第2讲 一元二次方程的解法 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理配方法步骤、公式法应用、解法选择策略及根的判别式，构建从基础解法到灵活选择，再到判别式应用与新定义、几何综合的学习支架。 资料含思维导图总览课程内容，通过典型例题与创新题（如“有爱方程”）培养抽象能力和推理意识，知识总结表与分类练习助力系统掌握，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第2讲 一元二次方程的解法 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册（精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握配方法的步骤，能将一元二次方程化为 的形式并求解。 · 理解并熟练运用公式法（求根公式）解一元二次方程，能准确确定 及判别式。 · 能根据方程特征灵活选择直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法解题。 · 掌握根的判别式（）与方程根的情况的关系，能利用判别式求参数范围或证明根的情况。 · 能结合新定义（如“纠缠方程”“连根方程”）及几何背景，综合运用一元二次方程知识。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 配方法 定义： 通过配成完全平方式的方法解一元二次方程。 · 步骤：① 移项（常数项移到右边）；② 二次项系数化为1；③ 两边加上一次项系数一半的平方；④ 写成 的形式；⑤ 开平方求解。 · 核心：完全平方公式 。 ☑ 典型例题 1 （2026春·龙泉市期中）用配方法解方程 ，配方后所得方程是（　） A．　　B．　　C．　　D． 【解析】 移项得 ，两边加9得 。 答案：A ☆ 2. 公式法（求根公式） 求根公式： 对于 （），若 ，则 · 使用步骤：化一般式 → 确定 → 计算 → 代入公式。 · 时有两个不相等实根； 时有两个相等实根； 时无实数根。 ☑ 典型例题 2 （2026春·合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定 的值。对于方程 ，下列叙述正确的是（　） A．　　B．　　 C．　　 D． 【解析】 化为一般式：，故 ，，。 答案：B ☆ 3. 解法的选择策略 · 直接开平方法： 形如 （）。 · 因式分解法： 左边易于分解为两个一次因式乘积（提公因式、十字相乘、公式法）。 · 配方法： 二次项系数为1，一次项系数为偶数时较方便；或题目指定。 · 公式法： 适用于所有一元二次方程，是万能方法。 ☑ 典型例题 3 （2026春·绿园区校级期中）用适当的方法解方程：。 【解析】 因式分解得 ，解得 ，。（因式分解法简便） ☆ 4. 根的判别式 · ⇔ 方程有两个不相等的实数根。 · ⇔ 方程有两个相等的实数根（重根）。 · ⇔ 方程无实数根（初中阶段）。 · 注意：当方程是一元二次方程时，；若未说明，需分类讨论。 ☑ 典型例题 4 （2026·密云区一模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（　） A．　　B．　　C．　　D． 【解析】 ，解得 。 答案：C ☆ 知识总结表 解法/概念 要点/公式 适用条件/注意事项 配方法 （） 二次项系数化为1，两边加一次项系数一半的平方 公式法 ；化一般式，确定 因式分解法 或 左边易于分解；右边化为0 直接开平方法 （） 形如 根的判别式 ：两个不相等实根；：两个相等实根；：无实根 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】配方法（第1–8题） ※ 方法总结 · 配方法的关键是“配方”，即两边加上一次项系数一半的平方。 · 注意：二次项系数必须化为1，若不为1，先除以二次项系数。 · 常见错误：配方时右边忘记加同样的数，或符号错误。 1．（2025秋•万荣县期末）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 【分析】根据x2﹣4x+1＝0，配方得（x﹣2）2＝3进行作答即可． 【解答】解：原方程移项配方得：x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 2．（2025秋•皮山县期末）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可解决问题． 【解答】解：由题知， x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 3．（2026•苍溪县模拟）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+5＝0，配方正确的是（　　） A．（x+5）2＝20 B．（x﹣5）2＝30 C．（x﹣5）2＝20 D．（x+5）2＝30 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【解答】解：由题知， x2﹣10x+5＝0， x2﹣10x＝﹣5， x2﹣10x+25＝﹣5+25， （x﹣5）2＝20， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 4．（2025秋•松江区期末）一元二次方程x2+6x+4＝0配方得　（x+3）2＝5　 ． 【分析】先把常数项移项，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方即可解答． 【解答】解：由题意得，x2+6x＝﹣4， x2+6x+9＝﹣4+9， （x+3）2＝5， 故一元二次方程x2+6x+4＝0配方得（x+3）2＝5， 故答案为：（x+3）2＝5． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键． 5．（2026春•新昌县期中）用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上　9　 ． 【分析】当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方，即可解答． 【解答】解：用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2025秋•奉贤区期末）用配方法解方程：． 【分析】移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：原方程移项得， 整理得，， ， ， ， 解得，． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 7．（2025秋•巴南区期末）解下列方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）x2﹣9＝2x﹣6． 【分析】（1）利用配方法，把方程左边配成完全平方形式，并将常数项移至右边，直接开平方，最终完成求解； （2）先移项，然后利用配方法，把左边配成完全平方形式，右边加上相应的常数，开平方，最终完成求解． 【解答】解：（1）原方程配方可得： x2﹣4x+4＝4﹣2， （x﹣2）2＝2， ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）原方程移项可得： x2﹣2x＝9﹣6， x2﹣2x+1＝3+1， （x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， ∴x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程求解的方法是解题的关键． 8．（2024秋•修水县月考）下面是张星同学解一元二次方程2x2﹣8x＝﹣5的过程，请认真阅读并完成相应的任务2x2﹣8x＝﹣5． 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得．（第五步） （1）上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是 　转化思想　 ，其中“配方法”依据的一个数学公式是　完全平方公式　 ； （2）上述解题过程，从第　三　 步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 【分析】（1）根据解答过程判断依据即可； （2）根据配方法判断即可． 【解答】解：（1）由题意，运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想为转化思想，依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化思想，完全平方公式； （2）第三步变形时出现错误； 二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得． 故答案为：三． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键． 【考点2】公式法（第9–18题） ※ 方法总结 · 先将方程化为一般式 ，准确找出 （含符号）。 · 计算 ，若 则代入求根公式；若 则方程无实数根。 · 公式法适用于所有一元二次方程，但计算量较大时可能不如其他方法简便。 9．（2026春•合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（　　） A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3 C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【解答】解：∵﹣4x2+3＝5x ∴﹣4x2﹣5x+3＝0，或4x2+5x﹣3＝0 ∴a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3或a＝4，b＝5，c＝﹣3． 故选：B． 【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式． 10．（2023秋•霞浦县期中）一元二次方程2x2﹣3x＝1，用求根公式求解时，a，b，c的值是（　　） A．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．2，﹣3，﹣1 D．2，3，1 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，即可解答． 【解答】解：2x2﹣3x＝1， 整理得：2x2﹣3x﹣1＝0， 用求根公式求解时，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键． 11．（2025春•博山区期末）下列各数中，哪个是方程x（2﹣x）＝1的解（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 【分析】通过解方程可对各选项进行判断． 【解答】解：原方程整理得：x2﹣2x+1＝0， Δ＝4﹣4＝0， x1， ∴x1＝x2＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握公式法解一元二次方程是关键． 12．（2025秋•昌黎县期末）用公式法解方程3x2﹣7＝﹣5x时，得，则“□”处应填（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7 【分析】将方程化为标准形式ax2+bx+c＝0，确定系数a、b、c，再根据求根公式判断“□”处应填﹣b． 【解答】解：a＝3，b＝5，c＝﹣7． ∴， ∴“□”处应填﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 13．（2024秋•宽甸县校级期中）当x（a≠0，b2﹣4ac＞0）时，代数式ax2+bx+3c的值是（　　） A．0 B．2c C． D． 【分析】因为一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根为x，所以代入任何一个根，方程都成立，由此得出答案即可． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根为x， ∴当x时，ax2+bx+3c＝ax2+bx+c+2c＝0+2c＝2c． 故选：B． 【点评】此题考查解一元二次方程的方法﹣公式法，一元二次方程的解，关键是掌握求根公式． 14．（2026春•成武县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　3x2+9x+1＝0　 ． 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答． 【解答】解：由题意得：a＝3，b＝9，c＝1， ∴该一元二次方程是3x2+9x+1＝0， 故答案为：3x2+9x+1＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键． 15．（2026春•同步）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根为x＝1或x＝﹣1　 ． 【分析】根据方程M、N有相同的根，可得出ax2+bx+c＝cx2+bx+a，再结合ac≠0，a≠c，即可得出x2＝1，求出x的值． 【解答】解：∵方程M和方程N有一个相同的根， ∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c． ∵ac≠0，a≠c， ∴x2＝1， 解得：x＝±1． ∴这个相等的根为x＝1或x＝﹣1． 故答案为：x＝1或x＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，本题属于基础题，难度不大． 16．（2025•市南区校级一模）对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝　﹣2或﹣3　 ． 【分析】根据min{a，b，c}表示这三个数中最小的数以及偶次方非负性，得min{x2，﹣3}＝﹣3，再根据用M{a，b，c}表示这三个数的平均数解决此题． 【解答】解：∵x2≥0， ∴x2＞﹣3， ∴min{x2，﹣3}＝﹣3， ∵M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}， ∴3， ∴x＝﹣2或x＝﹣3． 故答案为：﹣2或﹣3． 【点评】本题考查了新定义，解一元二次方程，正确理解题意和熟练会解二元一次方程是解决本题的关键． 17．（2026春•海淀区校级期末）解方程： （1）； （2）2（x2+x）2﹣（x2+x）﹣3＝0． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式的意义得到方程没有实数解； （2）先利用因式分解法把原方程转化为2（x2+x）﹣3＝0或（x2+x）+1＝0，然后利用公式法分别解两个一元二次方程即可． 【解答】解：（1）∵a，b＝﹣1，c＝1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣41＝﹣1＜0， ∴方程没有实数解； （2）[2（x2+x）﹣3][（x2+x）+1]＝0， 2（x2+x）﹣3＝0或（x2+x）+1＝0， 对于方程2（x2+x）﹣3＝0， 整理得2x2+2x﹣3＝0， ∵a＝2，b＝2，c＝﹣3， ∴Δ＝22﹣4×2×（﹣3）＝28， ∴x， ∴x1，x2； 对于方程x2+x+1＝0， ∵a＝1，b＝1，c＝1， ∴Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0， ∴此方程没有实数根， ∴原方程的解为x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 18．（2024秋•同步）用公式法解下列方程： （1）2x2﹣6x﹣3＝0； （2）﹣3x2+5x﹣1＝0； （3）x2+4＝4x； （4）（y+1）（1+4y）＝3y． 【分析】各方程利用公式法求出解即可． 【解答】解：（1）这里a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3， ∵Δ＝36+24＝60＞0， ∴x， 解得：x1，x2； （2）这里a＝﹣3，b＝5，c＝﹣1， ∵Δ＝25﹣12＝13＞0， ∴x， 解得：x1，x2； （3）方程整理得：x2﹣4x+4＝0， 这里a＝1，b＝﹣4，c＝4， ∵Δ＝32﹣16＝16＞0， ∴x2±2， 解得：x1＝22，x2＝22； （4）方程整理得：4y2+2y+1＝0， 这里a＝4，b＝2，c＝1， ∵Δ＝4﹣16＝﹣12＜0， ∴此方程无实数根． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 【考点3】适当的方法解方程（第19–23题） ※ 方法总结 · 观察方程特征，优先选择最简便的方法：直接开平方法（平方形式）、因式分解法（易于分解）、配方法（指定或系数适合）、公式法（万能）。 · 解完方程后要检查根是否符合题意（如几何背景中的三角形三边关系）。 19．（2026•赛罕区校级开学）按要求解方程： （1）3（x﹣1）2﹣27＝0；（用直接开平方法） （2）x2﹣6x﹣4＝0；（用配方法） （3）x2﹣3x﹣1＝0；（用公式法） （4）5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0．（用因式分解法） 【分析】（1）先变形为（x﹣1）2＝9，然后利用直接开平方法即可求解； （2）先变形为x2﹣6x＝4，再利用配方法得到（x﹣3）2＝13，然后利用直接开平方法即可求解； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）把方程化为（x﹣3）（5x+2）＝0，然后利用因式分解法即可求解． 【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣27＝0， 3（x﹣1）2＝27， （x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， x1＝4，x2＝﹣2； （2）x2﹣6x﹣4＝0， x2﹣6x＝4， （x﹣3）2＝13， ， ； （3）∵x2﹣3x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1） ＝9+4 ＝13＞0， ∴ ∴； （4）5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（5x+2）＝0， x﹣3＝0或5x+2＝0， ． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，直接开平方法，配方法和公式法是解题的关键． 20．（2026春•临夏市校级月考）用适当的方法解方程： （1）x2﹣2x＝0； （2）x2﹣9＝0； （3）x2﹣x﹣6＝0； （4）x（x﹣2）+x﹣2＝0． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）移项，然后直接开平方求解即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 则x﹣2＝0或x＝0， 所以x1＝2，x2＝0； （2）x2﹣9＝0， x2＝9， 则x±3， 所以x1＝3，x2＝﹣3； （3）x2﹣x﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， 则x﹣3＝0或x+2＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣2； （4）x（x﹣2）+x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， 则x﹣2＝0或x+1＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知因式分解法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 21．（2025秋•南京月考）解方程： （1）4（x﹣1）2＝25； （2）x2﹣6x﹣7＝0（用配方法解）； （3）3x2+2x﹣2＝0（公式法）； （4）2（x﹣2）2＝x2﹣4． 【分析】（1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； （2）把方程化为x2﹣6x+9＝7+9，可得（x﹣3）2＝16，再利用直接开平方法解方程即可； （3）先计算Δ＝28，再利用公式法解方程即可； （4）先移项再分解因式把方程化为（x﹣2）（x﹣6）＝0，再解方程即可． 【解答】解：（1）两边除以4，得 ， ∴或， 解得：，； （2）移项，得 ∴x2﹣6x＝7， ∴x2﹣6x+9＝7+9， ∴（x﹣3）2＝16， ∴x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4， 解得：x1＝7，x2＝﹣1； （3）∵a＝3，b＝2，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣2）＝4+24＝28， ∴， ∴，； （4）移项，得 ∴2（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）[2（x﹣2）﹣（x+2）]＝0， ∴（x﹣2）（x﹣6）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣6＝0， 解得：x1＝2，x2＝6． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 22．（2025秋•哈密市校级期中）用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝9； （2）2x2+3x﹣1＝0； （3）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0； （4）x2﹣4x+1＝0． 【分析】（1）根据直接开平方法可进行求解； （2）根据公式法可进行求解； （3）根据因式分解法可进行求解； （4）根据配方法可进行求解． 【解答】解：（1）由题意得，x﹣2＝±3， 解得x1＝5，x2＝﹣1； （2）∵a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴， ∴，； （3）由题意得，（y+2+3y﹣1）[y+2﹣（3y﹣1）]＝0， （4y+1）（3﹣2y）＝0， 4y+1＝0或3﹣2y＝0， ∴，； （4）由题意得，x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3， ， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 23．（2026春•碑林区校级期末）解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）2x2﹣6x﹣1＝0． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0， （x+2）（x﹣4）＝0， 则x+2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝﹣2，x2＝4； （2）2x2﹣6x﹣1＝0， Δ＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝44＞0， 则x， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及解一元二次方程﹣因式分解法，熟知公式法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【考点4】根的判别式（第24–33题） ※ 方法总结 · 的值直接决定方程根的情况，是中考常见考点。 · 含参数时，根据根的情况列不等式（或等式）求参数范围，注意二次项系数不为0。 · 证明方程总有实数根：将 配方成非负形式（如完全平方式）。 · 结合韦达定理（根与系数关系）可解决更多综合问题。 24．（2026•临平区二模）若关于x的一元二次方程mx2+4x﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m＞﹣2且m≠0 D．m≥﹣2且m≠0 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程mx2+4x﹣2＝0有实数根， 所以Δ＝42+8m≥0且m≠0， 解得m≥﹣2且m≠0． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 25．（2025秋•涟源市期末）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 【分析】先对k是否为零进行分类讨论，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：当k＝0时， 此时方程为﹣3x0， 该方程有实数根， 所以k＝0满足题意． 当k≠0时， Δ＝（﹣3）2﹣4k×（）≥0， 解得k≥﹣1， 综上所述，k的取值范围是k≥﹣1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 26．（2026春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则是方程nx2+mx+1＝0的一个根．其中正确的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】通过证明Δ＞0，即可判断①，证明Δ＝m2﹣4n＜0，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到n（n+m+1）＝0，则n＝0或m+n＝﹣1即可判断③；由题意可得即可判断④． 【解答】解：①对于方程x2+mx+n＝0， ∴Δ＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n， 若m﹣2n＝1，则m＝2n+1， ∴Δ＝m2﹣4n＝（2n+1）2﹣4n＝4n2+4n+1﹣4n＝4n2+1＞0， ∴方程x2+mx+n＝0一定有两个不相等的实数根；故①正确； ②由①可知，Δ＝m2﹣4n， 若m2﹣2n＜0，则m2＜2n，即2n＞m2≥0，则4n＞2n＞m2≥0， ∴Δ＝m2﹣4n＜0， ∴方程没有实数根；故②正确； ④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根， ∴t2+mt+n＝0， ∵t≠0， ∴t2+mt+n＝0两边同除以t2得，， 即， ∴是方程nx2+mx+1＝0的一个根，故④正确； ③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则n2﹣mn+n＝0，即n（n+m+1）＝0， ∴n＝0或n+m+1＝0，即n＝0或m+n＝﹣1，故③错误； 综上可知，①②④正确，共3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识点，掌握运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况成为解题的关键． 27．（2026•凉州区一模）下列关于x的方程有实数根的是（　　） A．5x2+2＝0 B．2x2+4x+3＝0 C．2x2﹣3＝2x2+4 D．﹣x2+2x﹣1＝0 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程为5x2+2＝0， 则Δ＝02﹣4×5×2＝﹣40＜0， 所以该方程没有实数根． 故A选项不符合题意； 因为关于x的方程为2x2+4x+3＝0， 则Δ＝42﹣4×2×3＝﹣8＜0， 所以该方程没有实数根． 故B选项不符合题意； 因为关于x的方程为2x2﹣3＝2x2+4， 该方程可化为﹣3＝4， 显然此方程没有实数根． 故C选项不符合题意； 因为关于x的方程为﹣x2+2x﹣1＝0， 则Δ＝22﹣4×（﹣1）×（﹣1）＝0， 所以该方程有实数根． 故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了根的判别式、解一元二次方程﹣配方法及解一元二次方程﹣公式法，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 28．（2026•淮阴区二模）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　5　 ． 【分析】根据判别式的值＝0，构建方程求解． 【解答】解：由题意Δ＝0， ∴36﹣4（2m﹣1）＝0， 解得m＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 29．（2026•韶关二模）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得． 【解答】解：由条件可知方程根的判别式4+4k＞0，且k≠0， 解得k＞﹣1且k≠0， 故答案为：k＞﹣1且k≠0． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 30．（2024秋•忠县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，且关于y的不等式组的解集为y≤﹣7，则满足条件的所有整数m的和为　﹣8　 ． 【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，由关于y的不等式组的解集为y≤﹣7，可求出m的取值范围，结合m＜6且m≠2，m为整数，即可得出m的值，再将其相加后即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根， ∴， 解得：m≤6且m≠2． 关于y的不等式组整理得， ∵关于y的不等式组的解集为y≤﹣7， ∴m＞﹣7， 又∵m＜6且m≠2，m为整数， ∴m可以为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5， ∴符合条件的所有整数m的和为﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+3+4+5＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元一次不等式组，利用一元二次方程的定义、根的判别式Δ＞0及关于y的不等式组的解集，求出整数m的值是解题的关键． 31．（2025秋•北京期末）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是k≤2且k≠0　 ． 【分析】先根据一元二次方程的定义得出k≠0，再由方程有实数根，利用根的判别式Δ≥0求出k的取值范围，最后联立得到结果． 【解答】解：由条件可知k≠0．判别式 Δ≥0． 其中Δ＝16﹣4•k•2＝16﹣8k， ∴16﹣8k≥0， ∴k≤2， 综上，k≤2且k≠0． 故答案为：k≤2且k≠0． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定k≠0，再结合根的判别式求出k的取值范围． 32．（2025秋•牡丹江期中）若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+2cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当a＝3，b＝4时，则相应的“勾系一元二次方程”为　3x2±10x+4＝0　 ； （2）当a＝5，b＝12时，求出相应“勾系一元二次方程”的根． （3）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b＝0（a≠0）必有实数根． 【分析】（1）先根据a2+b2＝c2求出c，再根据“勾系一元二次方程”的定义即可求解； （2）先根据a2+b2＝c2求出c，再根据“勾系一元二次方程”的定义写出该“勾系一元二次方程”，最后利用公式法解方程即可； （3）根据一元二次方程根的判别式证明即可． 【解答】解：（1）当a＝3，b＝4时，则32+42＝c2， 解得c＝±5， 则相应的“勾系一元二次方程”为3x2±10x+4＝0， 故答案为：3x2±10x+4＝0； （2）当a＝5，b＝12时，则52+122＝c2， 解得c＝±13， 当5x2+26x+12＝0， Δ＝262﹣4×5×12＝436， ， ∴，； 当5x2﹣26x+12＝0， Δ＝（﹣26）2﹣4×5×12＝436， ， ∴，； ∴“勾系一元二次方程”的根为，，，； （3）证明：判别式Δ＝（2c）2﹣4ab＝4c2﹣4ab， 由条件可知Δ＝4（a2+b2﹣ab）， ∵， ∴Δ＞0， 故方程必有实数根． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 33．（2025秋•静宁县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+2m＝0． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）当m＝2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由题意易得该方程的解为x1＝3，x2＝4，然后根据等腰三角形的定义可进行求解． 【解答】（1）证明：∵x2﹣（3m+1）x+2m2+2m＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2≥0， ∴无论m为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）解：由条件可知方程为x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∴当等腰三角形的腰长是3时，符合三角形三边关系，则该等腰三角形的周长为3+3+4＝10； 当等腰三角形的腰长是4时，符合三角形三边关系，则该等腰三角形的周长为3+4+4＝11； 综上所述：该等腰三角形的周长为10或11． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式及等腰三角形的定义是解题的关键． 【考点5】创新及压轴题（第34–36题） ※ 方法总结 · 理解新定义（如“纠缠方程”“连根方程”），将其转化为一般方程或根的关系。 · 利用根的定义、判别式、韦达定理等建立方程（组）求解。 · 注意分类讨论，验证解的合理性。 34．（2026春•潜山市期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 【分析】（1）根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到a、b、c的数量关系，将b用含a和c的代数式表示出来并代入方程，再利用公式法证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含a的代数式表示出来并代入原方程，并把x＝a代入，得到关于a的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【解答】解：（1）一元二次方程3x2+4x+1＝0为“有爱方程”，理由如下： ∵a＝3，b＝4，c＝1， ∴b＝a+c． ∴一元二次方程3x2+4x+1＝0为是有爱方程． （2）方法一：证明：把x＝﹣1代入方程，得 左边＝a﹣b+c． ∵方程是有爱方程， ∴b＝a+c． 移项，得a﹣b+c＝0， ∴左边＝右边． ∴x＝﹣1是原方程的解． 方法二：∵方程是有爱方程， ∴b＝a+c． ∴原方程为ax2+（a+c）x+c＝0． b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac ＝（a﹣c）2≥0． ，x2＝﹣1． ∴x＝﹣1是原方程的解． （3）∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”， ∴﹣a＝b+3（1）， ∵a是该“有爱方程”的一个根． ∴3a2﹣a2+b＝0（2）． 由（1）得b＝﹣3﹣a（3）． 把（3）代入（2），得 3a2﹣a2﹣3﹣a＝0． 化简，得2a2﹣a﹣3＝0 解得，a2＝﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程的解，掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． 35．（2026春•西湖区校级期中）对于任意实数a，b，c有（a，b）*c＝ab﹣c，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，（1，2）*3＝1×2﹣3＝﹣1． （1）求关于x的一元二次方程（x，x﹣1）*2＝0的解； （2）若关于x的一元二次方程（x，kx）*（x2+2x﹣1）＝0无实数根，求k的取值范围． 【分析】（1）根据新定义可得方程x（x﹣1）﹣2＝0，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得方程kx2﹣（x2+2x﹣1）＝0，根据该方程无实数根，利用判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知x（x﹣1）﹣2＝0， ∴x2﹣x﹣2＝0， ∴（x+1）（x﹣2）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2； （2）根据题意可知kx2﹣（x2+2x﹣1）＝0， ∴kx2﹣x2﹣2x+1＝0， ∴（k﹣1）x2﹣2x+1＝0， ∵关于x的一元二次方程（x，kx）*（x2+2x﹣1）＝0无实数根， ∴， ∴k＞2． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 36．（2026春•蚌埠期末）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）若x＝3是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且b﹣ac＝﹣1，求b的值． 【分析】（1）把x＝3代入ax2+bx+c＝0，化简即可得到答案； （2）由b﹣ac＝﹣1得到ac＝b+1，代入跟的判别式，化简得Δ＝b2﹣4b﹣4＝0，解关于b的方程即可证得结论． 【解答】解：（1）∵若x＝3是方程的一个根， ∴9a+3b+c＝0， ∴3b+c＝﹣9a， ∵a≠0， ∴3； （2）∵b﹣ac＝﹣1， ∴ac＝b+1， ∵方程有两个相同的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4（b+1）＝b2﹣4b﹣4＝0， 解得b＝2， ∴b的值为2+2或2﹣2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根的判别式，掌握：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1 配方法 练习2 因式分解法（根与方程） 练习3 公式法（系数确定） 练习4 一元二次方程与几何（等腰三角形） 练习5 综合解法（四种方法） 37．（2026•头屯河区校级一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：原方程移项得：x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 38．（2026春•成武县期末）若（x+1）（x+4）＝0，则计算（x+2）（x+3）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】由（x+1）（x+4）＝0，整理得到x2+5x＝﹣4，利用多项式乘多项式法则得到（x+2）（x+3）＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6，整体代入计算即可． 【解答】解：∵（x+1）（x+4）＝0 ∴x2+5x+4＝0， ∴x2+5x＝﹣4， 则（x+2）（x+3） ＝x2+3x+2x+6 ＝x2+5x+6 ＝﹣4+6 ＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，多项式乘多项式，方程变形得到x2+5x＝﹣4是解题的关键． 39．（2026春•桥西区期末）用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【解答】解：原方程移项得x2﹣2x﹣1＝0， ， 对比题干给出的式子，可知□处应填2． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 40．（2024秋•南平月考）已知等腰三角形的底和腰是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则该三角形的周长是 　5　 ． 【分析】先解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定等腰三角形的腰长，最后求出三角形的周长即可． 【解答】解：x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， 得x1＝1，x2＝2， 当底边为1，腰为2时，此时能组成三角形， ∴该三角形的周长是1+2+2＝5； 当底边为2，腰为1时，由于1+1＝2，故此时不能组成三角形， 综上，该三角形的周长是5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义，三角形的三边关系和求三角形的周长，掌握一元二次方程的解法、利用三角形的三边关系进行判断是否构成三角形是解题的关键． 41．（2025秋•呼和浩特月考）解下列方程： （1）（直接开平方法）； （2）2x2﹣4x+1＝0（配方法）； （3）3x2+5x＝1（公式法）； （4）x2﹣1＝3x﹣3（因式分解法）． 【分析】（1）先移项，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式Δ的值，再利用求根公式求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【解答】解：（1）， （x﹣1）2﹣64＝0， （x﹣1）2＝64， ∴x﹣1＝±8， x1＝9，x2＝﹣7； （2）2x2﹣4x+1＝0， 2x2﹣4x＝﹣1， ， ， ， ∴， 解得，； （3）3x2+5x＝1， 3x2+5x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝52﹣4×3×（﹣1）＝37， ∴， 解得，； （4）x2﹣1＝3x﹣3， （x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， x﹣1＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝1，x2＝2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 配方法（变形）作业2 解法选择（因式分解）作业3 因式分解与三角形三边 作业4 新定义运算（因式分解）作业5 配方法（求 a+b）作业6 根的定义（代入求值）作业7 根的判别式（相等实根）作业8 综合解法（四种方法） 作业9 配方法纠错 作业10 判别式与韦达定理综合 ❤ 复习建议 巩固配方法： 配方法是基础，务必熟练掌握“移项、化系数、配方、开方”的流程，尤其注意右边加上相同的数。 公式法要熟练： 牢记求根公式，能快速确定 并计算 ，避免符号错误。 灵活选择方法： 解题前先观察方程特征，优先选择简便方法，提高解题效率。 判别式是钥匙： 遇到参数或证明根的情况，立即想到 ，并注意二次项系数不为0。 重视新定义与综合： 创新题常结合新定义或几何背景，需认真阅读题意，将新概念转化为熟悉的方程知识。 【作业1】（2025秋•汝南县期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝3，配方正确的是（　　） A．（x+3）2＝12 B．（x﹣3）2＝12 C．（x+3）2＝3 D．（x﹣3）2＝3 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤对所给一元二次方程进行配方即可． 【解答】解：由题知， x2﹣6x＝3， x2﹣6x+9＝3+9， （x﹣3）2＝12． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【作业2】（2026•六盘水模拟）一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3 【分析】利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， ∴x＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝0，x2＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【作业3】（2026•河南一模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2﹣10x+24＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．12 B．16 C．16或18 D．18 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后计算周长得到结果． 【解答】解：x2﹣10x+24＝0， （x﹣4）（x﹣6）＝0， x﹣4＝0或x﹣6＝0， 解得x＝4或x＝6， ∵三角形两边长为4和8， ∴8﹣4＜c＜8+4，即4＜c＜12， ∴x＝4不符合三边关系，舍去； x＝6符合要求， ∴三角形的周长为4+8+6＝18． 故选：D． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，三角形的三边关系，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 【作业4】（2025秋•滨湖区期末）一元二次方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．， 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：x2＝3x， x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， 则x﹣3＝0或x＝0， 所以x1＝3，x2＝0． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【作业5】（2026春•赛罕区校级期末）一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为　5　 ． 【分析】利用配方法解答即可． 【解答】解：x2+2x﹣3＝0， x2+2x＝3， x2+2x+1＝3+1， （x+1）2＝4， ∵一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式， ∴m＝1，n＝4， ∴m+n＝1+4＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 【作业6】（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业7】（2025秋•扶余市期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　且k≠0．　 ． 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣12k＞0且k≠0， 解得且k≠0． 故答案为：且k≠0． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根． 【作业8】（2025秋•静海区校级期中）按要求解方程： （1）x（x﹣3）＝x﹣3； （2）2x2﹣8＝0； （3）x（x﹣2）+（x﹣2）＝0； （4）x2﹣5x﹣24＝0． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （4）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x（x﹣3）＝x﹣3， x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝3，x2＝1； （2）2x2﹣8＝0， 2x2＝8， x2＝4， 则x＝±2， 所以x1＝﹣2，x2＝2； （3）x（x﹣2）+（x﹣2）＝0； （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣1； （4）x2﹣5x﹣24＝0， （x+3）（x﹣8）＝0， 则x+3＝0或x﹣8＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝8． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【作业9】（2025秋•禅城区校级月考）在解一元二次方程2x2﹣8x+6＝0时，小李的解法如下： 第一步：x2﹣4x+3＝0， 第二步：x2﹣4x＝﹣3， 第三步：x2﹣4x+4＝﹣3， 第四步：（x﹣2）2＝﹣3， 第五步：∵﹣3＜0，∴原方程无解． （1）小李的解法中哪一步是“化二次项系数为1”？这一步的依据是什么？ （2）判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【分析】（1）利用等式的性质把方程两边除以2即可； （2）第四步错误，第四步为（x﹣2）2＝1，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）小李的解法中第一步是“化二次项系数为1”；这一步的依据是等式的基本性质； （2）小李的解法错误， 正确解答过程如下： x2﹣4x+3＝0， x2﹣4x＝﹣3， x2﹣4x+4＝﹣3+4， （x﹣2）2＝1， x﹣2＝±1， 所以x1＝1，x2＝3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【作业10】（2026春•贵池区期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【分析】（1）将x＝1代入方程中即可求出答案． （2）根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：（1）将x＝1代入原方程可得1+（m+2）+2m＝0， 解得：m＝﹣1． （2）由题意可知：Δ＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0， 不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 一元二次方程的解法 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册（精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握配方法的步骤，能将一元二次方程化为 的形式并求解。 · 理解并熟练运用公式法（求根公式）解一元二次方程，能准确确定 及判别式。 · 能根据方程特征灵活选择直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法解题。 · 掌握根的判别式（）与方程根的情况的关系，能利用判别式求参数范围或证明根的情况。 · 能结合新定义（如“纠缠方程”“连根方程”）及几何背景，综合运用一元二次方程知识。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 配方法 定义： 通过配成完全平方式的方法解一元二次方程。 · 步骤：① 移项（常数项移到右边）；② 二次项系数化为1；③ 两边加上一次项系数一半的平方；④ 写成 的形式；⑤ 开平方求解。 · 核心：完全平方公式 。 ☑ 典型例题 1 （2026春·龙泉市期中）用配方法解方程 ，配方后所得方程是（　） A．　　B．　　C．　　D． 【解析】 移项得 ，两边加9得 。 答案：A ☆ 2. 公式法（求根公式） 求根公式： 对于 （），若 ，则 · 使用步骤：化一般式 → 确定 → 计算 → 代入公式。 · 时有两个不相等实根； 时有两个相等实根； 时无实数根。 ☑ 典型例题 2 （2026春·合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定 的值。对于方程 ，下列叙述正确的是（　） A．　　B．　　 C．　　 D． 【解析】 化为一般式：，故 ，，。 答案：B ☆ 3. 解法的选择策略 · 直接开平方法： 形如 （）。 · 因式分解法： 左边易于分解为两个一次因式乘积（提公因式、十字相乘、公式法）。 · 配方法： 二次项系数为1，一次项系数为偶数时较方便；或题目指定。 · 公式法： 适用于所有一元二次方程，是万能方法。 ☑ 典型例题 3 （2026春·绿园区校级期中）用适当的方法解方程：。 【解析】 因式分解得 ，解得 ，。（因式分解法简便） ☆ 4. 根的判别式 · ⇔ 方程有两个不相等的实数根。 · ⇔ 方程有两个相等的实数根（重根）。 · ⇔ 方程无实数根（初中阶段）。 · 注意：当方程是一元二次方程时，；若未说明，需分类讨论。 ☑ 典型例题 4 （2026·密云区一模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（　） A．　　B．　　C．　　D． 【解析】 ，解得 。 答案：C ☆ 知识总结表 解法/概念 要点/公式 适用条件/注意事项 配方法 （） 二次项系数化为1，两边加一次项系数一半的平方 公式法 ；化一般式，确定 因式分解法 或 左边易于分解；右边化为0 直接开平方法 （） 形如 根的判别式 ：两个不相等实根；：两个相等实根；：无实根 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】配方法（第1–8题） ※ 方法总结 · 配方法的关键是“配方”，即两边加上一次项系数一半的平方。 · 注意：二次项系数必须化为1，若不为1，先除以二次项系数。 · 常见错误：配方时右边忘记加同样的数，或符号错误。 1．（2025秋•万荣县期末）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 2．（2025秋•皮山县期末）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 3．（2026•苍溪县模拟）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+5＝0，配方正确的是（　　） A．（x+5）2＝20 B．（x﹣5）2＝30 C．（x﹣5）2＝20 D．（x+5）2＝30 4．（2025秋•松江区期末）一元二次方程x2+6x+4＝0配方得　 　 ． 5．（2026春•新昌县期中）用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上　 　 ． 6．（2025秋•奉贤区期末）用配方法解方程：． 7．（2025秋•巴南区期末）解下列方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）x2﹣9＝2x﹣6． 8．（2024秋•修水县月考）下面是张星同学解一元二次方程2x2﹣8x＝﹣5的过程，请认真阅读并完成相应的任务2x2﹣8x＝﹣5． 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得．（第五步） （1）上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是 　 　 ，其中“配方法”依据的一个数学公式是　 　 ； （2）上述解题过程，从第　 　 步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 【考点2】公式法（第9–18题） ※ 方法总结 · 先将方程化为一般式 ，准确找出 （含符号）。 · 计算 ，若 则代入求根公式；若 则方程无实数根。 · 公式法适用于所有一元二次方程，但计算量较大时可能不如其他方法简便。 9．（2026春•合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（　　） A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3 C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3 10．（2023秋•霞浦县期中）一元二次方程2x2﹣3x＝1，用求根公式求解时，a，b，c的值是（　　） A．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．2，﹣3，﹣1 D．2，3，1 11．（2025春•博山区期末）下列各数中，哪个是方程x（2﹣x）＝1的解（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 12．（2025秋•昌黎县期末）用公式法解方程3x2﹣7＝﹣5x时，得，则“□”处应填（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7 13．（2024秋•宽甸县校级期中）当x（a≠0，b2﹣4ac＞0）时，代数式ax2+bx+3c的值是（　　） A．0 B．2c C． D． 14．（2026春•成武县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　 ． 15．（2026春•同步）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根为　 　 ． 16．（2025•市南区校级一模）对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝　 　 ． 17．（2026春•海淀区校级期末）解方程： （1）； （2）2（x2+x）2﹣（x2+x）﹣3＝0． 18．（2024秋•同步）用公式法解下列方程： （1）2x2﹣6x﹣3＝0； （2）﹣3x2+5x﹣1＝0； （3）x2+4＝4x； （4）（y+1）（1+4y）＝3y． 【考点3】适当的方法解方程（第19–23题） ※ 方法总结 · 观察方程特征，优先选择最简便的方法：直接开平方法（平方形式）、因式分解法（易于分解）、配方法（指定或系数适合）、公式法（万能）。 · 解完方程后要检查根是否符合题意（如几何背景中的三角形三边关系）。 19．（2026•赛罕区校级开学）按要求解方程： （1）3（x﹣1）2﹣27＝0；（用直接开平方法） （2）x2﹣6x﹣4＝0；（用配方法） （3）x2﹣3x﹣1＝0；（用公式法） （4）5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0．（用因式分解法） 20．（2026春•临夏市校级月考）用适当的方法解方程： （1）x2﹣2x＝0； （2）x2﹣9＝0； （3）x2﹣x﹣6＝0； （4）x（x﹣2）+x﹣2＝0． 21．（2025秋•南京月考）解方程： （1）4（x﹣1）2＝25； （2）x2﹣6x﹣7＝0（用配方法解）； （3）3x2+2x﹣2＝0（公式法）； （4）2（x﹣2）2＝x2﹣4． 22．（2025秋•哈密市校级期中）用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝9； （2）2x2+3x﹣1＝0； （3）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0； （4）x2﹣4x+1＝0． 23．（2026春•碑林区校级期末）解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）2x2﹣6x﹣1＝0． 【考点4】根的判别式（第24–33题） ※ 方法总结 · 的值直接决定方程根的情况，是中考常见考点。 · 含参数时，根据根的情况列不等式（或等式）求参数范围，注意二次项系数不为0。 · 证明方程总有实数根：将 配方成非负形式（如完全平方式）。 · 结合韦达定理（根与系数关系）可解决更多综合问题。 24．（2026•临平区二模）若关于x的一元二次方程mx2+4x﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m＞﹣2且m≠0 D．m≥﹣2且m≠0 25．（2025秋•涟源市期末）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 26．（2026春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则是方程nx2+mx+1＝0的一个根．其中正确的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（2026•凉州区一模）下列关于x的方程有实数根的是（　　） A．5x2+2＝0 B．2x2+4x+3＝0 C．2x2﹣3＝2x2+4 D．﹣x2+2x﹣1＝0 28．（2026•淮阴区二模）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　 ． 29．（2026•韶关二模）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　 　 ． 30．（2024秋•忠县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，且关于y的不等式组的解集为y≤﹣7，则满足条件的所有整数m的和为　 　 ． 31．（2025秋•北京期末）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是　 　 ． 32．（2025秋•牡丹江期中）若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+2cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当a＝3，b＝4时，则相应的“勾系一元二次方程”为　 　 ； （2）当a＝5，b＝12时，求出相应“勾系一元二次方程”的根． （3）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b＝0（a≠0）必有实数根． 33．（2025秋•静宁县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+2m＝0． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）当m＝2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【考点5】创新及压轴题（第34–36题） ※ 方法总结 · 理解新定义（如“纠缠方程”“连根方程”），将其转化为一般方程或根的关系。 · 利用根的定义、判别式、韦达定理等建立方程（组）求解。 · 注意分类讨论，验证解的合理性。 34．（2026春•潜山市期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 35．（2026春•西湖区校级期中）对于任意实数a，b，c有（a，b）*c＝ab﹣c，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，（1，2）*3＝1×2﹣3＝﹣1． （1）求关于x的一元二次方程（x，x﹣1）*2＝0的解； （2）若关于x的一元二次方程（x，kx）*（x2+2x﹣1）＝0无实数根，求k的取值范围． 36．（2026春•蚌埠期末）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）若x＝3是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且b﹣ac＝﹣1，求b的值． 随堂检测 · 精选练习 练习1 配方法 练习2 因式分解法（根与方程） 练习3 公式法（系数确定） 练习4 一元二次方程与几何（等腰三角形） 练习5 综合解法（四种方法） 【练习1】（2026•头屯河区校级一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【练习2】（2026春•成武县期末）若（x+1）（x+4）＝0，则计算（x+2）（x+3）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【练习3】（2026春•桥西区期末）用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【练习4】（2024秋•南平月考）已知等腰三角形的底和腰是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则该三角形的周长是 　 　 ． 【练习5】（2025秋•呼和浩特月考）解下列方程： （1）（直接开平方法）； （2）2x2﹣4x+1＝0（配方法）； （3）3x2+5x＝1（公式法）； （4）x2﹣1＝3x﹣3（因式分解法）． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 配方法（变形）作业2 解法选择（因式分解）作业3 因式分解与三角形三边 作业4 新定义运算（因式分解）作业5 配方法（求 a+b）作业6 根的定义（代入求值）作业7 根的判别式（相等实根）作业8 综合解法（四种方法） 作业9 配方法纠错 作业10 判别式与韦达定理综合 ❤ 复习建议 巩固配方法： 配方法是基础，务必熟练掌握“移项、化系数、配方、开方”的流程，尤其注意右边加上相同的数。 公式法要熟练： 牢记求根公式，能快速确定 并计算 ，避免符号错误。 灵活选择方法： 解题前先观察方程特征，优先选择简便方法，提高解题效率。 判别式是钥匙： 遇到参数或证明根的情况，立即想到 ，并注意二次项系数不为0。 重视新定义与综合： 创新题常结合新定义或几何背景，需认真阅读题意，将新概念转化为熟悉的方程知识。 【作业1】（2025秋•汝南县期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝3，配方正确的是（　　） A．（x+3）2＝12 B．（x﹣3）2＝12 C．（x+3）2＝3 D．（x﹣3）2＝3 【作业2】（2026•六盘水模拟）一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3 【作业3】（2026•河南一模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2﹣10x+24＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．12 B．16 C．16或18 D．18 【作业4】（2025秋•滨湖区期末）一元二次方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．， 【作业5】（2026春•赛罕区校级期末）一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为　 　 ． 【作业6】（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ． 【作业7】（2025秋•扶余市期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　 ． 【作业8】（2025秋•静海区校级期中）按要求解方程： （1）x（x﹣3）＝x﹣3； （2）2x2﹣8＝0； （3）x（x﹣2）+（x﹣2）＝0； （4）x2﹣5x﹣24＝0． 【作业9】（2025秋•禅城区校级月考）在解一元二次方程2x2﹣8x+6＝0时，小李的解法如下： 第一步：x2﹣4x+3＝0， 第二步：x2﹣4x＝﹣3， 第三步：x2﹣4x+4＝﹣3， 第四步：（x﹣2）2＝﹣3， 第五步：∵﹣3＜0，∴原方程无解． （1）小李的解法中哪一步是“化二次项系数为1”？这一步的依据是什么？ （2）判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【作业10】（2026春•贵池区期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $