专题04 分式方程（6大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 以“概念-解法-参数-应用”为主线，系统覆盖分式方程全题型，通过分层训练构建从基础到综合的知识网络，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式方程的概念|4题选择（含课后作业、模拟题）|考查分式方程定义辨析，强化符号意识|概念为基础，区分整式与分式方程| |解分式方程|4组解答题（含单元测试、课后作业）|训练去分母、验根等步骤，提升运算能力|解法为核心，掌握转化整式方程的方法| |增根求参数|4题填空（含一模、期末题）|结合增根定义求参数，培养推理意识|延伸解法，理解分母为零的特殊情况| |无解求参数|4题填空（含开学考、阶段练习）|分类讨论无解情形，深化逻辑思维|进阶参数问题，区分增根与整式方程无解| |解的情况求值|4题（含阶段练习、期末题）|根据解的正负、整数性求参数范围|综合参数与解的关系，提升分析能力| |实际应用|4题解答（含模拟预测、期中题）|行程、工程等问题建模，体现应用意识|知识落地，用数学语言表达现实问题|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04分式方程 目录 A题型建模·专项突破 题型一、分式方程的概念… ..1 题型二、解分式方程… .2 题型三、已知分式方程的增根求参数… 9 题型四、已知分式方程的无解求参数… 题型五、根据分式方程解的情况求值… …13 题型六、分式方程的实际应用 .16 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、分式方程的概念 1.(2425七年级下·全国课后作业)下列关于x的方程中，是分式方程的是（) 2x3 B.3 x-1=3 C.7+a D. x2-1=2 x+1 2.(2025上海闵行模拟预测)在下列方程中，分式方程是() 4 D. =1 3.(2425七年级上·上海普陀阶段练习)下列方程中，属于分式方程的是() A.1-2 B.-9=x+5 43 C.-1 D.y-1=0 2(2425八年级上山东威海期中)已知方程：0店2；②x2；③y=3:④5+x):⑤y+ 1+x1 y: ⑥1+3x-2)=7-x,是分式方程的是() A.①②③④⑤B.②③④ C.②④⑤ D.②④ 题型二、解分式方程 5.(2425八年级下全国单元测试)解下列方程： 35 (1) 0x-2x: 121 (2)x+33-xX-9 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 41-1= x-5x+5· 6.(2425八年级下·全国课后作业)解下列方程： 2 6 (1) x+32x+1i 11-x-3: (2) x-22-x 23 6 3)x+1x-12-1 1 14x 4)2x+33-2x4r-9 7.(2425八年级下·全国单元测试)解下列方程： +2+3-2 'x-1x-1 5 (2)2a-55-2a 1+1=32 (3) x+2'xx2+2x: x-2 8 -1= 4)x+2=x2-4 8.(24-25八年级下·全国课后作业)解下列方程： 5=0 .x-21 (2)x+33 31 3+3-0, 2-x+1=1: 4x-33-x 26 5)x-1x2-1 x11 (6)2x-44-x2 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、已知分式方程的增根求参数 9.2025甘肃天水一模)关于x的分式方程x乙1”x1有增根，则m的值为一 xta+x 10.(2425八年级上：贵州铜仁期末)若关于x的方程x-2十x一21有增根，则α的值是 11.(2425八年级下·福建泉州阶段练习)当m= 时，方程323会产生增限 4 12.(23-24七年级下浙江绍兴：期末)若分式方程x+x-Dx一1有增根，则它的增根是一. 题型四、已知分式方程的无解求参数 2+m=3 13.关于x的分式方程x一2x2一4x+2无解，则m的值为 x-4 m 14.（23-24九年级上云南楚雄开学考试)如果关于x的方程一33二x=m+4无解，则m的值为 5(2425八年级上河南驻马店期末)已知关于x的分式方程，32士 +x-3无解，则k的值为 16.(24-25八年级下江苏无锡阶段练习)已知关于x的分式方程x-2x x+a5-1,若分式方程无解，则。的 值为一 题型五、根据分式方程解的情况求值 3x-2=m 17.(24-25八年级下吉林长春阶段练习)若关于x的分式方程x+1=x+1 +l的解为负数，则m的取值 范围是 x+3 m 18.(24-25八年级下上海阶段练习)关于x的方程x-2x-2的解是个正数，那么m的取值范围是一 mx-1,1 19.(24-25七年级上上海青浦阶段练习)若关于x的分式方程x-2十2-x =2有整数解，则整数的值 为 2x+b=-1 20.(23-24八年级下安徽宿州：期末)已知分式方程x-3 (1)若分式方程无解，则b的值为 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为， 题型六、分式方程的实际应用 21.(2425八年级下·全国单元测试)甲、乙两组学生从学校出发，去距学校4.5km的敬老院打扫卫生， 甲组学生步行出发0.5h后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的3倍，结果两组学生 同时到达敬老院.步行与骑自行车的速度各是多少？ 22.(2025·云南昆明模拟预测)新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工 具.在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素.现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿 石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的2倍，甲队开采2400吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数 量的锰矿石所用时间少3天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 23.(24-25八年级下四川内江期中)据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》 总票房达1232亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市 场最高票房纪录.为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶.已知 一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个. (1)求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B 种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 24.(2025·黑龙江哈尔滨·一模)在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的 喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈 尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花 费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一 个雪花形会徽徽章多花35元. (1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ (2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2 倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2025八年级上全国专题练习)下列关于x的方程中，不是分式方程的是() A.x+3-3 x.3x2 34 B.3元5 C.- D X2+1=2 x-1 x x-1 32 2.(25-26九年级上广西贺州期中)将分式方程x+2x化为整式方程，下列答案正确的是(） A.3=x+2 B.3x=x+2 C.3(x+2)=2x D.3x=2(x+2) 3.(25-26八年级上·湖南邵阳期中)雪峰山苏宝顶海拔1934米，素有“湖南的青藏高原”之美名，是湖 南省知名的避暑、旅游、登山、科考胜地.甲乙两人分别驾车同时从山脚出发驶往30千米外的苏宝顶.若 乙的车速是每小时x千米，甲的车速是乙的1.25倍，结果甲比乙早到15分钟.根据题意可以列出的方程是 () 3030 3030 A.1.25x x =15 B. x1.25x =15 30301 30301 C.1.25xx4 D.x1.25x4 -1=2x 4.(25-26八年级上河北秦皇岛期中)已知关于x的分式方程x+1 x+1有增根，则k的值为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 5。(25-26八年级上山东聊城期中)若关于的方程，二4=m+” 1+4-x无解，则m的值为() A.-2或0 B.2或0 c.0 D.-2 二、填空题 《25-26八年级上全国课后作业)有下列方程：①2x+5=10;②x-=2,③23年 +号分=0，其中属于分式方程的是一。 3 (请填写序号) 7.(25-26八年级上河北石家庄期中)若关于x的方程x-1十1-x 3++m=2的解为负数，则m的取值范围是- 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (8-2x>2 8.(25-26八年级上重庆期中)若关于的不等式组3有且仅有3个整数解，且关于的分式方 4x≥a-2 程y-33-y =1的解为正数，则符合条件的所有整数。的和为一 x-3a=2a无解，则a的值为- 9.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)若关于x的分式方程x-33-x 10.(25-26八年级上广东广州期中)定义：若两个分式的和为n(n为正整数)，则称这两个分式互为 3+33-3,所以分武释与互为3阶分式”， 3x.3 “n阶分式”.例如：x+1x+1x+1 8x (1)分式2x+1与—互为“4阶分式”： 2 (2)若分式a+与a-互为“1阶分式”，则a= 三、解答题 11.(25-26八年级上湖南益阳·期中)解方程： 03 3 1= x-22-x 124 (②)x-1x+1X-1 12.(25-26八年级上湖南娄底·期中)解分式方程： 01++2=2, x-22-x 124 (2x-1x+12-1 1(0人年缓广巴来卖阶受纺》下面是小杰同学解分式：号-2的过配， x-2 请认真阅读，并完成相应的任务. 【任务一】 解：去分母得：2x+3-2=-(x-)…① 去括号得：2x+3-2=-x+1…②， 移项得：2x+x=1+2-3…③， 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 合并同类项得：3x=0…④， 系数化为1得：x=0…⑤ ∴x=0是原分式方程的解. (1)解答过程中，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是 (2)第③步变形的依据是 (3)小杰的解答过程缺少什么必要步骤？ 【任务二】写出该分式方程的正确解答过程 31=m 14.(25-26八年级上湖南张家界期中)已知关于x的分式方程：23x-16x-2· (1)当m=4时，解该分式方程： (2)若该分式方程无解，求m的值. 15.(25-26九年级上·重庆沙坪坝期中)列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括 “状元书历”和“二五手环”.若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状 元书历”和3个“二五手环”需花费45元. (1)请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低3元，“二五手环”的售价降 低a元.经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100 个，求出a的值. ax=3+1. 16.(25-26八年级上河北期中)已知关于x的分式方程x-x-1 (1)若该方程有增根，求a的值 (②)若该方程的解为非负数，求a的取值范围。 (3)若该方程的解为整数，直接写出整数a的值 17.(24-25八年级上·河北承德阶段练习)某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区 绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单 独完成900m2的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成800m的绿化面积所用天数少1天. (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少m2? (2)该小区需要绿化的面积为8000m2,建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每 天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 明y=9,￥明x士关缈率9”准本少倒凿呼多芳（中m图图Y9沉S)8 k 是x= 一b成立，那么我们就把实数a,b组成的数对(a,b)称为关于x的分式方程-b=k的一个“k相 系数”. 例如：当a=3,b=2时，使得关于x的分式方程 -2=1的解是x=3-21成立，所以数对(B.2)称为 11 关于的分式方程是-b=乐的一个1相关系数” 11 (1四在数对0(1,0)：②(2，-3)：③22中， (只填序号)是关于x的分式方程b=k的“1相关 系数”： ②若数对化-22+)是关于x的分式方程b=太的一个“1相关系数”，求的值： ③)若数对e+d,d)(e2士1且。去0）是关Tx的分式方程b=k的一个1相关系数”，且关Tv的方 程-c+1=0有整数解，直接写出整数c的值. 8/8 专题04 分式方程 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式方程的概念 1 题型二、解分式方程 2 题型三、已知分式方程的增根求参数 9 题型四、已知分式方程的无解求参数 11 题型五、根据分式方程解的情况求值 13 题型六、分式方程的实际应用 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式方程的概念 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，即可得出答案． 【详解】A、是整式方程，不符合题意； B、是整式方程，不符合题意； C、是关于的整式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 题型二、解分式方程 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)原方程无解 (4) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本方法，是解题的关键， （1）两边同时乘去分母变为整式方程，然后解整式方程，检验即可； （2）两边同时乘去分母，然后解整式方程，最后检验即可； （3）两边同时乘去分母变为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可； （4）两边同时乘去分母变为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （4）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)无解 (3)无解 (4)无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本方法，是解题的关键， （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （3）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （4）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得： 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （3）解：， 去分母得：， 去括号得： 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （4）解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)无解 (2) (3) (4) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （3）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （4）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1） 两边都乘以，得 解得 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． （2） 两边都乘以，得 解得 检验：当时，， ∴是原方程的解． （3） 两边都乘以，得 解得 检验：当时，， ∴是原方程的解． （4） 两边都乘以，得 解得 检验：当时，， ∴是原方程的解． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了； （2）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了； （3）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了； （4）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了； （5）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了； （6）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了． 【详解】（1）解： 解得， 经检验是原方程的解； （2）解： 解得， 经检验是原方程的解； （3）解： 解得， 经检验是原方程的解； （4）解： 解得， 经检验是原方程的解； （5）解： 解得， 经检验是原方程的解； （6）解： 解得， 经检验是原方程的解． 题型三、已知分式方程的增根求参数 9．（2025·甘肃天水·一模）关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程有增根的问题，解题的关键是理解增根的含义．依据分式方程的增根确定字母参数的步骤是：①分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值． 【详解】解：根据题意得：， 分式方程有增根， 最简公分母， 解得，， 将代入，得， 故答案为： 10．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母为0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值． 【详解】解：由分式方程的最简公分母是， 得分式方程的增根是. 分式方程转化成整式方程为， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）当 时，方程会产生增根． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的父母为的根． 先把方程化为整式方程得到，根据题意得到，，代入求出． 【详解】解：把方程化为整式方程得， 方程有增根， ， ， 把代入得， ， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若分式方程有增根，则它的增根是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去分母化分式方程为整式方程，让最简公分母，得到或，然后代入整式方程算出a的值，即可确定增根． 【详解】解：由， 去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时， ， 解得； 当时， ， 矛盾，a不存在． 故答案为：． 题型四、已知分式方程的无解求参数 13．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 14．（23-24九年级上·云南楚雄·开学考试）如果关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， ， 方程无解， 或， 解得或， 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 16．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 当，方程无解， ∴， ∴原分式方程无解， 当时，，若分式方程无解，则， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或． 题型五、根据分式方程解的情况求值 17．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解： 原方程去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 18．（24-25八年级下·上海·阶段练习）关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识．根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零． 【详解】解：由原方程去分母，得， 解得， 关于x的方程的解是正数， ， 解得， 又， ， ，， 故m的取值范围为且， 故答案为：且． 19．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 20．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知分式方程． （1）若分式方程无解，则b的值为 ． （2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ． 【答案】 且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键． （1）先将分式方程化为整式方程，再求b． （2）先表示分式方程的解，再求范围． 【详解】（1） 方程两边同乘得：． ∴． 方程无解， ， ． ∴． ∴． 故答案为：． （2）由（1）知：． ∴． 方程的解是非负数． ∴． ∴． ， ∴ ． ∴． ∴且 故答案为：且． 题型六、分式方程的实际应用 21．（24-25八年级下·全国·单元测试）甲、乙两组学生从学校出发，去距学校的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的倍，结果两组学生同时到达敬老院．步行与骑自行车的速度各是多少？ 【答案】； 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是关键． 设步行速度为，则自行车的速度为，由此列分式方程求解即可． 【详解】解：设步行速度为，则自行车的速度为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行速度为， ∴， ∴自行车的速度为． 22．（2025·云南昆明·模拟预测）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 【答案】吨、吨 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，熟练根据题意正确设元并列出等式是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍”得甲队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天”列式，求解即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石的量为吨，则甲队每天开采锰矿石的量为吨， 根据题意，得：， 解得：（吨）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为吨、吨． 23．（24-25八年级下·四川内江·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 (2)最少要花3210元钱 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， （2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且． 24．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． (1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ (2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 【答案】(1)购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元 (2)20个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购买一个“雪花形会徽徽章”需要x元，则一个“滨滨”需要元，根据“购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半”，进行列式，解出，注意验根，即可作答． （2）设购买雪花形会徽徽章m个，根据总费用不超过2700元进行列式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购买一个雪花形会徽徽章需元，则一个吉祥物“滨滨”玩偶元． 根据题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解， ， 答：购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元； （2）解：设购买雪花形会徽徽章个．根据题意得， 解得， 答：最多购买雪花形会徽徽章20个． 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（25-26九年级上·广西贺州·期中）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，通过寻找分式方程的最简公分母，两边同乘以公分母消去分母，转化为整式方程． 【详解】解： ， 两边同乘 得： 左边：， 右边：， ∴ 整式方程为， 故选D． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）雪峰山苏宝顶海拔1934米，素有“湖南的青藏高原”之美名，是湖南省知名的避暑、旅游、登山、科考胜地．甲乙两人分别驾车同时从山脚出发驶往30千米外的苏宝顶．若乙的车速是每小时千米，甲的车速是乙的倍，结果甲比乙早到15分钟．根据题意可以列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意是关键． 设乙车速为千米／小时，则甲车速为千米／小时，根据甲比乙早到15分钟列出方程即可． 【详解】解：由题意得，即 故选：D． 4．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 5．（25-26八年级上·山东聊城·期中）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，注意方程无解的情况有两种：一是化简后得到矛盾等式；二是解出的根为增根（使分母为零）．将分式方程先化简，得到，分和 两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：移项得：，即， 情况一：当 时，方程变为 ， 分子为，分母不为零时值不可能为零， 方程无解； 情况二：当 时， 方程两边同乘以 得，， 整理得， ， 若此解为增根，则增根为， 令，即，解得； 综上，方程无解时 或 ． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，解题的关键是分别求解不等式组和分式方程，再根据条件确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据整数解的个数确定的范围；再解分式方程，根据解为正数且分母不为零确定的另一范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式组 解得：． 不等式组有且仅有3个整数解， 这3个整数解为、， ， 解得：， 解分式方程 解得：， 分式方程的解为正数，且． 由得，； 由得，即． 结合不等式组和分式方程的条件，的取值范围为且， 整数为， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】0.5或 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握分式方程无解产生的原因和解法，是解题的关键． 直接解分式方程，再分类讨论当时，当时，分别得出答案． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得：． 当，即时， ． 该方程无解． 则原分式方程无解． 符合题意． 当，即时， 若原方程无解， 那么它有增根． 则． 解得：． 综上，a的值为0.5或． 故答案为：0.5或． 10．（25-26八年级上·广东广州·期中）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与 互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，解分式方程，理解“n阶分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“n阶分式”的定义，分式 的“4阶分式”为，通过分式减法计算即可； （2）根据“1阶分式”的定义，分式与的和为1，列出方程求解，注意分母不为零． 【详解】解：（1） 设另一个分式为， 则：， 故分式与互为“4阶分式”； （2）由定义得：， 去分母可得：， 解得：， 当时，，满足题意 ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟悉解分式方程的基本步骤． （1）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可； （2）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2） 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴不是原方程的解，原方程无解． 12．（25-26八年级上·湖南娄底·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解； （2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解． 【详解】（1）两边同时乘以得， 即， 移项， 解得，经检验是原方程的根， 所以原分式方程的解为； （2）两边同时乘以得， 即， 解得，经检验是原方程的增根， 所以原分式方程无解． 13．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）下面是小杰同学解分式方程：“”的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 【任务一】 解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③， 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤． 是原分式方程的解． （1）解答过程中，第__________步开始出现了错误，产生错误的原因是__________； （2）第③步变形的依据是__________； （3）小杰的解答过程缺少什么必要步骤？ 【任务二】写出该分式方程的正确解答过程 【答案】任务一：（1）①；去分母时，2没有乘最简公分母；（2）等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立；（3）验根；任务二：见解析 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 任务一：（1）根据题干中解方程的步骤进行判断即可； （2）根据题干中解方程的步骤即可求得答案； （3）小杰的解答过程缺少验根这一步； 任务二：将错误改正后解方程并检验即可． 【详解】解：任务一：（1）由解方程的步骤可得第①步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，2没有乘最简公分母； 故答案为：①；去分母时，2没有乘最简公分母； （2）由解方程的步骤可得第③步变形的依据是等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立； 故答案为：等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立； （3）小杰的解答过程缺少验根这一步； 任务二：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 14．（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 15．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． (1)请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 【答案】(1)每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元 (2)a的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100”建立分式方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元； （2）解：降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，当时，，即是分式方程的解， 答：的值为． 16．（25-26八年级上·河北·期中）已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可； （3）根据方程的根为整数，结合（2）所求可，，即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：a的值为3； （2）解：∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且； （3）解：∵该方程的解为整数，， ∴，， 解得或或或， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 17．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是，列分式方程求解即可，注意检验增根； （2）设应安排甲工程队工作天，则应安排乙工程队工作天，进而列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合实际． 答：甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是． （2）设应安排甲工程队工作天， 则应安排乙工程队工作天 根据题意得： 解得：． 的最小值是10． 答：至少应安排甲工程队工作10天． 18．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 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