第1讲 一元二次方程 预习讲义 2026-2027学年人教版九年级上册数学

本初中数学讲义聚焦一元二次方程核心知识，从定义的三个条件（整式方程、一元、最高次2且二次项系数不为0）入手，通过化简判断步骤搭建基础，进而梳理一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）的转化方法，最后结合根的定义及代入性质形成完整学习支架。 资料通过典型反例解析（如“伪二次方程”辨析）培养学生数学眼光，分步骤化一般形式（去括号、移项、合并）提升数学思维逻辑性，题型分类（识别方程、求系数等）与实例（整体代入求代数式值）强化数学语言应用。课中辅助教师突破易错点，课后助力学生查漏补缺，夯实基础。

第1讲 一元二次方程 知识点1 一元二次方程的定义 一、定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 二、一元二次方程必须同时满足的三个条件 1. 是整式方程（分母中不含未知数，根号下不含未知数） 1. 只含有一个未知数（一元） 1. 未知数的最高次数是2（二次），且二次项系数不为0 三个条件缺一不可，必须同时满足才能判定为一元二次方程。 三、判断方法与步骤 判断一个方程是否为一元二次方程，按以下步骤进行： 1. 第一步：先化简整理方程，去括号、移项、合并同类项； 2. 第二步：检查是否为整式方程（分母、根号下有无未知数）； 3. 第三步：检查未知数的个数是否只有一个； 4. 第四步：检查未知数的最高次数是否为2，且二次项系数不为0。 四、典型反例解析 以下方程均不是一元二次方程，逐一分析原因： 反例1：1/x² + x = 2 原因：分母中含有未知数x，是分式方程，不是整式方程。 结论：不满足"整式方程"条件，不是一元二次方程。 反例2：x² + 1 原因：这只是一个多项式代数式，没有等号，不是方程。 结论：连方程都不是，自然不是一元二次方程。 反例3：x² + y − 3 = 0 原因：方程中含有x和y两个未知数。 结论：不满足"只含有一个未知数"条件，是二元二次方程。 反例4：x³ − 3x + 8 = 0 原因：未知数x的最高次数是3，不是2。 结论：不满足"最高次数是2"条件，是一元三次方程。 反例5：(x − 1)(x − 2) = x² − 1 原因：先化简左边：x² − 3x + 2 = x² − 1 移项合并后：−3x + 3 = 0，二次项抵消了，最高次数为1。 结论：化简后二次项系数为0，不是一元二次方程，是一元一次方程。 易错警示 判断前必须先化简！有些方程表面上有x²项，但化简后二次项可能抵消， 此时就不是一元二次方程了。如反例5就是典型的"伪二次方程"。 知识点2 一元二次方程的一般形式 一、一般形式 一元二次方程的一般形式是：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0） 二、各项名称与系数 1. ax² 是二次项，a 是二次项系数 1. bx 是一次项，b 是一次项系数 1. c 是常数项（不含未知数的项） 三、重要说明 1. a ≠ 0 是一元二次方程一般形式的必要条件。如果 a = 0，方程就变成 bx + c = 0，是一元一次方程了。 2. 一次项系数 b 和常数项 c 可以为0，不影响方程是一元二次方程。 3. 任何一个一元二次方程都可以通过去括号、移项、合并同类项化成一般形式。 4. 一元二次方程的各项都包含它前面的符号！说系数时要带符号。 重点提醒 说各项系数时一定要带符号！例如方程 2x² − 3x + 5 = 0 中， 二次项系数是2，一次项系数是−3（不是3），常数项是5。 四、一元二次方程的特殊形式 根据 b 和 c 是否为0，一元二次方程有以下三种特殊形式： 1. 缺一次项型（b = 0） 形式：ax² + c = 0（a ≠ 0） 特点：没有一次项，只有二次项和常数项。 例如：3x² − 27 = 0，x² − 5 = 0 2. 缺常数项型（c = 0） 形式：ax² + bx = 0（a ≠ 0） 特点：没有常数项，右边为0，左边可提取公因式x。 例如：2x² + 5x = 0，x² − 3x = 0 3. 最简形式（b = 0 且 c = 0） 形式：ax² = 0（a ≠ 0） 特点：方程有两个相等的实数根 x₁ = x₂ = 0。 例如：5x² = 0 五、化一般形式的步骤 将任意一元二次方程化为一般形式，按以下步骤： 1. 去括号：运用乘法分配律去掉所有括号； 2. 移项：把所有项都移到等号左边，使右边为0（移项要变号）； 3. 合并同类项：将二次项、一次项、常数项分别合并； 4. 整理：按二次项、一次项、常数项的顺序排列，即 ax² + bx + c = 0。 5. 例题：将方程 (2x + 1)(x − 3) = x² + 2 化为一般形式，并指出各项系数。 解： 第一步 去括号：2x² − 6x + x − 3 = x² + 2 第二步 移项：2x² − 6x + x − 3 − x² − 2 = 0 第三步 合并同类项：x² − 5x − 5 = 0 所以一般形式为：x² − 5x − 5 = 0 二次项系数：1，一次项系数：−5，常数项：−5 知识点3 一元二次方程的解（根） 一、定义 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解。一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 二、一元二次方程根的三种情况 对于一元二次方程，实数根的情况有三种可能： 1. 有两个不相等的实数根（两个不同的解） 1. 有两个相等的实数根（两个相同的解，算重根） 1. 没有实数根（在实数范围内无解） 具体是哪种情况，由判别式 Δ = b² − 4ac 的符号决定，后续会详细学习。 三、根的重要性质——代入法 若 x₁，x₂ 是一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个实数根，那么把根代入方程，等式一定成立： ax₁² + bx₁ + c = 0 ax₂² + bx₂ + c = 0 这个性质非常重要，常用于"已知根求参数"的题型。 例题：已知 x = 2 是方程 x² − 3x + k = 0 的一个根，求 k 的值。 解：根据根的定义，把 x = 2 代入方程，等式成立。 代入得：2² − 3 × 2 + k = 0 计算：4 − 6 + k = 0 −2 + k = 0 k = 2 所以 k 的值为 2。 例题：已知 m 是方程 x² − 2x − 1 = 0 的一个根，求代数式 m² − 2m + 2024 的值。 解：因为 m 是方程的根，代入方程得： m² − 2m − 1 = 0 所以 m² − 2m = 1 代入所求代数式： m² − 2m + 2024 = 1 + 2024 = 2025 所以代数式的值为 2025。 方法点拨：这是"整体代入法"，不需要求出m的具体值， 直接利用 m² − 2m = 1 整体代入即可，简便又快捷。 方法总结与易错点汇总 一、核心方法 1. 定义判断法：三条件缺一不可，判断前必须先化简。 2. 化一般形式：去括号 → 移项 → 合并同类项 → 按降幂排列。 3. 代入法求参数：已知根就代入方程，转化为关于参数的方程求解。 4. 整体代入法：求代数式值时，利用根的性质整体替换，避免复杂计算。 二、高频易错点 1. 易错点1：判断一元二次方程前不化简，被表面的x²项迷惑。 1. 易错点2：说各项系数时漏掉符号，把−3x的系数说成3。 1. 易错点3：忘记a ≠ 0这个关键条件，误以为ax² + bx + c = 0都是二次方程。 1. 易错点4：移项时不变号，导致化一般形式出错。 1. 易错点5：已知根求参数时，代入计算出错，特别是平方和符号。 学习建议 本节是一元二次方程的基础概念，重点掌握： ① 定义的三个条件 ② 一般形式及各项系数 ③ 根的定义与代入法 打好概念基础，后续学习解方程和应用题才能事半功倍！ 【题型1 识别一元二次方程】 【例1】（25-26九年级上·北京海淀·期末）下列四个方程①x²﹣16=0；②（3x+2）（3x﹣2）=0；③x²=0；④√(x²−4x+4)=2中，不是一元二次方程的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-1】（25-26九年级下·上海浦东·阶段练习）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A．x² + 1/x² = 0 B．ax² + bx + c = 0 C．x² + 2x − 3 = 0 D．4x − 3xy + 6y² = 0 【变式1-2】（25-26九年级下·广州天河·期中）下列各式中，不是一元二次方程的是（ ） A．3x² + 2 = 0 B．2x − 3y − 5 = 0 C．5x² = 0 D．y² − 4y + 3 = 0 【变式1-3】（25-26九年级下·深圳南山·阶段练习）下列方程是一元二次方程的有（ ） ①5x² − 2x = 0；②ax² + bx + c = 0；③2x + 1/x = 0；④3x² − 2 = (x−1)(x−3)；⑤(4x−3)(2x+5)=8x² A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 根据一元二次方程的定义求值】 【例2】（25-26九年级上·杭州西湖·期中）已知关于x的方程 (m+2)x(|3m|−4) + 18mx + 3 = 0 是一元二次方程，则 m = ______． 【变式2-1】（25-26八年级下·南京鼓楼·期中）若方程 bx² − 2x + 3 = 0 是关于x的一元二次方程，则 b 的取值范围为（ ） A．b ≠ 0 B．b > 2 C．b = 0 D．b ≥ 0 【变式2-2】（25-26八年级下·成都武侯·阶段练习）若方程 (b+3)x(2b−4) = 0 是关于x的一元二次方程，则 b = ______． 【变式2-3】（25-26八年级下·武汉江汉·阶段练习）若关于x的一元二次方程 (n−2)x² − 3x + n² − 4 = 0 有一个解是0，则 n = ______． 【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】 【例3】（25-26九年级上·西安雁塔·期中）方程 (2x+3)(x−2) = 8 整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是 ______． 【变式3-1】（25-26八年级下·重庆渝中·期中）关于x的一元二次方程 4x² − 7x + 3 = 0 的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ） A．4, −7, −3 B．4, −7x, 3 C．4, 7x, −3 D．4, −7, 3 【变式3-2】（25-26九年级上·苏州姑苏·期中）方程 x² + 5x − 2 = x + 7 化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ） A．1和5 B．1和−9 C．4和−9 D．4和5 【变式3-3】（25-26九年级上·宁波鄞州·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为−5，常数项为−6的一元二次方程是 ______．（用一般形式表示） 【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】 【例4】（25-26八年级下·青岛市南·期中）关于x的一元二次方程 nx² + 2nx = 4x + 16 中不含x的一次项，则此方程的解为 ______． 【变式4-1】（25-26八年级下·大连中山·阶段练习）关于x的一元二次方程 (n−2)x² + 4x + n² − 4 = 0 的常数项为0，则n的值为（ ） A．2 B．−2 C．3 D．±2 【变式4-2】（25-26九年级上·厦门思明·期中）若关于x的一元二次方程 4x² + 2x − 3 = bx(x−3) 化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为−3，则该方程中的一次项系数为 ______． 【变式4-3】（25-26九年级上·长沙岳麓·期中）若关于x的一元二次方程 5x² − (n+3)x = 3x(x+1) 化成一般形式后二次项的系数为2，一次项的系数为−6，则 n 的值为 ______． 【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】 【例5】（25-26八年级下·郑州金水·阶段练习）若 x = 3 是关于x的方程 ax² − bx = 6 的解，则 2025 − 6a + 2b 的值为 ______． 【变式5-1】（25-26八年级下·合肥蜀山·阶段练习）已知a是方程 x² + 2x − 5 = 0 的一个根，则 (a+3)(a−1) 的值为（ ） A．2 B．4 C．−2 D．−4 【变式5-2】（25-26九年级上·济南历下·期中）若m是方程 x² − 4x − 2 = 0 的一个根，则 −3m² + 12m + 25 的值为 ______． 【变式5-3】（25-26九年级上·福州鼓楼·阶段练习）已知 m 是方程 x² + 2x − 3 = 0 的一个根，则代数式 (m+2)² + (m+2)(m−2) 的值为 ______． 【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】 【例6】（2024·天津·一模）已知m为方程 x² + 2x − 5 = 0 的一个根，则代数式 m³ + 3m² − 3m + 8 的值为 ______． 【变式6-1】（25-26九年级上·昆明五华·阶段练习）如果 a 是一元二次方程 x² = 4x − 3 的根，则代数式 a² − 4a + 2025 的值为（ ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式6-2】（25-26八年级下·沈阳和平·期末）若a是方程 x² + 2x − 5 = 0 的一个根，则 a³ + 3a² − 4a + 9 的值为 ______． 【变式6-3】（25-26八年级上·长春朝阳·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程 x² − x − 1 = 0 的一个根，则代数式 a³ − 2a + 5 的值为 ______． 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 【例7】（25-26八年级下·南昌东湖·期中）某公司今年一月的营业额为 300 万元，按计划第一季度的总营业额要达到 1200 万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为 x，则根据题意可列方程为（ ） A．300[1+(1+x)+(1+x)²] = 1200 B．300(1+x)² = 1200 C．300[(1+x)+(1+x)²] = 1200 D．1200(1+x)² = 300 【变式7-1】（25-26八年级下·太原杏花岭·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物1260件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ______． 【变式7-2】（25-26九年级上·石家庄长安·期中）为美化校园环境，某校计划在一块长为80m，宽为50m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的 7/20，则此时通道的宽为 ______． 【变式7-3】（25-26八年级下·哈尔滨南岗·期中）某商店以每个40元的进价购入一批商品，并以每个60元售出，每日可售出100个．据调查发现，每个商品的售价每降低3元，每日可多售出15个，若商店希望单日盈利达3000元，则需将售价降低多少元？若设降价 x 元，则列出方程为（ ） A．(60−x)(100 + x/3×15) = 3000 B．(60−x−40)(100 + x/3×15) = 3000 C．(60−x−40)(100 + 15x) = 3000 D．(60−3x−40)(100 + 15x) = 3000 【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例8】（25-26九年级上·南宁青秀·期中）若关于x的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (ac ≠ 0) 有一根为 x = 2023，则关于y的一元二次方程 cy² + by + a = 0 (ac ≠ 0) 必有一根为（ ） A．2023 B．−2023 C．1/2023 D．−1/2023 【变式8-1】（25-26八年级下·贵阳云岩·阶段练习）若关于x的方程 (x+h)² + k = 0（h，k均为常数）的解是 x₁ = −4，x₂ = 3，则关于x的方程 (x+h−2)² + k = 0 的解是 ______． 【变式8-2】（25-26九年级上·兰州城关·期中）若关于x的一元二次方程 ax² + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 有一根为 x = 2023，则一元二次方程 a(x+2)² + bx + 2b = −3 必有根为（ ）． A．2025 B．2021 C．2022 D．2023 【变式8-3】（25-26八年级下·昆明盘龙·期中）若关于x的一元二次方程 ax² + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 有一根为 x = 2024，则一元二次方程 a(x−2)² + bx + 3 = 2b 必有一根为（ ） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 参考答案与解析 【题型1 识别一元二次方程】 【例1】答案：D 解析：①x²−16=0是一元二次方程；②(3x+2)(3x−2)=0展开为9x²−4=0，是一元二次方程；③x²=0是一元二次方程；④√(x²−4x+4)=2即|x−2|=2，未知数最高次数不是2，不是一元二次方程。故选D。 【变式1-1】答案：C 解析：A是分式方程；B中二次项系数a可能为0，不一定是一元二次方程；C符合一元二次方程定义；D含有两个未知数x和y。故选C。 【变式1-2】答案：B 解析：B选项含有两个未知数x和y，是二元一次方程，不是一元二次方程。A、C、D都是一元二次方程。故选B。 【变式1-3】答案：B 解析：①5x²−2x=0是一元二次方程；②ax²+bx+c=0中a不确定，不一定是；③2x+1/x=0是分式方程；④3x²−2=(x−1)(x−3)展开整理为2x²+4x−5=0，是一元二次方程；⑤(4x−3)(2x+5)=8x²展开整理为14x−15=0，是一元一次方程。所以一元二次方程有2个，选B。 【题型2 根据一元二次方程的定义求值】 【例2】答案：2 解析：由一元二次方程定义得：|3m|−4 = 2 且 m+2 ≠ 0。由|3m|−4=2得|3m|=6，3m=±6，m=±2。又m+2≠0即m≠−2，所以m=2。 【变式2-1】答案：A 解析：一元二次方程要求二次项系数不为0，即b ≠ 0。故选A。 【变式2-2】答案：3 解析：由题意得2b−4 = 2 且 b+3 ≠ 0。由2b−4=2得2b=6，b=3。又b+3=6≠0，满足条件。所以b=3。 【变式2-3】答案：−2 解析：将x=0代入方程得n²−4=0，解得n=±2。又二次项系数n−2≠0即n≠2，所以n=−2。 【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】 【例3】答案：−2 解析：(2x+3)(x−2)=8展开得2x²−4x+3x−6=8，整理为一般形式：2x²−x−14=0。二次项系数为2，一次项系数为−1，比值为2 : (−1) = −2。 【变式3-1】答案：D 解析：4x²−7x+3=0的二次项系数是4，一次项系数是−7，常数项是3。注意系数不包含未知数x。故选D。 【变式3-2】答案：C 解析：x²+5x−2 = x+7，移项整理得x²+4x−9=0。一次项系数为4，常数项为−9。故选C。 【变式3-3】答案：x² − 5x − 6 = 0 解析：一元二次方程一般形式为ax²+bx+c=0。由题意a=1，b=−5，c=−6，所以方程为x²−5x−6=0。 【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】 【例4】答案：x = ±2√2 解析：nx²+2nx = 4x+16，移项整理得nx²+(2n−4)x−16=0。方程不含x的一次项，则一次项系数为0，即2n−4=0，解得n=2。此时方程为2x²−16=0，即x²=8，解得x=±2√2。 【变式4-1】答案：B 解析：常数项为0，则n²−4=0，解得n=±2。又二次项系数n−2≠0即n≠2，所以n=−2。故选B。 【变式4-2】答案：11 解析：4x²+2x−3 = bx(x−3)，展开右边得bx²−3bx。移项整理得(4−b)x²+(2+3b)x−3=0。二次项系数为1，则4−b=1，解得b=3。一次项系数为2+3b = 2+9 = 11。 【变式4-3】答案：0 解析：5x²−(n+3)x = 3x(x+1)，展开右边得3x²+3x。移项整理得2x²−(n+6)x=0。由题意一次项系数为−6，则−(n+6)=−6，解得n=0。 【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】 【例5】答案：2021 解析：将x=3代入ax²−bx=6得9a−3b=6，化简得3a−b=2。则2025−6a+2b = 2025−2(3a−b) = 2025−2×2 = 2025−4 = 2021。 【变式5-1】答案：A 解析：a是方程x²+2x−5=0的根，则a²+2a−5=0，即a²+2a=5。(a+3)(a−1) = a²+2a−3 = 5−3 = 2。故选A。 【变式5-2】答案：19 解析：m是方程x²−4x−2=0的根，则m²−4m−2=0，即m²−4m=2。则−3m²+12m+25 = −3(m²−4m)+25 = −3×2+25 = −6+25 = 19。 【变式5-3】答案：6 解析：m是方程x²+2x−3=0的根，则m²+2m−3=0，即m²+2m=3。(m+2)²+(m+2)(m−2) = m²+4m+4+m²−4 = 2m²+4m = 2(m²+2m) = 2×3 = 6。 【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】 【例6】答案：13 解析：m是方程x²+2x−5=0的根，则m²+2m−5=0，即m²=5−2m。m³ = m·m² = m(5−2m) = 5m−2m² = 5m−2(5−2m) = 5m−10+4m = 9m−10。代入原式：m³+3m²−3m+8 = (9m−10)+3(5−2m)−3m+8 = 9m−10+15−6m−3m+8 = 13。 【变式6-1】答案：A 解析：a是方程x²=4x−3的根，则a²=4a−3，即a²−4a=−3。所以a²−4a+2025 = −3+2025 = 2022。故选A。 【变式6-2】答案：14 解析：a是方程x²+2x−5=0的根，则a²+2a−5=0，即a²=5−2a。a³ = a·a² = a(5−2a) = 5a−2a² = 5a−2(5−2a) = 5a−10+4a = 9a−10。代入原式：a³+3a²−4a+9 = (9a−10)+3(5−2a)−4a+9 = 9a−10+15−6a−4a+9 = 14。 【变式6-3】答案：6 解析：a是方程x²−x−1=0的根，则a²−a−1=0，即a²=a+1。a³ = a·a² = a(a+1) = a²+a = (a+1)+a = 2a+1。代入原式：a³−2a+5 = (2a+1)−2a+5 = 6。 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 【例7】答案：A 解析：一月营业额300万元，二月营业额300(1+x)万元，三月营业额300(1+x)²万元。第一季度总营业额为三个月之和：300+300(1+x)+300(1+x)² = 300[1+(1+x)+(1+x)²] = 1200。故选A。 【变式7-1】答案：x(x − 1) = 1260 解析：每位同学向其他x−1位同学赠送礼物，共x人，每人送出x−1件，总礼物数为x(x−1)件。所以列方程x(x−1)=1260。 【变式7-2】答案：5m 解析：通道面积占7/20，则花圃面积占1−7/20=13/20。矩形空地总面积=80×50=4000m²，花圃面积=4000×13/20=2600m²。设通道宽为x m，则花圃长为(80−2x)m，宽为(50−2x)m。列方程：(80−2x)(50−2x)=2600，展开得4000−260x+4x²=2600，整理得x²−65x+350=0，解得x=5或x=60（舍去）。所以通道宽为5m。 【变式7-3】答案：B 解析：降价x元后，每件商品利润为(60−x−40)元，每日销量为(100 + x/3×15)个。总利润=单件利润×销量，即(60−x−40)(100 + x/3×15) = 3000。故选B。 【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例8】答案：C 解析：将x=2023代入ax²+bx+c=0得a·2023² + b·2023 + c = 0。因为ac≠0，两边同除以2023²得a + b/2023 + c/2023² = 0，即c·(1/2023)² + b·(1/2023) + a = 0。所以y=1/2023是方程cy²+by+a=0的一个根。故选C。 【变式8-1】答案：x₁ = −2，x₂ = 5 解析：方程(x+h−2)²+k=0可看作将方程(x+h)²+k=0向右平移2个单位得到的，所以解也向右平移2个单位。原方程解为x₁=−4，x₂=3，则新方程解为x₁=−4+2=−2，x₂=3+2=5。 【变式8-2】答案：B 解析：将方程a(x+2)²+bx+2b=−3整理为a(x+2)² + b(x+2) + 3 = 0。令t = x+2，则方程变为at²+bt+3=0。由已知t=2023是方程ax²+bx+3=0的根，所以t=2023，即x+2=2023，解得x=2021。故选B。 【变式8-3】答案：C 解析：将方程a(x−2)²+bx+3=2b整理为a(x−2)² + b(x−2) + 3 = 0。令t = x−2，则方程变为at²+bt+3=0。由已知t=2024是方程ax²+bx+3=0的根，所以t=2024，即x−2=2024，解得x=2026。故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $