a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，可得a+b＝﹣1，ab＝﹣8，a2+a﹣8＝0，将所求式子变形后再代入可算得答案． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1，ab＝﹣8，a2+a﹣8＝0， ∴a2+a＝8， ∴a2+2a+b﹣ab ＝（a2+a）+（a+b）﹣ab ＝8+（﹣1）﹣（﹣8） ＝15． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义和根与系数的关系． 28．（2026•丛台区校级二模）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得到m+n＝2，mn，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 29．（2026•桂林模拟）设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2027 【分析】先根据一元二次方程的解得到a2+a﹣2026＝0，利用根与系数关系得到a+b＝﹣1，则a2+2a+b＝a2+a+a+b，求解即可． 【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根， ∴a2+a﹣2026＝0，即a2+a＝2026，a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2026﹣1＝2025， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 30．（2026•界首市二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【分析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：整理关于x的方程x2+kx＝2为：x2+kx﹣2＝0， ∵Δ＝k2﹣4×（﹣2）＝k2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵两根之积为﹣2， ∴方程有一个正根，一个负根． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 31．（2025秋•武汉期末）新定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+2n＝0是“倍根方程”，则代数式的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【解答】解：∵mx2﹣（2m+n）x+2n＝0， ∴（mx﹣n）（x﹣2）＝0， ∴x﹣2＝0或mx﹣n＝0， 解得：x1＝2，x2， ∵关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+2n＝0是“倍根方程”， ∴分两种情况： 当2＝2时，即m＝n， 此时， 当2×2时，即n＝4m， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 32．（2026•江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 【分析】由题意得到Δ＝b2+8b≥0，x1，x2，再由，得到方程b2+4b＝12，解得b，分别代入Δ＝b2+8b进行检验即可得到答案． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ∵， ∴b2+4b＝12， 解得b， 当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意， 当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意， ∴b＝2， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识，准确计算是解题的关键． 33．（2026•平邑县一模）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则另一个根为 　2　 ． 【分析】根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【解答】解：∵已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0， ∴a＝1，b＝﹣3， ∴， ∵x1＝1， ∴x2＝3﹣x1＝3﹣1＝2， 即方程的另一个根为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 34．（2026春•西岗区期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则此方程的另一个根是　2　 ． 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【解答】解：设方程另一个根为x＝t， 根据题意得t+1＝3，解得t＝2， 则方程的另一个根是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1x2． 35．（2026•南京模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　﹣7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，x1+x2＝3，再整体代入到中，即可求解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2， ∴，x1+x2＝3， ∴ ＝﹣1﹣2×3 ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得到，x1+x2＝3． 36．（2026•滕州市校级模拟）若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　11　 ． 【分析】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则．由题意得n2﹣n﹣3＝0，m+n＝1，mn＝﹣3，再代入计算即可求解． 【解答】解：由题意得：n2﹣n﹣3＝0， ∵m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣3， ∴n2＝n+3， ∴2n2﹣mn+2m＝2n+6﹣mn+2m＝2（m+n）﹣mn+6＝2﹣（﹣3）+6＝11， 故答案为：11． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 37．（2025秋•红河县期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值． 【分析】（1）由一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根，根据根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac≥0，解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2，代入代数式求出m的值即可． 【解答】解：（1）Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2 ＝4m2﹣4m+1﹣4m2 ＝﹣4m+1， ∵Δ≥0， ∴﹣4m+1≥0， ∴m． 故实数m的取值范围为m； （2）由题意可得： x1+x2＝﹣（2m﹣1）＝1﹣2m，x1x2＝m2， 又∵x1+x2＝1﹣x1x2， ∴1﹣2m＝1﹣m2， ∴m2﹣2m＝0， 解得m1＝0，m2＝2， 又∵m， ∴m＝0． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 38．（2025春•牟平区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）当m＝1时，解该一元二次方程； （2）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （3）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）由判别式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案； （3）根据根与系数的关系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由进行变形直接代入得到5m2﹣7m+2＝0，求解可得． 【解答】（1）解：当m＝1时，原方程为x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或x+1＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1； （2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）＝（4m﹣1）2≥0， ∴不论m为何实数，方程总有实数根； （3）解：∵x1x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2m﹣1， ∵， ∴， ∴，整理，得5m2﹣7m+2＝0， 解得，m2＝1， ∴m的值为或1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 39．（2026春•昆山市期中）已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系结合整体思想进行计算即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系结合整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， 所以． （1） ＝3； （2） ． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 40．（2025秋•仙桃期末）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根． （1）当x1＝﹣1时，求m的值； （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 【分析】（1）把x1＝﹣1代入原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案； （2）把关于x的方程化为一般式，根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，，求出，据此可证明结论． 【解答】（1）解：把x1＝﹣1代入方程得（﹣1﹣1）（﹣1﹣2）＝m2， ∴m2＝6， ∴． （2）证明：方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化为x2﹣3x+2﹣m2＝0． ∵x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根， ∴x1+x2＝3，． ∴． ∵m2≥0， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 41．（2025秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围； （2）先利用根与系数的关系，用含有k的式子表示出x1+x2和x1x2，再代入中得到一个分式方程，解出方程，再结合（1）中k的取值范围，确定k的值． 【解答】解：（1）关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． ∴k≠0且Δ＞0， ∴Δ＝12﹣4k×（﹣3）＞0解得， ∴k的取值范围为且k≠0； （2）由根与系数的关系得，，， ∴，即4k2+3k﹣1＝0， ∴（4k﹣1）（k+1）＝0解得或k＝﹣1， 经检验，，k＝﹣1都是原分式方程的解， 由（1）可得，且k≠0． ∴． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系、根与系数的关系、解分式方程以及解一元二次方程，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键． 【考点5】一元二次方程的应用（第42—54题） · 增长率：a(1+x)² = b。 · 利润：总利润 = (售价−成本)×销量。 · 面积：根据图形列方程。 · 方案比较：计算并比较利润、销量等。 42．二次三项式ax2+bx+c（a≠0）在实数范围内能够因式分解的条件是（　　） A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．以上都不对 【分析】由题意可得ax2+bx+c＝0（a≠0）必须有实数根，根据根的判别式即可求得答案． 【解答】解：∵二次三项式ax2+bx+c（a≠0）在实数范围内能够因式分解， ∴ax2+bx+c＝0（a≠0）必须有实数根， ∴b2﹣4ac≥0， 故选：A． 【点评】本题考查因式分解及一元二次方程根的判别式，结合已知条件得出ax2+bx+c＝0（a≠0）必须有实数根是解题的关键． 43．（2024春•奉贤区期末）如果二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（　　） A．p≤9 B．p≥9 C．p＜9 D．p＞9 【分析】根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出p的范围即可． 【解答】解：∵二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式， ∴Δ＝36﹣4p≥0， 解得：p≤9， 故选：A． 【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 44．（2025秋•普陀区期末）在实数范围内因式分解：2x2+4x+1＝　　 ． 【分析】先提取公因数，再配方，最后利用平方差公式求解即可． 【解答】解：原式＝2（x2+2x）+1 ＝2[（x+1）2﹣1]+1 ＝2（x+1）2﹣1 ， 故答案为：． 【点评】本题考查配方法将代数式变形为完全平方式及平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是本题的解题关键． 45．（2026•靖江市一模）在实数范围内分解因式：a4﹣9＝　（a2+3）（a）（a）　 ． 【分析】利用平方差公式分解． 【解答】解：a4﹣9 ＝（a2+3）（a2﹣3） ＝（a2+3）（a）（a）． 故答案为： 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握平方差公式是解决本题的关键． 46．（2025秋•凤翔区期末）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？ 【分析】设AB＝x米，则BC＝（18+2﹣x）米，根据围成车棚的面积为96m2，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（18+2﹣x）米， 根据题意得：x（18+2﹣x）＝96， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12， 当x＝8时，18+2﹣x＝18+2﹣8＝12（米）； 当x＝12时，18+2﹣x＝18+2﹣12＝8（米）． 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 47．（2025秋•宝应县期末）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：150（1+x）2＝216， ∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个， ∴（y﹣300）（601）＝6032． ∴y1＝416，y2＝404， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝404． 答：该品牌头盔的实际售价应定为404元/个． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 48．（2025秋•南京期末）某商店的一种服装，每件成本为60元．经市场调研，售价为80元时，可销售750件；售价每提高5元，销售量将减少50件．已知商店销售这批服装获利22500元，这种服装每件售价是多少元？ 【分析】设这种服装每件售价是x元，根据商店销售这批服装获利22500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设这种服装每件售价是x元， 根据题意得：， 整理得：x2﹣215x+11550＝0， 解得：x1＝110，x2＝105， 答：这种服装每件售价是110元或105元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 49．（2025秋•仁化县期末）2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 【分析】（1）设月平均增长率为x，利用该电商平台2025年11月份吉祥物一月的销售量＝该电商平台2025年9月份吉祥物一月的销售量×（1+月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价为每件y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，每天可售出（220﹣2y）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 根据题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为20%； （2）设售价为每件y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，每天可售出20+2（100﹣y）＝（220﹣2y）件， 根据题意得：（y﹣60）（220﹣2y）＝1200， 整理得：y2﹣170y+7200＝0， 解得：y1＝80，y2＝90， 又∵要尽量减少库存， ∴y＝80． 答：售价应为每件80元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 50．（2026•鼓楼区校级模拟）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为448m2.求停车场内车道的宽度？ 【分析】设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，根据停车位的占地面积为448m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝448， 整理得：x2﹣62x+432＝0， 解得：x1＝8，x2＝54（不符合题意，舍去）． 答：停车场内车道的宽度为8m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 51．（2025秋•南关区校级期末）如图，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，使养鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为a，另三边用竹篱笆围成．已知篱笆总长为40m．求养鸡场的长与宽各为多少米？ 【分析】设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m，根据长方形养鸡场的面积为150m2，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m， 根据题意得：x（40﹣2x）＝150， 整理得：x2﹣20x+75＝0， 解得：x1＝5，x2＝15， 当x＝5时，40﹣2x＝40﹣2×5＝30； 当x＝15时，40﹣2x＝40﹣2×15＝10． 答：养鸡场的长与宽各为30米、5米或15米、10米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 52．（2025秋•赣州期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【分析】（1）依据题意，列出每天销售T恤衫的利润计算即可得解； （2）依据题意，设此时每件T恤衫降价x元，从而每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，进而计算后再由优惠最大，即可判断得解； （3）依据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，求出x的值，再由每件T恤衫的利润率不低于55%，可得100﹣x﹣60≥60×55%，得出x的范围后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． 53．（2026•张店区二模）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ 任务三 有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量＝该车间4月份生产数量×（1+x）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价为m元，则每个的销售利润为（m﹣30）元，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； （3）设该零件的实际售价为n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【解答】解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x， 由题意得100（1+x）2＝144， 解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为20%； （2）设该零件的实际售价为m元， 由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000， 解得m＝50或m＝80． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴m＝50． 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）设实际售价为n元， 由题意得（n﹣30）[600﹣10（n﹣40）]＝20000， 整理得n2﹣130n+5000＝0， ∵Δ＝（﹣130）2﹣4×1×5000＝﹣3100＜0， ∴方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 54．（2026春•宁波期末）【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的图解法是：如图，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，，AC＝b，在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程x2+ax＝b2进行配方， 得， 因为∠ACB＝90°，所以AB2＝AC2+BC2， … （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 （2）若利用此图解法解方程x2+2x＝5，那么BC＝　1　 ，AB＝　　 ，方程的正根x＝　1　 ． （3）已知关于x的一元二次方程x2+ax＝64（a＞0），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 【分析】 （1）推导验证：从几何图形出发，利用勾股定理建立直角三角形三边关系．得出通过观察方程配方的结果，将几何长度与代数式子连接起来，证明，从而推导出 AD＝x即是方程的解． （2）尝试应用：直接将题目给出的具体方程x2+2x＝5与图解法模板x2+ax＝b2对比，确定a＝2，b2＝5，通过勾股定理分别求出BC和AB的长度，最后利用线段差AD＝AB﹣BD求出方程的正根． （3）综合应用：将已知的几何线段比值转化为关于参数a与方程正根x的代数等式（即a＝3x），再将其代回原方程x2+ax＝64求解，从而得出a的值． 【解答】解：（1）因为∠ACB＝90°，所以AB2＝AC2+BC2， 将AC＝b和BC，代入得：AB2＝b2+（）2， 由配方结果， 可知：， 因为在斜边AB上截取， 所以：， 因此，AD的长就是所求方程的正根x； （2）根据上述图解法，方程x2+2x＝5中， 对应 a＝2，b2＝5，即b， 那么：，， 方程的正根x＝AD＝AB﹣BD1； （3）已知关于x的一元二次方程x2+ax＝64（a＞0）， 对应图解法中b2＝64，所以 b＝8， 根据图解法原理，方程的正根x对应图中的AD，且， 由题意可知，即， 化简得a＝3x， 因为x是方程x2+ax＝64的正根， 将a＝3x代入方程得：x2+3x•x＝64， 4x2＝64， x2＝16， 因为x＞0， 解得x＝4， 所以a＝3x＝3×4＝12， 即a的值为12． 【点评】本意主要考查了一元二次方程的配方法、勾股定理以及数形结合的数学思想，深刻理解几何图形中线段的代数意义，AC＝b，AD＝x）并熟练运用勾股定理建立等量关系是解题的关键．本题打破传统的代数求解框架，以欧几里得《几何原本》中经典的“几何作差法”为素材，巧妙地将枯燥的代数方程转化为直观的几何长度，具有浓厚的数学文化气息．解答时务必紧扣“数形对应”的原则，特别是第（3）问，利用几何线段比例关系作为桥梁进行变量代换，不仅能有效避开了复杂的代数运算，更直观体现了转化与化归思想在初中数学综合题中的巨大威力． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $