第3讲 一元二次方程的应用 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程应用，系统梳理韦达定理（根与系数关系）、二次三项式因式分解（判别式与分解关系）、应用模型（增长率、传染、面积、利润等）及几何与方程综合，构建从基础概念到实际应用的递进式学习支架。 资料含思维导图总览知识，典型例题融合中考真题（如南宁二模根与系数题、普陀区期末因式分解题），创新题结合生活情境（如流感传染、利润问题）。通过“整体代入”“转化建模”培养数学思维（推理能力、运算能力），几何图形与方程结合发展几何直观和模型意识，课中辅助教师系统授课，课后分层练习助学生查漏补缺。

第3讲 一元二次方程的应用 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册（精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能灵活运用求对称式的值。 · 理解二次三项式在实数范围内因式分解的方法，掌握判别式与分解的关系。 · 能正确列出一元二次方程解决实际问题（增长率、传染、面积、利润等）。 · 能结合几何图形与方程建模，解决综合应用题。 · 体会“整体代入”“转化建模”等数学思想。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若 （）的两个根为 ，则 ，。 · 常见对称式：；。 · 利用韦达定理可构造方程、求参数、求对称式的值。 典型例题 1 （2026·南宁二模）， 是关于 的一元二次方程 两个根，则 值为（　） A．5 B．−5 C．2 D．−2 解析： 由韦达定理，。 答案：B ☆ 2. 二次三项式在实数范围内的因式分解 对于二次三项式 ，若对应方程 的两个根为 ，则 。 · 若 ，可在实数范围内分解；若 ，则不能（在实数范围内）。 · 二次项系数不为0时，要先提取二次项系数。 典型例题 2 （2025秋·普陀区期末）如果二次三项式 在实数范围内不能分解因式，那么 的取值范围是（　） A． 且 B． 且 C． D． 解析： 不能分解 ⇔ 对应方程 无实数根，。 答案：C ☆ 3. 一元二次方程的应用常见模型 · 增长率问题： 基础量 × (1+增长率) = 最终量。 · 传播问题： 1轮传染：。 · 面积问题： 通过平移或分割，将不规则图形转化为规则图形，列方程。 · 利润问题： 单件利润 × 销量 = 总利润，注意降价与销量的关系。 · 数字、比赛（单循环）问题： 场次 = （单循环）或 （双循环）。 典型例题 3 （2026·江津区校级二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感。设每轮传染中平均一个人传染 个人，则第三轮传染后共有（　）个人患流感。 A．8 B．9 C．648 D．729 解析： ，第三轮后人数 。 答案：D ☆ 知识总结表 核心概念 公式/方法 注意事项 韦达定理 ， 前提：方程有实数根（） 二次三项式分解 时可分解； 不可分解 增长率问题 注意增长次数，解出 后取正 传播问题 总人数 两轮传染，每轮人均传染数相同 面积问题 通过平移转化为规则图形面积 注意道路宽度、重叠部分处理 利润问题 单件利润 × 销量 = 总利润 降价与销量的线性关系 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】根与系数的关系（第1–14题） ※ 方法总结 · 已知两根关系求参数：利用韦达定理建立方程（组），注意 验证。 · 求对称式的值：将目标式用 和 表示，整体代入。 · 构造新方程：以某两数为根，利用韦达定理逆定理。 1．（2025秋•茂南区期末）已知a，b是方程x2﹣x﹣6＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣4 D．8 2．（2025秋•鲁山县期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b﹣ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．15 D．17 3．（2026•江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 4．（2026春•黄岩区期中）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 5．（2026•丛台区校级二模）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 6．（2026•苍梧县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•永顺县期末）已知x1，x2是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，且x1+x2+x1x2的值是（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D．1 8．（2026•平邑县一模）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则另一个根为 　 　 ． 9．（2025秋•双流区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根为x1，x2，则的值是　 　 ． 10．（2026•南京一模）设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+3x2＝5，则m的值为 　 　 ． 11．（2026•相城区二模）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则　 　 ． 12．（2024秋•渭滨区校级月考）阅读材料：如果a，b分别是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则有a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0；创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2009＝ 　 　 ． 13．（2025秋•锡山区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 14．（2025春•钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0． （1）求证：该方程必有两个不相等的实数根． （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求k的值． 【考点2】二次三项式的因式分解（第15–20题） ※ 方法总结 · 判断能否分解：计算 ，若 则能分解，否则不能。 · 分解步骤：令对应二次方程 =0 求两根，再写 。 · 注意：若二次项系数不为1，最后要乘上 。 15．二次三项式ax2+bx+c（a≠0）在实数范围内能够因式分解的条件是（　　） A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．以上都不对 16．（2024春•奉贤区期末）如果二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（　　） A．p≤9 B．p≥9 C．p＜9 D．p＞9 17．（2024秋•长宁区期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣5x﹣1＝　 　 ． 18．（2025秋•徐汇区校级月考）在实数范围内因式分解：2x2+5x﹣7＝　 　 ． 19．（2024秋•崇明区期中）如果关于x的二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D．且a≠0 20．（2024秋•长宁区校级期中）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（　　） A．2x2+1 B．x2+x+2 C．3x2+kx﹣1 D．x2﹣x+k 【考点3】一元二次方程的应用（第21–31题） ※ 方法总结 · 审清题意，确定等量关系，设未知数。 · 增长率、传播问题注意基数和次数；面积问题利用平移简化图形。 · 利润问题注意“降价—销量—利润”的关系，通常设降价 元。 · 解方程后要检验根的合理性（正数、符合实际意义）。 21．（2025秋•梁溪区校级期末）将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价多少元？（　　） A．10 B．22 C．2或22 D．10或22 22．（2026•海安市校级二模）如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　） A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m 23．（2026•抚顺校级模拟）2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．30% D．40% 24．（2026•万州区二模）某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 25．（2026春•垦利区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 26．（2026春•上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，则t的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 27．（2025秋•涟源市期末）2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程，某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为　 　 m． 28．（2025秋•杨浦区期末）古书中记载了这样一个问题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”其大意是：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，则诸侯有　 　 人． 29．（2026•福州模拟）某种T恤原价200元/件，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/件．现假定两次降价的百分率相同，则该种T恤平均每次降价的百分率为　 　 ． 30．（2025秋•沛县期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 31．（2025秋•平陆县期末）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【考点4】创新及压轴题（第32–34题） ※ 方法总结 · 结合几何图形（矩形、道路、花圃）与方程，注意利用整体面积关系。 · 赵爽几何解法：将方程 转化为 ，用矩形拼图求解正根。 · 综合题常涉及不等式、函数最值，需灵活运用判别式和二次函数性质。 32．（2026春•虹口区校级期中）我们可以用标准体重法来判断是否肥胖： 7～16岁少年儿童的标准体重的计算方法：标准体重（千克）＝年龄×2+8； 肥胖程度的计算公式：肥胖程度． 一般地，我们可以按照肥胖程度将肥胖分为三种类型，如表所示： 肥胖程度 20%～30% 30%～40% 40%以上 肥胖类型 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 （1）小胖今年12岁，体重40千克，请你判断一下小胖是否肥胖？如果是，那么他属于哪一类的肥胖？ （2）为了管理体重，小胖决定每天在学校操场上沿着跑道跑步进行锻炼，跑道的长度是一个由长方形和两端的半圆组成的图形的周长（如图）．经过测试，小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低10%．小胖咨询医生后得知，如果要达到减重的目的，跑步需要同时满足以下两个条件： ①每天跑步的总路程不少于3千米； ②每天连续跑步时间不少于30分钟． 现在小胖计划每天放学后在操场上连续跑7圈，这个计划是否能满足减重的条件？请通过计算加以说明（π取3.14）． （3）小胖想自己既然已经运动健身，那么吃一点自己喜欢的零食应该没啥问题．于是他买了一包100克的薯片，包装袋上显示总热量为552千卡．他上网查了一下，跑步热量消耗公式如下： 跑步消耗的热量（千卡）≈体重（千克）×跑步距离（千米） 请你帮助小胖估算一下，按照现在40千克的体重，要完全消耗掉这包薯片的热量．他至少需要在操场上跑几圈？（结果保留整数） 33．（2026春•淄博校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点分别从，A，B两点同时出发，出发时间为t（t＞0，单位：s）．有下列结论： （1）PB＝　 　 cm，BQ＝　 　 cm（用含t的式子表示）； （2）S△PBQ＝　 　 cm2（用含t的式子表示），S△PBQ的最大值是　 　 ； （3）当△PBQ的面积是9时，t的值是　 　 ． 34．（2026春•东平县期末） 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 随堂检测 · 精选练习 练习1 根与系数的关系 练习2 二次三项式因式分解 练习3 增长率问题 练习4 面积问题 练习5 利润问题 【练习1】（2025秋•伊金霍洛旗期末）若x1+x2＝3，x1x2＝2，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0 【练习2】下列多项式在实数范围内能分解因式的是（　　） A．x2+5 B．2x2﹣4x﹣1 C．x2﹣2xy+3y2 D．x2﹣xy+y2 【练习3】（2025秋•长宁区校级期末）学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于　 　 米． 【练习4】（2026•普陀区二模）学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10m的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为20m的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为48m2，则AD的长为　 　 m． 【练习5】“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山红．”端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客．若已知杨梅的售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降x元，则每天能售出　 　 千克（用含x的代数式表示）． （2）当杨梅售价为每千克多少元时，每天能获得9072元的销售额？ （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 根与系数的关系（求值） 作业2 二次三项式因式分解 作业3 增长率问题 作业4 传播问题 作业5 面积问题 作业6 单循环赛问题 作业7 几何解法（赵爽） 作业8 面积问题（矩形边框） 作业9 增长率+利润 作业10 增长率+利润 ❤ 复习建议 韦达定理是工具： 灵活运用整体代入，将条件转化为两根和与积的关系，注意 的验证。 因式分解与判别式： 牢记二次三项式分解的条件，能快速判断能否分解，并准确写出分解式。 应用题要建模： 仔细读题，抓住“等量关系”，设未知数，列方程，特别关注“单位”“范围”检验。 面积问题巧平移： 利用平移将小路、边框等转化为规则图形，简化计算。 创新题重理解： 新定义或几何解法题目，要耐心阅读，将陌生情境转化为熟悉的方程模型。 【作业1】（2026春•拱墅区月考）关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝3，则代数式3x2+bx+c因式分解的结果是（　　） A．（x+2）（x+3） B．3（x+2）（x+3） C．（x﹣2）（x﹣3） D．3（x﹣2）（x﹣3） 【作业2】（2025春•漳州期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣2xy+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2+2x D．﹣x2+y2 【作业3】（2025秋•隆昌市校级期末）某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为45m），其他边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏）、若车棚的占地面积为384m2，则车棚的长BC为（　　） A．48m B．24m C．20m D．16m 【作业4】（2026春•包河区期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．7 B．8 C．448 D．512 【作业5】（2026•北碚区校级模拟）某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（　　） A．18% B．20% C．32% D．36% 【作业6】（2025秋•铁岭县期末）社区利用一块矩形空地ABCD修建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为xm的道路．已知铺花砖的面积为640m2，则道路的宽是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【作业7】（2025秋•宝山区校级期末）某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则这个增长率为 　 　 ． 【作业8】（2025秋•番禺区期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的图解法是：如图，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，，AC＝b，在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x的一元二次方程x2+ax＝16（a＞0）的图解，若，则a的值为　 　 ． 【作业9】（2025秋•盖州市期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套．如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【作业10】（2026•墨竹工卡县校级三模）某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件39元． （1）若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？ （2）若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 一元二次方程的应用 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册（精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能灵活运用求对称式的值。 · 理解二次三项式在实数范围内因式分解的方法，掌握判别式与分解的关系。 · 能正确列出一元二次方程解决实际问题（增长率、传染、面积、利润等）。 · 能结合几何图形与方程建模，解决综合应用题。 · 体会“整体代入”“转化建模”等数学思想。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若 （）的两个根为 ，则 ，。 · 常见对称式：；。 · 利用韦达定理可构造方程、求参数、求对称式的值。 典型例题 1 （2026·南宁二模）， 是关于 的一元二次方程 两个根，则 值为（　） A．5 B．−5 C．2 D．−2 解析： 由韦达定理，。 答案：B ☆ 2. 二次三项式在实数范围内的因式分解 对于二次三项式 ，若对应方程 的两个根为 ，则 。 · 若 ，可在实数范围内分解；若 ，则不能（在实数范围内）。 · 二次项系数不为0时，要先提取二次项系数。 典型例题 2 （2025秋·普陀区期末）如果二次三项式 在实数范围内不能分解因式，那么 的取值范围是（　） A． 且 B． 且 C． D． 解析： 不能分解 ⇔ 对应方程 无实数根，。 答案：C ☆ 3. 一元二次方程的应用常见模型 · 增长率问题： 基础量 × (1+增长率) = 最终量。 · 传播问题： 1轮传染：。 · 面积问题： 通过平移或分割，将不规则图形转化为规则图形，列方程。 · 利润问题： 单件利润 × 销量 = 总利润，注意降价与销量的关系。 · 数字、比赛（单循环）问题： 场次 = （单循环）或 （双循环）。 典型例题 3 （2026·江津区校级二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感。设每轮传染中平均一个人传染 个人，则第三轮传染后共有（　）个人患流感。 A．8 B．9 C．648 D．729 解析： ，第三轮后人数 。 答案：D ☆ 知识总结表 核心概念 公式/方法 注意事项 韦达定理 ， 前提：方程有实数根（） 二次三项式分解 时可分解； 不可分解 增长率问题 注意增长次数，解出 后取正 传播问题 总人数 两轮传染，每轮人均传染数相同 面积问题 通过平移转化为规则图形面积 注意道路宽度、重叠部分处理 利润问题 单件利润 × 销量 = 总利润 降价与销量的线性关系 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】根与系数的关系（第1–14题） ※ 方法总结 · 已知两根关系求参数：利用韦达定理建立方程（组），注意 验证。 · 求对称式的值：将目标式用 和 表示，整体代入。 · 构造新方程：以某两数为根，利用韦达定理逆定理。 1．（2025秋•茂南区期末）已知a，b是方程x2﹣x﹣6＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣4 D．8 【分析】设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1、x2，则，．据此求得a+b＝1，ab＝﹣6，进而代值求解即可． 【解答】解：由条件可知a+b＝1，ab＝﹣6， ∴（a+1）（b+1）＝ab+（a+b）+1＝﹣6+1+1＝﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系． 2．（2025秋•鲁山县期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b﹣ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．15 D．17 【分析】由a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，可得a+b＝﹣1，ab＝﹣8，a2+a﹣8＝0，将所求式子变形后再代入可算得答案． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1，ab＝﹣8，a2+a﹣8＝0， ∴a2+a＝8， ∴a2+2a+b﹣ab ＝（a2+a）+（a+b）﹣ab ＝8+（﹣1）﹣（﹣8） ＝15． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义和根与系数的关系． 3．（2026•江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 【分析】由题意得到Δ＝b2+8b≥0，x1，x2，再由，得到方程b2+4b＝12，解得b，分别代入Δ＝b2+8b进行检验即可得到答案． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ∵， ∴b2+4b＝12， 解得b， 当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意， 当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意， ∴b＝2， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识，准确计算是解题的关键． 4．（2026春•黄岩区期中）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【分析】由条件可知x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，代入x1+x2﹣x1x2求值即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8， 故选：C． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 5．（2026•丛台区校级二模）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得到m+n＝2，mn，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 6．（2026•苍梧县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k， ∵x1+x2＝3x1x2， ∴4＝3k， 解得：， 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟记一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 7．（2025秋•永顺县期末）已知x1，x2是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，且x1+x2+x1x2的值是（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D．1 【分析】由根与系数的关系得出x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，从而得出结论． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1， ∴x1+x2+x1x2＝﹣3+1＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查根于系数的关系，关键是掌握根与系数的关系． 8．（2026•平邑县一模）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则另一个根为 　2　 ． 【分析】根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【解答】解：∵已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0， ∴a＝1，b＝﹣3， ∴， ∵x1＝1， ∴x2＝3﹣x1＝3﹣1＝2， 即方程的另一个根为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 9．（2025秋•双流区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根为x1，x2，则的值是　6　 ． 【分析】先根据根与系数的关系求出x1+x2＝3，x1•x2＝2，再代入计算即可． 【解答】解：由条件可知，， ∴． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1，x2与系数的关系：，． 10．（2026•南京一模）设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+3x2＝5，则m的值为 　2　 ． 【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝3、x1x2＝m，结合x1+3x2＝5可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝m． ∵x1+x2+2x2＝5， ∴3+2x2＝5， ∴x2＝1， ∴x1＝2， ∵x1x2＝m． ∴m＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 11．（2026•相城区二模）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则　9　 ． 【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝3，根据方程解的定义得3x1+1＝0，即3x1﹣1，代入所求的式子计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，3x1+1＝0，x1x2＝1， ∴3x1﹣1， ∴3x2+x1x2 ＝3x1﹣1+3x2+1 ＝3（x1+x2） ＝3×3 ＝9． 故填空答案：9． 【点评】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 12．（2024秋•渭滨区校级月考）阅读材料：如果a，b分别是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则有a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0；创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2009＝ 　2020　 ． 【分析】根据题意，m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，则可将m，n看作是一元二次方程x2﹣x＝3的两个实数根，利用根与系数的关系求得m+n＝1，mn＝﹣3，再由n2﹣n＝3得n2＝n+3，进而把代数式转化为2（n+3）﹣mn+2m+2009，整理后代入m+n、mn的值计算即可求解． 【解答】解：∵m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3， ∴可将m，n看作是一元二次方程x2﹣x＝3的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣3， ∵n2﹣n＝3， ∴2n2﹣mn+2m+2009 ＝2（n+3）﹣mn+2m+2009 ＝2（m+n）﹣mn+2015， ＝2×1﹣（﹣3）+2015， ＝2020， 故答案为：2020． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，将m，n看作是一元二次方程x2﹣x＝3的两个实数根是解题的关键． 13．（2025秋•锡山区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【分析】（1）证明Δ＞0，可得结论； （2）根据方程解的定义求出k的值，再求出方程的根可得结论． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\ ＝k2+4k+4﹣8k+4 ＝k2﹣4k+4+4 ＝（k﹣2）2+4， ∵（k﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根为3， ∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， ∴k＝2， ∴方程为x2﹣4x+3＝0， ∴x1＝3，x1＝1， ∴另一个根为1，k＝2． 【点评】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型． 14．（2025春•钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0． （1）求证：该方程必有两个不相等的实数根． （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求k的值． 【分析】（1）依据题意，由一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0，可得Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1）＝4k2﹣4k+1﹣4k2+4k＝1＞0，进而可以判断得解； （2）依据题意，由一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0，则x1+x2＝﹣2k+1，x1•x2＝k（k﹣1）＝k2﹣k，则，又，从而，进而计算可以判断得解． 【解答】（1）证明：由题意，∵一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1） ＝4k2﹣4k+1﹣4k2+4k ＝1＞0． ∴该方程必有两个不相等的实数根． （2）解：由题意，∵一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0， ∴x1+x2＝﹣2k+1，x1•x2＝k（k﹣1）＝k2﹣k． ∴． 又∵， ∴． ∴k或k＝﹣1． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式，解题时要熟练掌握并能灵活根与系数的关系是关键． 【考点2】二次三项式的因式分解（第15–20题） ※ 方法总结 · 判断能否分解：计算 ，若 则能分解，否则不能。 · 分解步骤：令对应二次方程 =0 求两根，再写 。 · 注意：若二次项系数不为1，最后要乘上 。 15．二次三项式ax2+bx+c（a≠0）在实数范围内能够因式分解的条件是（　　） A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．以上都不对 【分析】由题意可得ax2+bx+c＝0（a≠0）必须有实数根，根据根的判别式即可求得答案． 【解答】解：∵二次三项式ax2+bx+c（a≠0）在实数范围内能够因式分解， ∴ax2+bx+c＝0（a≠0）必须有实数根， ∴b2﹣4ac≥0， 故选：A． 【点评】本题考查因式分解及一元二次方程根的判别式，结合已知条件得出ax2+bx+c＝0（a≠0）必须有实数根是解题的关键． 16．（2024春•奉贤区期末）如果二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（　　） A．p≤9 B．p≥9 C．p＜9 D．p＞9 【分析】根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出p的范围即可． 【解答】解：∵二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式， ∴Δ＝36﹣4p≥0， 解得：p≤9， 故选：A． 【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 17．（2024秋•长宁区期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣5x﹣1＝　2（x）（x）　 ． 【分析】设多项式等于0，解出方程两根，再分解因式即可． 【解答】解：令2x2﹣5x﹣1＝0， Δ＝25+8＝33＞0， x， ∴2x2﹣5x﹣1＝2（x）（x）． 故答案为：2（x）（x）． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式．先求出方程的两个根，再根据ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）即可因式分解． 18．（2025秋•徐汇区校级月考）在实数范围内因式分解：2x2+5x﹣7＝　（2x+7）（x﹣1）　 ． 【分析】先通过十字相乘法拆分二次项与常数项的系数即可． 【解答】解：将2x2+5x﹣7拆分为两个一次式的乘积可得： 2x2+5x﹣7＝（2x+7）（x﹣1）． 故答案为：（2x+7）（x﹣1）． 【点评】本题考查了二次三项式在实数范围内的因式分解，解题的关键是利用十字相乘法或求根公式分解多项式． 19．（2024秋•崇明区期中）如果关于x的二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D．且a≠0 【分析】因二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，所以ax2+3x+4＝0有实数根，据此求解即可． 【解答】解：∵二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式， ∴ax2+3x+4＝0有实数根， ∴Δ＝9﹣16a≥0，a≠0， ∴且a≠0． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0． 20．（2024秋•长宁区校级期中）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（　　） A．2x2+1 B．x2+x+2 C．3x2+kx﹣1 D．x2﹣x+k 【分析】令关于x的二次三项式等于0得到一元二次方程，然后利用根的判别式的意义判断方程是否有实数解，若有实数解，则能说明二次三项式在实数范围内因式分解． 【解答】解：对于一元二次方程3x2+kx﹣1＝0， ∵Δ＝k2﹣4×3×（﹣1）＝k2+12＞0， ∴方程有两个实数解， ∴3x2+kx﹣1一定能在实数范围内因式分解． 故选：C． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式：实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）． 【考点3】一元二次方程的应用（第21–31题） ※ 方法总结 · 审清题意，确定等量关系，设未知数。 · 增长率、传播问题注意基数和次数；面积问题利用平移简化图形。 · 利润问题注意“降价—销量—利润”的关系，通常设降价 元。 · 解方程后要检验根的合理性（正数、符合实际意义）。 21．（2025秋•梁溪区校级期末）将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价多少元？（　　） A．10 B．22 C．2或22 D．10或22 【分析】设应降价x元，则每件利润为（80﹣50﹣x）元，销售量为（30+5x），根据现欲每天盈利1120元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设应降价x元，则每件利润为（80﹣50﹣x）元，销售量为（30+5x）， 由题意得：（80﹣50﹣x）（30+5x）＝1120， 整理得：x2﹣24x+44＝0， 解得：x1＝2，x2＝22， 即应降价2元或22元， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（2026•海安市校级二模）如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　） A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m 【分析】设BC＝xm，则ABm，根据矩形鸡舍ABCD的面积为28m2，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设BC＝xm，则ABm， 根据题意得：x•28， 整理得：x2﹣15x+56＝0， 解得：x1＝7，x2＝8， 又∵墙长7.5m， ∴x＝7， 即BC的长为7m， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（2026•抚顺校级模拟）2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．30% D．40% 【分析】设访问人次的月平均增长率为x，则5月份访问的人次为150（1+x）次，6月份访问的人次为150（1+x）2次，依题意列出方程，求解即可． 【解答】解：设访问人次的月平均增长率为x，则5月份访问的人次为150（1+x）次，6月份访问的人次为150（1+x）2次， 依题意得一样原二次方程：150+150（1+x）+150（1+x）2＝546， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）， ∴访问人次的月平均增长率为20%， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 24．（2026•万州区二模）某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 【分析】设2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是x，根据某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【解答】解：设2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝162， 整理得：x2﹣2x+0.19＝0， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25．（2026春•垦利区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴， 设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，2x2﹣24x+56＝0， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 即当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为2s． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 26．（2026春•上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，则t的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【分析】由题意可知AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm，根据△PBQ的面积等于8cm2，列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：由题意可知，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm， 由题意得：（6﹣t）×2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4， 当t＝2时，2t＝4＜7，符合题意； 当t＝4时，2t＝8＞7，不符合题意，舍去； 即t的值为2， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27．（2025秋•涟源市期末）2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程，某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为　1　 m． 【分析】设所修道路的宽为xm，将道路进行平移后，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设所修道路的宽为xm， 根据题意得：（24﹣x）（36﹣x）＝805， 整理得：x2﹣60x+59＝0． 解得：x1＝59（不合题意，舍去），x2＝1． 即所修道路的宽为1m， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 28．（2025秋•杨浦区期末）古书中记载了这样一个问题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”其大意是：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，则诸侯有　6　 人． 【分析】设诸侯共有x人，则每人行礼（x﹣1）次，根据每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设诸侯有x人，则每人行礼（x﹣1）次， 由题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）， 即诸侯有6人． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 29．（2026•福州模拟）某种T恤原价200元/件，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/件．现假定两次降价的百分率相同，则该种T恤平均每次降价的百分率为　30%　 ． 【分析】设该种T恤平均每次降价的百分率为x，利用该种T恤的现价＝该种T恤的原价×（1﹣该种T恤平均每次降价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该种T恤平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝98， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）， 即该种T恤平均每次降价的百分率为30%． 故答案为：30%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 30．（2025秋•沛县期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【分析】（1）设售价应定为x元，则每个利润为（x﹣20）元，销量为个，利用总利润为8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为y，根据两周后销售量达到了484个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每个利润为（x﹣20）元，销量为个， 由题意得：， 整理得：x2﹣100x+2400＝0， 解得：x1＝40，x2＝60（不符合题意，舍去）， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为40元； （2）由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为y， 由题意得：400（1+y）2＝484， 解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 31．（2025秋•平陆县期末）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　（47﹣3x）　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【分析】（1）根据题意列出AD＝45﹣x﹣2（x﹣1），计算整式的加减即可得； （2）根据题意建立方程x（47﹣3x）＝180，解方程求出x的值，再根据AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米即可得； （3）根据题意建立方程x（47﹣3x）＝240，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【解答】解：（1）由题意得：AD＝45﹣x﹣2（x﹣1）＝47﹣3x（米）， 故答案为：（47﹣3x）． （2）由题意得：x（47﹣3x）＝180， ∴x＝9或x， 又∵， ∴． ∴x＝9或x． （3）假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【点评】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 【考点4】创新及压轴题（第32–34题） ※ 方法总结 · 结合几何图形（矩形、道路、花圃）与方程，注意利用整体面积关系。 · 赵爽几何解法：将方程 转化为 ，用矩形拼图求解正根。 · 综合题常涉及不等式、函数最值，需灵活运用判别式和二次函数性质。 32．（2026春•虹口区校级期中）我们可以用标准体重法来判断是否肥胖： 7～16岁少年儿童的标准体重的计算方法：标准体重（千克）＝年龄×2+8； 肥胖程度的计算公式：肥胖程度． 一般地，我们可以按照肥胖程度将肥胖分为三种类型，如表所示： 肥胖程度 20%～30% 30%～40% 40%以上 肥胖类型 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 （1）小胖今年12岁，体重40千克，请你判断一下小胖是否肥胖？如果是，那么他属于哪一类的肥胖？ （2）为了管理体重，小胖决定每天在学校操场上沿着跑道跑步进行锻炼，跑道的长度是一个由长方形和两端的半圆组成的图形的周长（如图）．经过测试，小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低10%．小胖咨询医生后得知，如果要达到减重的目的，跑步需要同时满足以下两个条件： ①每天跑步的总路程不少于3千米； ②每天连续跑步时间不少于30分钟． 现在小胖计划每天放学后在操场上连续跑7圈，这个计划是否能满足减重的条件？请通过计算加以说明（π取3.14）． （3）小胖想自己既然已经运动健身，那么吃一点自己喜欢的零食应该没啥问题．于是他买了一包100克的薯片，包装袋上显示总热量为552千卡．他上网查了一下，跑步热量消耗公式如下： 跑步消耗的热量（千卡）≈体重（千克）×跑步距离（千米） 请你帮助小胖估算一下，按照现在40千克的体重，要完全消耗掉这包薯片的热量．他至少需要在操场上跑几圈？（结果保留整数） 【分析】（1）先计算出标准体重，再由肥胖程度公式计算即可得解； （2）先求出跑道周长，再求出总路程，分别计算出第1个10分钟、第2个10分钟、第3个10分钟所跑的路程，结合题意判断即可； （3）先求出跑步距离，从而即可得出圈数． 【解答】解：（1）是肥胖，属于轻度肥胖， 标准体重为：12×2+8＝32（千克）， ∵40＞32， ∴小胖是肥胖． ∵肥胖程度为：， ∴属于轻度肥胖； （2）小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低10%． 跑道周长：2×100+3.14×80＝451.2（米）， 总路程为：7×451.2＝3158.4（米）， 满足大于3千米， 第1个10分钟跑的路程：120×10＝1200米， 第2个10分钟跑的路程：120×0.9×10＝1080米， 第3个10分钟跑的路程：120×0.9×0.9×10＝972米， 1200+1080+972＝3252米， ∵3158.4＜3252， ∴不能满足减重条件； （3）跑步距离＝552÷40＝13.8千米， 13.8×1000＝13800米， 13800÷451.2≈31圈， 故至少要跑31圈． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 33．（2026春•淄博校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点分别从，A，B两点同时出发，出发时间为t（t＞0，单位：s）．有下列结论： （1）PB＝　（10﹣t）　 cm，BQ＝　2t cm（用含t的式子表示）； （2）S△PBQ＝　﹣t2+10t cm2（用含t的式子表示），S△PBQ的最大值是　25　 ； （3）当△PBQ的面积是9时，t的值是　1　 ． 【分析】（1）由题意得，PB＝（10﹣t）cm，BQ＝2tcm； （2）先列出△PBQ的面积的函数解析式，再化成顶点式，求出最值即可； （3）根据△PBQ的面积是9，可得，解一元二次方程即可得解． 【解答】解：（1）根据题意得：PB＝（10﹣t）cm，BQ＝2tcm． 故答案为：（10﹣t），2t； （2） ＝﹣t2+10t ＝﹣（t﹣5）2+25， ∴， 当t＝5时S△PBQ最大值＝25． 故答案为：﹣t2+10t，25； （3）当S△PBQ＝9时，﹣（t﹣5）2+25＝9， 解得t1＝1，t2＝9， 由题意知P点从A点运动到B点需10÷1＝10秒，Q点从B点运动到C点需要16÷2＝8秒， ∴0＜t≤8， ∴t2不符合题意，舍去， ∴t＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 34．（2026春•东平县期末） 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设降价m元，则下调后每个手办的售价为（65﹣m）元，销售量为（30+3m）个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为（65﹣y）元，销售量为（30+3y）个，根据平均每天能否获利2100元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x， 由题意得：6（1+x）2＝8.64， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%； （2）设降价m元，则下调后每个手办的售价为（65﹣m）元，销售量为（30+3m）个， 由题意得：（65﹣m﹣30）（30+3m）＝1500， 整理得：m2﹣25m+150＝0， 解得：m1＝15，m2＝10（不符合题意，舍去）， ∴65﹣m＝50， 答：下调后每个手办的售价为50元； （3）平均每天不能获利2100元，理由如下： 设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为（65﹣y）元，销售量为（30+3y）个， 由题意得：（65﹣y﹣30）（30+3y）＝2100， 整理得：y2﹣25y+350＝0， ∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×350＝﹣775＜0， ∴原方程无实数根， ∴平均每天不能获利2100元． 【点评】题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1 根与系数的关系 练习2 二次三项式因式分解 练习3 增长率问题 练习4 面积问题 练习5 利润问题 【练习1】（2025秋•伊金霍洛旗期末）若x1+x2＝3，x1x2＝2，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0 【分析】利用“x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝0”直接写出方程即可． 【解答】解：∵x1x2＝2，x1+x2＝3， ∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x+2＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是理解题意并熟记如何构造方程． 【练习2】下列多项式在实数范围内能分解因式的是（　　） A．x2+5 B．2x2﹣4x﹣1 C．x2﹣2xy+3y2 D．x2﹣xy+y2 【分析】利用因式分解的方法判断即可． 【解答】解：A．x2+5不能分解因式，不符合题意； B．Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，能分解因式．符合题意； C．不能分解因式，不符合题意； D．Δ＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0，不能分解因式，不符合题意， 故选：B． 【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【练习3】（2025秋•长宁区校级期末）学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于　80　 米． 【分析】依据题意，设这个长方形游泳池的宽为x米，则长为（x+10）米，根据长方形游泳池的面积为375平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这个长方形游泳池的宽为x米，则长为（x+10）米， 依题意得：x（x+10）＝375， 整理得：x2+10x﹣375＝0， ∴x1＝15，x2＝﹣25（不合题意，舍去）， ∴x+10＝25． ∴这个长方形游泳池的长为25米，宽为15米． ∴该长方形游泳池的周长等于2（25+15）＝80（米）． 故答案为：80． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【练习4】（2026•普陀区二模）学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10m的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为20m的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为48m2，则AD的长为　6　 m． 【分析】设AD的长为xm，则AB的长为（20﹣2x）m，根据矩形花圃的面积为48m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设AD的长为xm，则AB的长为（20﹣2x）m， 由题意得：x（20﹣2x）＝48， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝6，x2＝4， 当x＝6时，20﹣2x＝20﹣2×6＝8＜10，符合题意； 当x＝4时，20﹣2x＝20﹣2×4＝12＞10，不符合题意，舍去； 即AD的长为6m， 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【练习5】“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山红．”端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客．若已知杨梅的售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降x元，则每天能售出　（150+3x）　 千克（用含x的代数式表示）． （2）当杨梅售价为每千克多少元时，每天能获得9072元的销售额？ （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【分析】（1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降x元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降m元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意可知，每天能售出：千克，即（150+3x）千克， 故答案为：（150+3x）； （2）设售价每千克下降x元， 由题意得：（60﹣x）（150+3x）＝9072， 解得：x1＝4，x2＝6， ∴60﹣x＝60﹣4＝56或60﹣6＝54， 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额； （3）按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降m元， 由题意得：（60﹣m）（150+3m）＝10000， 则：3m2﹣30m+1000＝0， ∴b2﹣4ac＝302﹣3×4×1000＝﹣11100＜0， ∴不能达到这个“小目标”． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 根与系数的关系（求值） 作业2 二次三项式因式分解 作业3 增长率问题 作业4 传播问题 作业5 面积问题 作业6 单循环赛问题 作业7 几何解法（赵爽） 作业8 面积问题（矩形边框） 作业9 增长率+利润 作业10 增长率+利润 ❤ 复习建议 韦达定理是工具： 灵活运用整体代入，将条件转化为两根和与积的关系，注意 的验证。 因式分解与判别式： 牢记二次三项式分解的条件，能快速判断能否分解，并准确写出分解式。 应用题要建模： 仔细读题，抓住“等量关系”，设未知数，列方程，特别关注“单位”“范围”检验。 面积问题巧平移： 利用平移将小路、边框等转化为规则图形，简化计算。 创新题重理解： 新定义或几何解法题目，要耐心阅读，将陌生情境转化为熟悉的方程模型。 【作业1】（2026春•拱墅区月考）关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝3，则代数式3x2+bx+c因式分解的结果是（　　） A．（x+2）（x+3） B．3（x+2）（x+3） C．（x﹣2）（x﹣3） D．3（x﹣2）（x﹣3） 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若方程两根为x1，x2，则 ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2），代入已知条件即可得到结果． 【解答】解：根据一元二次方程根与因式分解的关系可得3x2+bx+c＝3（x﹣2）（x﹣3） 因此代数式3x2+bx+c因式分解的结果对应选项D． 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【作业2】（2025春•漳州期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣2xy+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2+2x D．﹣x2+y2 【分析】平方差公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），适用于两个平方项的差．需逐一分析选项是否满足该形式． 【解答】解：根据平方差公式分解因式逐项分析判断如下： A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，不符合平方差公式，排除． B．﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），括号内为平方和，无法用平方差分解，排除． C．x2+2x 仅含一项平方项和一次项，无法构成平方差，排除． D．﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），满足平方差公式． 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握该知识点是关键． 【作业3】（2025秋•隆昌市校级期末）某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为45m），其他边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏）、若车棚的占地面积为384m2，则车棚的长BC为（　　） A．48m B．24m C．20m D．16m 【分析】设电动车车棚的宽AB为xm，则车棚的长BC＝（72﹣3x）m，根据车棚占地面积为384m2，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【解答】解：设电动车车棚的宽AB为xm，则车棚的长BC＝70﹣2（x﹣1）﹣x＝（72﹣3x）（m）， 由题意得：x（72﹣3x）＝384， 整理得：x2﹣24x+128＝0， 解得：x1＝16，x2＝8， 当x1＝16时，72﹣3x＝72﹣3×16＝24＜45，符合题意； 当x2＝8时，72﹣3x＝72﹣3×8＝48＞45，不符合题意，舍去， 即车棚的长BC为24m， 故选：B． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业4】（2026春•包河区期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．7 B．8 C．448 D．512 【分析】由每轮传染中平均一人传染了x人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，结合“有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入64（1+x）中，即可求出结论． 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x人， ∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝64， 整理得：（x+1）2＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了7人， ∴经过三轮传染后患流感的人数为64（1+x）＝64×（1+7）＝512． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业5】（2026•北碚区校级模拟）某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（　　） A．18% B．20% C．32% D．36% 【分析】设平均每次降价百分率是x，利用经过两次降价后的售价＝原售价×（1﹣平均每次降价百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设平均每次降价百分率是x， 根据题意得：25（1﹣x）2＝16， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）， 即平均每次降价百分率为20%． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业6】（2025秋•铁岭县期末）社区利用一块矩形空地ABCD修建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为xm的道路．已知铺花砖的面积为640m2，则道路的宽是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设道路的宽是xm，根据铺花砖的面积为640m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设道路的宽是xm， 由题意得 （52﹣2x）（28﹣2x）＝640， 整理得：x2﹣40x+204＝0， 解得：x1＝34（不符合题意，舍去），x2＝6， 即道路的宽是6m， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业7】（2025秋•宝山区校级期末）某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则这个增长率为 　12.5%　 ． 【分析】设这个增长率为x，根据某旅游景点6月份共接待游客64万人次，8月份共接待游客81万人次，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设这个增长率为x， 由题意得：64（1+x）2＝81， 解得：x1＝0.125＝12.5%，x2＝﹣2.125（不符合题意，舍去）， 即这个增长率为12.5%， 故答案为：12.5%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业8】（2025秋•番禺区期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的图解法是：如图，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，，AC＝b，在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x的一元二次方程x2+GG9R">ax＝16（a＞0）的图解，若，则a的值为　6　 ． 【分析】设BD＝3m，AD＝2m，则BC＝3m，AB＝5m，由勾股定理得AC＝4m，然后根据AC＝b求出m，根据即可求出a． 【解答】解：作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，，AC＝b，在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．则 ∵， 设BD＝3m，AD＝2m，则BC＝3m，AB＝5m， ∴， ∵x2+ax＝16＝42， ∴4m＝4， ∴m＝1， ∴BC＝3， ∵， ∴a＝6． 故答案为：6 【点评】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 【作业9】（2025秋•盖州市期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套．如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【分析】（1）设该款帐篷价格每次下降的百分率为x，根据降价前的价格×（1﹣x）2＝降价后的价格列方程求解即可． （2）设该款式帐篷每套可以涨价m元，根据月销售利润达到9600元列方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设该款帐篷价格每次下降的百分率为x， 根据题意得：300（1﹣x）2＝243， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， 答：该款帐篷价格每次下降的百分率10%； （2）设该款式帐篷每套可以涨价m元， 根据题意得：（40+m）（20020）＝9600， 整理得：m2﹣60m+800＝0， 解得：m1＝20，m2＝40， 答：该款式的帐篷每套可以涨价20元或40元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业10】（2026•墨竹工卡县校级三模）某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件39元． （1）若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？ （2）若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？ 【分析】（1）根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，列式计算即可； （2）设应该涨价x元，则每星期可以卖出（300﹣10x）件该商品，根据要每星期获利6480元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由题意可知，300+2×20＝340（件）， 答：若降价2元，每星期可以卖出340件该商品； （2）设应该涨价x元，则每星期可以卖出（300﹣10x）件该商品， 由题意得：（60+x﹣39）（300﹣10x）＝6480， 整理得：x2﹣9x+18＝0， 解得：x1＝3，x2＝6， 答：要每星期获利6480元，应该涨价3元或6元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第1页（共1页） 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