专题 26.13 二次函数复习专题（8）——二次函数面积最值、定值存在性问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识梳理框架图系统构建二次函数面积问题的知识体系，涵盖核心解题工具（铅锤法、设点技巧等）、两大核心考点（面积最值、定值存在性）及高频易错点，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从夯实基础的抛物线上动点三角形面积最值到综合提升的面积范围存在性问题，结合铅锤法等技巧培养抽象能力与推理意识。同步检测分选择、填空、解答题，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题 26.13 二次函数复习专题（8）——二次函数面积最值、定值存在性问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 （一）核心解题工具 1 （二）两大核心考点精讲 2 （三）高频易错点总结 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】抛物线上动点三角形面积最值问题 3 【题型2】四边形面积最值问题 8 三.题型精析（综合提升） 13 【题型3】抛物线上动点三角形面积最值问题 14 【题型4】四边形面积最值问题 18 【题型5】三角形面积定值问题（高频压轴） 25 【题型6】面积范围存在性问题（培优拓展） 32 四.同步检测 39 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 39 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 52 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 65 一.知识梳理 本专题为人教版九年级上册二次函数核心重难点，聚焦平面直角坐标系中抛物线与几何图形结合的两大必考题型：面积最值问题、面积定值存在性问题。核心解题逻辑为：以二次函数图象为载体，结合坐标运算、几何面积公式、方程与函数性质，求解动态图形面积的最大值、最小值，以及指定面积定值是否存在、对应动点坐标等问题，是中考几何与函数综合题的高频考查模块。 （一）核心解题工具 1. 铅锤法：抛物线上动态三角形面积求解核心方法，适配所有动点三角形面积问题，规避割补法的繁琐计算。 公式： 水平宽：三角形左右两个定点的水平横坐标差值的绝对值（固定不变）； 铅锤高：中间抛物线上动点，向定点连线直线作竖直垂线的线段长度（随动点变化）。 2. 动点坐标设点技巧 设抛物线动点横坐标为 ，代入抛物线解析式得动点坐标 ；直线上动点可结合一次函数解析式设点，统一变量，简化面积表达式推导。 3. 存在性问题通用思路 假设存在满足条件的动点→根据面积条件列方程/函数→求解参数→检验解的合理性（动点位置、取值范围、图形存在性）→得出结论（存在/不存在，存在则写出坐标）。 （二）两大核心考点精讲 考点1：二次函数面积最值问题 题型本质：将动态几何图形面积转化为二次函数模型，利用二次函数顶点最值求解。 常见图形：抛物线上动点构成的三角形、四边形（梯形、不规则四边形）； 解题步骤： 1.求抛物线、直线解析式，确定定点坐标； 2.设抛物线上动点坐标，用含参数的代数式表示铅锤高、边长等关键量； 3.代入面积公式，整理得到面积关于参数的二次函数； 4.根据自变量取值范围（动点所在图象区间），结合开口方向求最值及对应动点坐标。 考点2：二次函数面积定值存在性问题 题型本质：给定固定面积值，探究是否存在抛物线上动点，使对应图形面积等于该定值。 两类考法：① 直接定值：面积为固定常数，求动点坐标；② 范围定值：面积满足指定区间，探究动点存在性。 解题关键：面积表达式列方程后，根据方程解的个数、解的取值范围判断是否存在符合条件的动点。 （三）高频易错点总结 1. 忽略动点取值范围（如第一象限抛物线上、直线下方抛物线上），导致求出增根； 2. 铅锤高计算符号出错，未取绝对值，导致面积为负数； 3. 四边形面积不会拆分，不会用“割补法”转化为三角形面积和差； 4. 存在性问题求解后，未检验图形是否真实存在（三点共线、图形退化等）。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】抛物线上动点三角形面积最值问题 【例题1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过． （1）求的值； （2）若二次函数与轴相交于点，且该二次函数图象的对称轴与轴交于点，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数与面积综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，进行计算，得，即可作答． （2）先得出，故对称轴为直线，因为与轴交于，所以令，则求出，即，再求出，即，最后运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答． （1）解：∵在上， ∴把代入，得 ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 则对称轴为直线， ∵与轴交于， ∴令，则， ∴， ∵对称轴为直线，该二次函数图象的对称轴与轴交于点， ∴， ∵， ∴， 故． 【变式1】（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定，再解方程得，，所以，设，利用三角形面积公式表示出，然后利用二次函数的性质解决问题． 解：当时，，则， 当时，，解得，则，， ， 设， 当时，面积的最大值为． 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】（2025·安徽安庆·三模）已知抛物线与轴交于点，，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标为______； （2）当时，点是抛物线在第一象限上的一动点，连接，，，若随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线可得对称轴为直线，由，则有点， （）当时，，故有点，求出直线的解析式为， 作轴于点，交于点，由，最后通过二次函数的性质即可求解． 解：（）由， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点， 故答案为：； （）当时，， ∵与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ，解得 ∴直线的解析式为， 作轴于点，交于点，    ∴ ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：． 【变式3】（2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习04铅垂法求面积）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与面积的综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）在中，令，，可得，将，代入即可求解； （2）过点P作轴交于点E，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （1）解：在中， 令，则；令，则，解得； ∴， 将，代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴交于点E， 设点，则 ， ∵， ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； 题型总结：定点三角形+单动点，优先用铅锤法，将斜三角形面积转化为竖直线段长度的二次函数，直接求顶点最值。 【题型2】四边形面积最值问题 【例题2】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值． 【答案】（1）抛物线解析式为；（2）此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为． 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． （1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． 【变式1】（26-27九年级上·山东威海·期中）如图，在中，，边在x轴上，．点P是边上一点，过点P分别作于点E，于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线AB的解析式为，然后设点P的坐标为，可得，从而得到四边形的面积为，再根据二次函数的性质，即可求解． 解：设直线AB的解析式为 ， 把点代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设点P的坐标为， ∵， ∴点C（-1，0）， ∵于点E，于点D， ∴， ∴四边形的面积为 ， ∴当m=3时，四边形的面积最大，此时点P（3，2）． 故选：D 【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键． 根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 【变式3】（第二十二章二次函数突破34二次函数与最值（三）面积最值）如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，点，对称轴为直线是第三象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标． 【答案】（1）；（2）四边形面积的最大值是，此时点N的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式： （1）根据抛物线的对称性可得点，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，根据四边形的面积，即可求解． （1）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴，即， ∵点，， ∴， 设点N的坐标为， 如图，连接， ∴四边形的面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值是， 此时， 此时点N的坐标为． 核心技巧：不规则图形面积优先拆分“定值图形+动态图形”，只对动态部分求最值，简化计算。 三.题型精析（综合提升） 【题型3】抛物线上动点三角形面积最值问题 【例题3】（上册第五章追梦基础训练卷（二））如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. （1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点．点是第三象限抛物线上一动点，连接．则面积的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用配方法来求最值问题． 解：如图，过点作轴于点，交于点， 令，得 ， ， 令，即，解得或， , 设直线的表达式为 ， 将 ，代入， 解得 ， 直线的表达式为， 设，则， ， ， 当时，最大，最大面积为． 故选：C． 【变式2】（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式3】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． （1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 题型总结：定点三角形+单动点，优先用铅锤法，将斜三角形面积转化为竖直线段长度的二次函数，直接求顶点最值。 【题型4】四边形面积最值问题 【例题4】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点是抛物线顶点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）这个二次函数的表达式为______． （2）设直线的解析式为，则不等式的解集为______． （3）连结，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）当四边形的面积最大时，求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，；（4），四边形的最大面积是 【分析】此题考查二次函数的综合知识，顶点式解析式法，不规则图形的面积，二次函数的图象和性质，最值问题，菱形的性质， （1）直接利用顶点式求出解析式即可； （2）先确定B，C的坐标，再利用图象得到不等式的解集； （3）利用菱形的性质得到，即可得到点P的纵坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （4）利用坐标系中几何图形的面积的计算方法建立函数关系式即可求出面积的最大值． 解：（1）∵点是抛物线的顶点， ∴； （2）令，则， ∴或， ∴； 令，则， ∴， ∴不等式的解集为或； （3）存在，如图1， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴点P的纵坐标为， ∵P在抛物线上， ∴， ∴或 ， ∴； （4）过点P作轴，交于E， 设， ∵，， ∴直线解析式为， ∴， ∴ ∵，，， ∴ 当时，最大，最大值为， 此时，， ∴，四边形的最大面积是． 【变式1】（25-26九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象是由的图象经过平移得到的，若图象与x轴交于点A，，与y轴交于点，顶点为点B，则四边形的面积为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数图象的平移，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，求图形面积等知识．由平移可确定a的值，由待定系数法即可求得二次函数的解析式，从而确定顶点B的坐标；由对称性及点C的坐标可求得点A的坐标，根据即可求得结果． 解：∵的图象是由的图象经过平移得到的， ∴， ∴． ∵抛物线过点，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴顶点B的坐标为 ∵抛物线的对称轴为直线， ∴A点坐标为， ∴， 如图，. 【变式2】（2026·吉林长春·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在的左边），与轴交于点，点为此抛物线上的一动点（点在第一象限），连接，则四边形面积的最大值为______．    【答案】 【分析】过作于，如图所示，根据抛物线图像与性质求出的坐标，再由，利用二次函数最值性质求出四边形面积最大值即可得到答案． 解：过作于，如图所示：    设，则， 抛物线与轴交于两点（点在的左边），与轴交于点， 当时，，即；当时，，解得或，即、， ， ， 抛物线开口向下，有最大值，即当时，四边形面积有最大值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数综合的面积最值问题，熟练掌握二次函数综合面积问题解法，灵活运用二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【变式3】（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． （1）求抛物线解析式及点坐标； （2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【答案】（1），；（2）当时，四边形面积最大，最大面积等于 【分析】（1）由直线求出点、坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点坐标； （2）过点作轴于点, 设，则，根据，列出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． （1）解：直线，时，， ， 时，解得：， ， 抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得：，， ∴； （2）如图，过点作轴于点， ，，， ，， ， 点为轴下方抛物线上的点， 设， ， ， ， 当，即时，四边形面积最大，最大面积等于． 核心技巧：不规则图形面积优先拆分“定值图形+动态图形”，只对动态部分求最值，简化计算。 【题型5】三角形面积定值问题（高频压轴） 【例题5】（2024·新疆阿克苏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）当该抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值． 【答案】（1）；（2）；（3）的取值范围为：，定值为 【分析】本题考查了二次函数的综合应用； （1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论； （3）根据图象可得当抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为时，点的位置，从而确定的取值范围，即可求解． （1）解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， 点，， ，点到的距离为， ， 的面积为； （3）设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示， 点与点关于直线对称， 点为 当点在点和点之间时，点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值， 此时的取值范围为：. 【变式1】（21-22九年级上·河南周口·期末）如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________． 【答案】1 【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，求得A、B、C的坐标，即可求得AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，然后根据S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面积是定值1． 解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F， ∵A，B，C三点的横坐标依次为a+1，a，a-1， ∴AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1， ∴S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC =（a2+2a+1+a2-2a+1）×2-（a2+2a+1+a2）×1-（a2+a2-2a+1）×1 =1； ∴△ABC的面积是个定值，这个定值为1． 故答案为：1． 【点拨】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，梯形的性质以及梯形的面积．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．若的面积为6，点P，Q为二次函数图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，直线，分别与y轴交于点M，N． （1）求该二次函数的表达式； （2）若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）；（2）是定值，定值为4 【分析】本题主要考查了待定系数法，对称的性质，几何图形面积的计算方法，等腰三角形的判定及性质，二次函数的图象和性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）当时，可求出点，再由的面积为6，可得，即可求解； （2）先过点作轴，作点关于的对称点，连接，由对称和等腰三角形的性质可得，从而判定，，三点共线，再利用待定系数法依次求出直线，直线和直线的解析式，即可求解． （1）解：由题意，将点代入得， ， 即， ， 当时，即， 解得，，， ， ． 当时，， ， ． 的面积为6， ， 即， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ， 该二次函数的表达式为． （2）解：是定值． 如图，过点作轴，作点关于的对称点，连接，即垂直平分， ，，， ． ， ， ，，三点共线． 点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n， ． ， ， 解得，， ． 设直线的解析式为，， 则， 解得， 直线的解析式为， 故联立得， 解得或， 即． 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， ． 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 是定值，该定值为4． 【变式3】（2024·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点． （1）求的值． （2）点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究： ①当为何值时，四边形是平行四边形． ②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②与的面积之和为定值2 【分析】本题考查了二次函数的性质，画出图形，正确表示相关线段长度是解题的关键． （１）把代入抛物线，即可解答； （２）①求得直线的解析式为，求出点的坐标，利用平行四边形的性质，列方程即可解答； ②把两个三角形的面积表示出来相加，即可． （1）解：把代入抛物线， 可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）①解：如图，设直线的解析式为， 把代入可解得， 直线的解析式为， ， 把代入，可得， 把代入，可得， ，， 若四边形是平行四边形，则，可得， 解得， 当时，四边形是平行四边形； ②解：，， ， 与的面积之和为定值2． 【题型6】面积范围存在性问题（培优拓展） 考法：给定面积取值范围（如面积大于2、小于等于4），探究抛物线上是否存在对应动点，求解动点横坐标的取值范围。 【例题6】（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，点A、在的图象上.已知A、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个.    【答案】4 【分析】根据的面积都等于的面积的一半，可知，分类讨论，①如图所示，当点在直线的下方；②如图所示，当点在直线的上方，根据几何图形的面积计算方法即可求解． 解：∵点在的图像上，的横坐标分别为、， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 在中，令，则， ∴的坐标为， ∴， ∴． 点在函数的图像上，设， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， ①如图所示，当点在直线的下方，过点A作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，    ∵，， ∴，，， ∴，，，，，， ∵， ∴，整理得，， ∴，， ∴，， ∴在直线下方有两个点，使得的面积等于的面积的一半； ②如图所示，当点在直线上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，，，      同理，， ∴， 整理得，， ∴，， ∴，， ∴在直线上方有两个点，使得的面积等于的面积的一半； 综上所述，函数的图像上存在点，使的面积等于的面积的一半，这样的点共有个， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图像上的坐标特征，几何图形的面积的计算方法，运用数形结合思想和分类讨论是解题的关键． 【变式1】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，结合，列式代入数值计算，即可作答． 解：依题意，抛物线上存在一点， 故连接，如图所示： ∵点， ∴， ∵与轴交于两点（在的左侧）， ∴令，则， 解得 ∴， ∴， ∵抛物线上存在一点，使得， ∴， 则， 即， 把代入，得， 解得 观察四个选项，唯有符合题意， 故选：D． 【变式2】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． （1）________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． （2）求的面积． （3）在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）或． 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、三角形面积的计算，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入二次函数即可求出，根据二次函数的图像性质即可得出平移后的图像的函数表达式； （2）设直线的解析式为，将和代入即可求出解析式，再求出交点C坐标，根据即可求解； （3）设，根据面积等于的面积为求出，再代入抛物线求解即可． （1）解：代入二次函数得， 解得， 向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式为：； （2）设直线的解析式为， 将和代入直线的解析式得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线得， 解得， 交点C坐标为， ； （3）设，要求面积等于的面积为， 得， 解得：，， 代入抛物线得， 点的坐标为或． 【变式3】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点B，直线经过A，B两点，点P为二次函数在第一象限的图象上的动点，连接，． （1）求二次函数的解析式． （2）是否存在点P，使得的面积存在最大值？若存在，求出点P的坐标，并求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），面积的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、三角形面积、求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将，代入，利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点作轴交于点，先求出直线解析式为，设，则，利用三角形的面积公式列出二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）解：将，代入 得，， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图所示，过点作轴交于点， ∵抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， 代入，得， 解得：， 直线解析式为， 设，则， ， ∴的面积 ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，的面积有最大值，最大值为． 将代入得，． ∴此时点P的坐标为． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（23-24九年级上·河南周口·期末），分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的综合应用；根据解析式得出抛物线的顶点为，当最大时，的面积最大，进而根据二次函数的性质即可求解． 解：抛物线 该抛物线的顶点为 当最大时，的面积最大， 当时，最大为，即为时的面积最大 故选：A． 2．（专题22.3二次函数测试卷-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读�专题训练》（人教版））若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质，在顶点处取最值解题即可． 解：∵y＝﹣（x﹣2）2+3，a＝﹣1＜0， ∴当x＝2时，y有最大值， 故选A． 【点拨】本题考查二次函数的实际应用—面积问题．关键是掌握二次函数顶点式的意义． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据二次函数对称轴公式和二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线的解析式，并将解析式化为顶点式求出点M的坐标，然后利用三角形面积公式计算即可． 解：∵抛物线的对称轴为x＝−3，点N（−1，1）是抛物线上的一点， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴PN∥y轴，且PN＝1， ∴△PMN的面积为：， 故选：A． 【点拨】本题考查了二次函数对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数顶点坐标的求法，熟练掌握基础知识是解题的关键． 4．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，点在下方的抛物线上（不与点，重合），连接，，设的面积为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，由解析式可得点、点的坐标，当最大时，点在处，求出此时的面积即可，确定面积最大时点的位置是解题关键． 解：∵抛物线的解析式为与x轴交于点，， ∴点， ∵点在轴上， ∴，代入解析式可得， ∴， ∵轴， ∴点， 当点在顶点时，有最大值为， 故选：． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 6．（2025·浙江宁波·一模）如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（      ）    A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】C 解：设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c， ∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点， ∴， 解得， ∴y=﹣x2+5x﹣4， 设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y=kx+m 解得 即直线BC的直线解析式为：y=x﹣4， 设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4） ∴S△ABC==﹣2（x﹣2）2+8， ∴当x=2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8． 故选C． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．先将转化为，过点作轴的平行线交的延长线于点，得到，从而得到，将转化为，利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，点的坐标为，表示出的长，进而表示出，最后根据二次函数的图象与性质求得最大值． 解：由题知， 如图所示，过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ， ， ， 对于函数， 令，则有， 解得，， ，， ， 令，则有， ， 设直线的函数解析式为，则有： ，解得， 直线的函数解析式为， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为， 即的最大值为． 故选：B． 8．（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，设，点是二次函数图象上的动点，将点绕着某定点顺时针旋转，得到新的点，已知点、，的面积的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将点、点绕着点逆时针旋转，由旋转的性质可知，计算、、的长度，得出是等边三角形，求出的斜率，设直线解析式，当直线与抛物线只有一个交点的时候，到直线的距离最小，最小，最小，联立抛物线与直线的解析式，当时，求出，进而求得长度，根据三角形面积公式，即可求解， 本题考查了旋转的性质，一次函数与二次函数交点，两点间距离公式，解题的关键是：通过将点、点绕着点逆时针旋转，找到． 解：将点、点绕着点逆时针旋转，得到点、，连接、、、、、、，过点作直线，与轴交于点，过点作，交的延长线于点， 由旋转的性质可知， ，，， ，是等边三角形，，， ，，，点与点重合， ， 设直线的解析式为：， 与抛物线方程联立，，整理得：， 当直线与抛物线只有一个交点的时候，到直线的距离最小，最小，最小， 此时，，解得：， ，， ， 的最小值为， 故选：． 9．（2024·河南开封·一模）如图1，在中，，点D从点B出发，沿运动，速度为．点P在折线上，且于点D．点D运动时，点P与点A重合．的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当取最大值时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目． 先根据点D运动时，点P与点A重合．从而求得，再由函数图象求得，从而求得，得出，然后根据由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值．所以当时，点P在边上，此时，，根据三角形面积公式求得，最后根据二次函数的性质求解即可． 解：由题意知，点D运动时，点P，D的位置如图1所示． 此时，在中，，，， ∴， ∴． 由函数图象得， ∴， ∴． 由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值． 当时，点P在边上，如图2， 此时，， ∴． ∵， 又∵， ∴当时，的值最大， 此时． 故选：B． 10．（2024·湖北·模拟预测）函数的图像如图所示且其对称轴为直线，E为x轴上方抛物线上一点，在抛物线AE段上有一点F使得三角形AEF面积最大，同理做出M、N使得三角形EFM与三角形AFN面积最大，则下列结论正确的有（    ） ① ②连接则 ③ ④当的最大值为时抛物线定过、 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据开口方向和与y轴交点的位置可得，再由对称轴计算公式得到，据此可判断①；设，，直线解析式为，联立得：，则；设在直线上方且平行于直线的直线解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，直线到直线的距离最大（二者有交点的情况下），即此时点A，点B和直线与抛物线的交点组成的三角形面积最大，联立得：，则可得，即，，同理可得，；求出，则可得到，再证明表示的是直线的一次项系数，同理表示的是直线的一次项系数，则直线与直线的一次项系数相同，据此可判断②；当抛物线解析式为时，且点E坐标为时，则，由②可得，分别求出三个三角形的面积即可判断③；求出的最大值为则，推出，当时，解得或，据此可判断④． 解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴抛物线解析式为 设，，直线解析式为， 联立得：， ∴； 设在直线上方且平行于直线的直线解析式为， 当直线与抛物线只有一个交点时，直线到直线的距离最大（二者有交点的情况下），即此时点A，点B和直线与抛物线的交点组成的三角形面积最大， 联立得：， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，， ∵点A是抛物线与x轴的交点， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴， ∵， ∴， ∴表示的是直线的一次项系数， 同理表示的是直线的一次项系数， ∴直线与直线的一次项系数相同， ∴，故②正确； 当抛物线解析式为时，且点E坐标为时，则， 由②可得， ∴， ∴， ∴， ∴此时有，故③错误； 在中，当时，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴的最大值为 当的最大值为时，则， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，解得或 ∴此时抛物线定过、，故④正确； ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解题的关键在于确定． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，一次函数的应用，勾股定理，先求出，得到，直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，求出，从而可得，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为， ∵， ∴此时的值也最大，为， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知二次函数的图象与轴交于点，过轴上的点作一条平行于轴的直线，交抛物线对称轴于点． ①如图，当时，的面积为___________； ②当时，的面积的最大值为___________． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质：包括抛物线的对称轴（）、与轴交点（时的函数值），以及求最值等． ①是以线段为底，点到的水平距离为高，利用“底高”计算面积； ②通过分析面积的函数表达式（含绝对值），分区间讨论并求最大值． 解：①解：当时，二次函数解析式为， ∵点是抛物线与轴的交点，∴， ∵点坐标为， ∴=， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴点的坐标为， ∴的面积． 故答案为2； ②解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，点（轴交点）的坐标为， ∵点，直线交对称轴于， ∴点的坐标为， ∴的面积． 当时，， ∴， ∵该二次函数图象开口向下，对称轴为直线（在范围内）， ∴此时的最大值为； 当时，， ∴， ∵该二次函数图象开口向上，在范围内随增大而增大， ∴当时，． ∵， ∴当时，面积的最大值为． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线过点A、、，点为抛物线在第四象限部分上的一点，则面积的最大值为______ 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数最值，坐标与图形，求出面积与点P的横x的函数表达式是解题的关键． 过点P作于D，设，则，，再求出，，从而求得，，根据，然后利用二次函数的最值求解即可． 解：过点P作于D，如图， 设， ∵点为抛物线在第四象限部分上的一点， ∴，， ∴，， 令，则， ∴， ∴ ， 令，则， 解得：，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，的值最大，最大值为． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． （1）当时，______； （2）的最大值为_______． 【答案】（1）/0.5；（2）/0.5625 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． （1）解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，点P抛物线上一点，且点P位于直线BC的上方，D为对称轴与直线BC的交点，连接PC，PD，过点P作轴，交BC于点M，则的面积的最大值为________． 【答案】1 【分析】设点，则线段的长度可得，利用，得到与x的函数关系式，利用配方法即可求得的面积的最大值， 解：∵ ∴对称轴为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为, ∵， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 设抛物线的对称轴于x轴交于点E，如图， 设点， ∴ ∵， ∴当时，有最大值1． 【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，掌握上述知识点是解题的关键． 16．（19-20九年级上·山东烟台·期中）如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A.B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是_____ 【答案】1 【分析】先计算当x＝0时的函数值得到C（0，2），解方程﹣x2+x+2＝0得A（2，0），易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2，作DE∥y轴交AC于E，如图，设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2），利用三角形面积公式得到△ACD面积＝×2×DE＝﹣t2+2t，然后根据二次函数的性质解决问题． 解：当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2）， 当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，则A（2，0）， 易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2， 作DE∥y轴交AC于E，如图， 设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2）， ∴DE＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t， ∴△ACD面积＝×2×DE＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， 当t＝1时，△ACD面积有最大值为1． 故答案为1 【点拨】此题根据二次函数性质及三角形面积计算方法列出关于△ACD面积的二次函数关系式是解题关键，从而求得函数最大值. 17．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）已知二次函数（m为常数且），该函数恒过定点A，且与直线交于点B、C． （1）定点A的坐标为____________； （2）面积的最小值为____________． 【答案】 3 【分析】（1）利用，即可求得A的坐标； （2）将二次函数与一次函数联立方程组求得B、C的坐标，直接利用面积公式和二次函数的性质进行求解即可． 解：（1）∵， 当时，， 解得：， ∴定点A的坐标为：； （2）联立， 解得：或， ∴， ∴ ， ∵且， ∴当时，S随m的增大而增大， ∴当时，S有最小值，最小值为：， ∴面积的最小值为 3． 故答案为：；3． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的特征以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键． 18．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是_______．（所有正确的序号都填上） 【答案】①② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识．中令得：，得，从而判断①；中令得：，得，从而判断②；过点作轴，交于点，求出的函数关系式，得出点的坐标为，点的坐标为，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③． 解：∵抛物线与x轴相交于于点，， ∴令得：， 解得：， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与y轴相交于于点C， ∴令得：， ∴， ∴，故②正确； 过点作轴，交于点，如图1所示． 设直线的解析式为， 将、代入， 得，解得， 直线的解析式为． 点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， 点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 当时，面积取最大值，最大值为．故③错误， 故答案为：①②． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式及点坐标． （2）点是抛物线上一点，且当时，的最大值为3，求的面积． 【答案】（1），点为；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求抛物线的表达式以及与面积有关的综合问题. （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，以及当当时，即可求出C点的坐标． （2）根据时，的最大值为3，可确定m的值，进而可求出答案． （1）解：把，代入， 得， 解得：， ； 当时，， ∴点为． （2）由题意得，二次函数经过点 由（1）得，，，； ， 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N．设．的面积为S，求S关于t的函数解析式，若S有最大值，请求出S的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为：；顶点坐标为；（2），当时，有最大值，最大值是． 【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，把一般式转化为顶点式即得顶点坐标； （2）如图1，先求出点B坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，由，则点H、N的横坐标都可以用含t的代数式表示，由即可得到S与t的函数关系式，进一步即可根据二次函数的性质求出S的最大值． （1）解：将，代入， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：由，得或， 则点， 如图，连接、、，    设直线解析式为，代入，，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； ∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值是． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（2025九年级·安徽·专题练习）如图，已知拋物线与轴交于点，与轴交于点．若是拋物线上的一动点，且在直线的上方，则当取得最大值时，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【分析】本题考查二次函数的面积问题，先求出抛物线和直线的解析式，然后过点作轴交于点，设，根据表示面积配方找最值即可解题． 解：设抛物线的解析式为：，把代入得：， 解得：， ． 设直线的表达式为，把和代入得： ，解得：， ∴． 过点作轴交于点， 设， ， 当时，有最大值，此时点的坐标为． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）当时，最大，最大面积为． 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式、二次函数的应用－面积问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的表达式，设，则，求得的长，利用三角形的面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． （1）解：将，代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点D作轴于点F，交于点E，令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，最大面积为． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于． （1）求这个二次函数的解析式的一般式； （2）若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合． （1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解； （2）如图，连接，作轴交于点，可求出直线的解析式，设点的坐标为，的坐标为，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数图象的性质即可求解． （1）解：∵二次函数的图象交轴于点，，交轴于点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接，作轴交于点，    设直线的解析式为，将点和点的坐标代入， ∴，解得， ∴， ∴设点的坐标为，的坐标为， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积取得最大值，此时， ∴， ∴当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】（1）；（2）存在，P点的坐标为；（3）P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【分析】对于（1），根据待定系数法，可得函数解析式； 对于（2），根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案； 对于（3），根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标． （1）解：将B、C两点的坐标代入得， 解得． 所以二次函数的表达式为； （2）解：如图， 存在点P，使四边形为菱形． 设P点坐标为， 交于E 若四边形是菱形，则有． 连接则于E． ， ， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴P点的坐标为； （3）解：如图1， ， 过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F，设， 将点代入关系式，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 则Q点的坐标为． ∴． ， 当时，四边形的面积最大 此时P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【点拨】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形，菱形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，理解用坐标差表示线段长是解题的关键. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.13 二次函数复习专题（8）——二次函数面积最值、定值存在性问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 （一）核心解题工具 1 （二）两大核心考点精讲 2 （三）高频易错点总结 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】抛物线上动点三角形面积最值问题 3 【题型2】四边形面积最值问题 4 三.题型精析（综合提升） 5 【题型3】抛物线上动点三角形面积最值问题 5 【题型4】四边形面积最值问题 7 【题型5】三角形面积定值问题（高频压轴） 8 【题型6】面积范围存在性问题（培优拓展） 10 四.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.知识梳理 本专题为人教版九年级上册二次函数核心重难点，聚焦平面直角坐标系中抛物线与几何图形结合的两大必考题型：面积最值问题、面积定值存在性问题。核心解题逻辑为：以二次函数图象为载体，结合坐标运算、几何面积公式、方程与函数性质，求解动态图形面积的最大值、最小值，以及指定面积定值是否存在、对应动点坐标等问题，是中考几何与函数综合题的高频考查模块。 （一）核心解题工具 1. 铅锤法：抛物线上动态三角形面积求解核心方法，适配所有动点三角形面积问题，规避割补法的繁琐计算。 公式： 水平宽：三角形左右两个定点的水平横坐标差值的绝对值（固定不变）； 铅锤高：中间抛物线上动点，向定点连线直线作竖直垂线的线段长度（随动点变化）。 2. 动点坐标设点技巧 设抛物线动点横坐标为 ，代入抛物线解析式得动点坐标 ；直线上动点可结合一次函数解析式设点，统一变量，简化面积表达式推导。 3. 存在性问题通用思路 假设存在满足条件的动点→根据面积条件列方程/函数→求解参数→检验解的合理性（动点位置、取值范围、图形存在性）→得出结论（存在/不存在，存在则写出坐标）。 （二）两大核心考点精讲 考点1：二次函数面积最值问题 题型本质：将动态几何图形面积转化为二次函数模型，利用二次函数顶点最值求解。 常见图形：抛物线上动点构成的三角形、四边形（梯形、不规则四边形）； 解题步骤： 1.求抛物线、直线解析式，确定定点坐标； 2.设抛物线上动点坐标，用含参数的代数式表示铅锤高、边长等关键量； 3.代入面积公式，整理得到面积关于参数的二次函数； 4.根据自变量取值范围（动点所在图象区间），结合开口方向求最值及对应动点坐标。 考点2：二次函数面积定值存在性问题 题型本质：给定固定面积值，探究是否存在抛物线上动点，使对应图形面积等于该定值。 两类考法：① 直接定值：面积为固定常数，求动点坐标；② 范围定值：面积满足指定区间，探究动点存在性。 解题关键：面积表达式列方程后，根据方程解的个数、解的取值范围判断是否存在符合条件的动点。 （三）高频易错点总结 1. 忽略动点取值范围（如第一象限抛物线上、直线下方抛物线上），导致求出增根； 2. 铅锤高计算符号出错，未取绝对值，导致面积为负数； 3. 四边形面积不会拆分，不会用“割补法”转化为三角形面积和差； 4. 存在性问题求解后，未检验图形是否真实存在（三点共线、图形退化等）。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】抛物线上动点三角形面积最值问题 【例题1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过． （1）求的值； （2）若二次函数与轴相交于点，且该二次函数图象的对称轴与轴交于点，连接，求的面积． 【变式1】（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽安庆·三模）已知抛物线与轴交于点，，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标为______； （2）当时，点是抛物线在第一象限上的一动点，连接，，，若随的增大而增大，则的取值范围是______． 【变式3】（2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习04铅垂法求面积）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； 题型总结：定点三角形+单动点，优先用铅锤法，将斜三角形面积转化为竖直线段长度的二次函数，直接求顶点最值。 【题型2】四边形面积最值问题 【例题2】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值． 【变式1】（26-27九年级上·山东威海·期中）如图，在中，，边在x轴上，．点P是边上一点，过点P分别作于点E，于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【变式3】（第二十二章二次函数突破34二次函数与最值（三）面积最值）如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，点，对称轴为直线是第三象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标． 核心技巧：不规则图形面积优先拆分“定值图形+动态图形”，只对动态部分求最值，简化计算。 三.题型精析（综合提升） 【题型3】抛物线上动点三角形面积最值问题 【例题3】（上册第五章追梦基础训练卷（二））如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 【变式1】（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点．点是第三象限抛物线上一动点，连接．则面积的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【变式3】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 题型总结：定点三角形+单动点，优先用铅锤法，将斜三角形面积转化为竖直线段长度的二次函数，直接求顶点最值。 【题型4】四边形面积最值问题 【例题4】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点是抛物线顶点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）这个二次函数的表达式为______． （2）设直线的解析式为，则不等式的解集为______． （3）连结，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）当四边形的面积最大时，求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 【变式1】（25-26九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象是由的图象经过平移得到的，若图象与x轴交于点A，，与y轴交于点，顶点为点B，则四边形的面积为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】（2026·吉林长春·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在的左边），与轴交于点，点为此抛物线上的一动点（点在第一象限），连接，则四边形面积的最大值为______．    【变式3】（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． （1）求抛物线解析式及点坐标； （2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 核心技巧：不规则图形面积优先拆分“定值图形+动态图形”，只对动态部分求最值，简化计算。 【题型5】三角形面积定值问题（高频压轴） 【例题5】（2024·新疆阿克苏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）当该抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值． 【变式1】（21-22九年级上·河南周口·期末）如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．若的面积为6，点P，Q为二次函数图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，直线，分别与y轴交于点M，N． （1）求该二次函数的表达式； （2）若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【变式3】（2024·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点． （1）求的值． （2）点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究： ①当为何值时，四边形是平行四边形． ②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由． 【题型6】面积范围存在性问题（培优拓展） 考法：给定面积取值范围（如面积大于2、小于等于4），探究抛物线上是否存在对应动点，求解动点横坐标的取值范围。 【例题6】（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，点A、在的图象上.已知A、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个.    【变式1】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． （1）________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． （2）求的面积． （3）在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点B，直线经过A，B两点，点P为二次函数在第一象限的图象上的动点，连接，． （1）求二次函数的解析式． （2）是否存在点P，使得的面积存在最大值？若存在，求出点P的坐标，并求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（23-24九年级上·河南周口·期末），分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．（专题22.3二次函数测试卷-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读�专题训练》（人教版））若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，点在下方的抛物线上（不与点，重合），连接，，设的面积为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 6．（2025·浙江宁波·一模）如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（      ）    A．7 B．7.5 C．8 D．9 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，设，点是二次函数图象上的动点，将点绕着某定点顺时针旋转，得到新的点，已知点、，的面积的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 9．（2024·河南开封·一模）如图1，在中，，点D从点B出发，沿运动，速度为．点P在折线上，且于点D．点D运动时，点P与点A重合．的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当取最大值时，的长为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖北·模拟预测）函数的图像如图所示且其对称轴为直线，E为x轴上方抛物线上一点，在抛物线AE段上有一点F使得三角形AEF面积最大，同理做出M、N使得三角形EFM与三角形AFN面积最大，则下列结论正确的有（    ） ① ②连接则 ③ ④当的最大值为时抛物线定过、 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是______． 12．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知二次函数的图象与轴交于点，过轴上的点作一条平行于轴的直线，交抛物线对称轴于点． ①如图，当时，的面积为___________； ②当时，的面积的最大值为___________． 13．（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线过点A、、，点为抛物线在第四象限部分上的一点，则面积的最大值为______ 14．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． （1）当时，______； （2）的最大值为_______． 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，点P抛物线上一点，且点P位于直线BC的上方，D为对称轴与直线BC的交点，连接PC，PD，过点P作轴，交BC于点M，则的面积的最大值为________． 16．（19-20九年级上·山东烟台·期中）如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A.B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是_____ 17．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）已知二次函数（m为常数且），该函数恒过定点A，且与直线交于点B、C． （1）定点A的坐标为____________； （2）面积的最小值为____________． 18．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是_______．（所有正确的序号都填上） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式及点坐标． （2）点是抛物线上一点，且当时，的最大值为3，求的面积． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N．设．的面积为S，求S关于t的函数解析式，若S有最大值，请求出S的最大值；若没有，请说明理由． 21．（本小题满分10分）（2025九年级·安徽·专题练习）如图，已知拋物线与轴交于点，与轴交于点．若是拋物线上的一动点，且在直线的上方，则当取得最大值时，求点的坐标． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于． （1）求这个二次函数的解析式的一般式； （2）若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $