专题01 分式及其基本性质（12大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦分式概念与性质，以12类题型构建从基础辨析到性质应用的递进训练，突出知识生成逻辑与解题能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|12题|分式判断、有无意义及值为零的条件|从分式定义出发，逐步深化对分母限制条件的理解，培养抽象能力| |性质应用|16题|分式变形、值的变化、系数整数化等|围绕分式基本性质，训练符号运算与推理意识，构建性质应用的逻辑链条| |运算化简|10题|约分与最简分式判断|衔接性质与运算，强化运算能力，形成从性质到化简的完整认知| |规律探究|4题|分式规律归纳与应用|通过观察猜想培养创新意识，体现数学眼光的现实应用|

专题01 分式及其基本性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式的判断 1 题型二、分式有无意义的条件 3 题型三、分式值为零的条件 4 题型四、分式的规律性问题 5 题型五、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 8 题型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 10 题型七、判断分式变形是否正确 11 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 13 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 14 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 15 题型十一、约分 17 题型十二、最简分式 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式的判断 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，其中分式的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解决本题的关键． 根据分式的定义：即分母中含有字母的式子叫做分式，即可一一判定； 【详解】解：，，都是整式，不是分式， ，是分式，共个； 故选：C 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】此题考查了分式，形如（其中、都是整式，且中含有字母），这样的式子叫做分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义进行解答即可． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④，分式有①；③． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念，一般的，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，由此问题可求解，熟练掌握分式的概念是解题的关键． 【详解】解：根据分式的概念可知是分式的有，，，，共个， 故选：． 4．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）在，，，，，中，分式的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式定义是解题的关键，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式。 【详解】解：由此可得，不是分式，，，， 是分式，共4个分式， 故选B 题型二、分式有无意义的条件 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若分式在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式的分母不等于0是分式有意义的条件．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：B 6．（2024八年级上·全国·专题练习）要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 即． 故选：B． 7．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）分式无意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件：分母为0．根据分式有意义的条件，即可解答． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：， 故选：B． 8．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）若分式无意义，则的值为（       ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， 故选：C． 题型三、分式值为零的条件 9．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可． 【详解】解：∵， 解得 ∴x的值为 故答案为： 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当 时，分式的值为零． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分子的值等于且分母的值不等于解答即可求解，掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）分式，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键． 直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 解得：， 故答案为：． 题型四、分式的规律性问题 13．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题主要考查代数式的规律，分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的2倍，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第n个式子是，即可求得第7个式子． 【详解】解∶ ； ； ； ； ； 则第n个式子为 这列分式中的第7个式子是， 故答案为：；． 16．（23-24八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】分式的规律性问题 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 题型五、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 17．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值： ． 【答案】4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对） 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式的值，根据除法的符号法则可知分子与分母同号，又分子，故分母， 从而求出的取值范围，熟练掌握分子与分母同号，分式的值大于0，分子与分母异号，分式的值小于0是解决此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ， 又 ， ， ， 故当时，分式的值为正数， ∴的正整数值可为4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）， 故答案为：4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）． 18．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）分式的值为负数，求x的取值范围 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 19．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查分式的值，根据分式的值为负数，绝对值为非负数，得到且，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴； 故答案为：． 20．（24-25八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 【详解】解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 题型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 21．能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 22．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 ． 【答案】1 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，把握分母是4的因数是解题的关键；由题意，是4的因数，且为奇数，由此可求得m的值，进而求得所有整数m的和． 【详解】解：要使分式的值是整数，则是4的因数， 故， 但是奇数，则， 所以或0 ； 所以； 故答案为：1． 23．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 24．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有 ． 【答案】2，3，5 【知识点】约分、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的化简，先根据分式的性质化简分式，然后根据题意得到x的取值，进而可求解． 【详解】解： ， ∵x为整数，且分式即的值为正整数， ∴x可取的值有2，3，5， 故答案为：2，3，5． 题型七、判断分式变形是否正确 25．（24-25八年级上·天津和平·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】杠题主要考查分式的运算，分别根据分式的运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项A计算错误，不符合题意； B．，故选项B计算错误，不符合题意； C．，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 26．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 27．（24-25八年级上·广西贵港·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质即可判断． 【详解】解：A、不一定成立，故选项不符合题意； B、正确，故选项符合题意； C、不一定成立，故选项不符合题意； D、不成立，故选项不符合题意； 故选：B． 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 28．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 29．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为 ， 所以分式的值扩大为原来的2倍， 故选：A． 30．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大2倍 D．缩小为原来的 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， 则， 即分式的值缩小为原来的， 故选：B． 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 31．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 32．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 33．（2024八年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【解析】略 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 34．（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【答案】（答案不唯一） 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 35．（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 36．（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 37．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数． （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3） 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 题型十一、约分 38．（24-25八年级上·广东广州·期末）化简分式的结果为 ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．先对分子和分母因式分解，然后根据分式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·全国·周测）约分：（1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分： （1）利用分式的基本性质，进行约分即可． （2）利用分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）约分： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． （1）先将分子分母提公因式，再约分即可； （2）先将分子分母因式分解，再约分即可； （3）先将分子因式分解，再约分即可； （4）先将分子分母因式分解，再约分即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 41．（2025七年级下·全国·专题练习）化简： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分； （1）直接约分即可求解； （2）先把分子分母因式分解，再约分； （3）先把分子分母因式分解，再约分． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． （3） 故答案为：． 题型十二、最简分式 42．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）下列分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】约分、最简分式 【分析】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 43．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 【答案】 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②，不是最简分式，不合题意； ③，不是最简分式，不合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有个， 故答案为：． 44．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的定义； 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】解：，，，，均不是最简分式； 是最简分式，最简分式的个数是1， 故答案为：1． 45．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【知识点】最简分式、约分 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分母不为零列出不等式计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式中，从左向右的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据判断A；再根据可判断B；然后根据，再约分可判断C；最后根据判断D． 【详解】解：因为，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，不能化简，所以D不正确． 故选：D． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质计算即可． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 4．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）下面各式中，，分式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：是整式， 是分式， 故选B． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的约分，先对分子分母的多项式因式分解，再根据分式的基本性质进行约分，据此依次计算即可． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． 分母不是乘积形式，不能约分，故该选项不正确，不符合题意； C． ，分母不能因式分解，已经是最简分式故该选项不正确，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，不可能是整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性，熟练掌握分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性是解决本题的关键． 根据分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性解答此题． 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不符合题意； B、当时，有意义，故此选项不符合题意； C、当时，的值是整数，故此选项不符合题意； D、根据偶次方的非负性，得，即无论x为何值，的值总为正数，故此选项不符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·山东德州·期末）若分式无意义，则 ． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件——分式的分母等于0是解题的关键．根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了使分式的值为0时，求的值，要保证分子为0的同时，分母不为0，计算出结果即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 又， ∴取． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子：，，，，，分式有 个． 【答案】3 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键． 根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，，的分母中含有字母，属于分式，共有3个． 故答案为：3． 10．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 【答案】 【知识点】最简分式 【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可， 掌握最简分式的概念是解题的关键． 【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 12．（2025·吉林·模拟预测）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】或/6或2 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，将分式化简为，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可． 【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且， ∴当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 三、解答题 13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）约分： （）； （）； （）； （）． 【答案】（）；（）；（）；（） 【知识点】完全平方公式分解因式、约分、平方差公式分解因式 【分析】（）先分子分母提公因式，再约分即可； （）先分子分母因式分解，再约分即可； （）先分子因式分解，再约分即可； （）先分子分母因式分解，再约分即可； 本题考查了分式的约分，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式； （）原式； （）原式； （）原式． 15．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查的是分式的值，分式无意义的条件，解一元一次不等式组，掌握分式的值为正数、值为零、分式有意义、无意义的条件是解题的关键． （1）分式的分子为0，分母不为0时，y的值为0； （2）分式的分母为0时，分式无意义； （3）分式的分子、分母同号时，y的值是正数； 【详解】（1）解：当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0， 所以，解得， 此时，所以当时，y的值为0； （2）当分母为0时，分式无意义，则时，即时分式无意义； （3）因为y的值为正数，所以可得：①或②， 解①得，此时无解，解②得，解为， ∴当时，y的值为正数． 16．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知：代数式 (1)当m为何值时，该式无意义？ (2)若该式的值为正数，求m的取值范围； 【答案】(1)时，该式无意义 (2) 【知识点】分式无意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案； （2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义； 所以时，该式无意义． （2）由题意得，该式的值为正数时，， 即． 【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 18．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【知识点】约分、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01分式及其基本性质 目录 A题型建模·专项突破 题型一、分式的判断… .1 题型二、分式有无意义的条件…… 3 题型三、分式值为零的条件. 4 题型四、分式的规律性问题… 5 题型五、求使分式为正（负）数时未知数的取值范围.… 8 题型六、求使分式值为整数时未知数的整数值… 10 题型七、判断分式变形是否正确…。 .11 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 13 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数… 14 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数… 15 题型十、约分17 题型十二、最简分式 ….19 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、分式的判断 1.(2425八年级上山东淄博阶段练习)下列各式： -, 4x x-y 3 4 6 π-2’2，x,2其中分式的个数有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7 2。(2425八年级上湖南长沙期末)给出如下武子：四：包0：@4-：④元3，其中是分式的 是() A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.①④ 是.2.，K+川兰是分式的有 3.(2425八年级上山东临沂阶段练习)下列各式中x,x2+1元’m () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 1 424253人年级山玻阶段练在中1.，+中，分式的个数经 () 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 题型二、分式有无意义的条件 5(2425人年级上吉候长春别末)分式号在实数范国内有恋又，测实数，应清足的条件是() A.x=3 B.x≠3 C.x=-2 D.x≠-2 x-1 6.(2024八年级上·全国专题练习)要使得分式x-i有意义，则x满足的条件是（） A.x≠-1 B.x≠±1 C.x≠0 D.x≠1x≠1 2 7.(2425八年级上·贵州黔南阶段练习)分式x一无意义，则x的取值范围是() A.x≠1 B.x=1 C.x≠-1 D.x=-1 x+1 8.(23-24八年级上山东泰安阶段练习)若分式x2一1无意义，则x的值为（) A.1 B.-1 C.-1或1 D.0 题型三、分式值为零的条件 x+2 9.(2425八年级上重庆长寿阶段练习)若分式x-1的值为0，则x的值为— 2-9 10.(24-25八年级上辽宁大连期朱)当x=一时，分式 -3的值为零， 11.(2425八年级上湖北武汉阶段练习)分式 - =0,则x= x+1 (x+2)(x+3) 12.(24-25八年级上河南信阳：期末)若分式x2一4 的值为0，则x的值为 题型四、分式的规律性问题 25101726 13.(24-25八年级上湖南永州阶段练习)观察下列分式：x,产下，文文“，按此规律第100个分 式是 b2 bs b8 b 14.（23-24八年级上全国单元测试)一组按规律排列的式子：。，。。，口…(b≠0，则第n的个 式子是 2/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 246810 15.（23-24八年级上全国单元测试)一组按规律排列的式子：。a。。,…,其中第7个式 子是一，第n个式子是一（用含n的式子表示，n为正整数）. x3 xs x7 x9 16.(23-24八年级上全国课后作业)观察下面一列分式：)，产，方，了，…（其中x ￥0）. (1)根据上述分式的规律写出第6个分式： (2)根据你发现的规律，试写出第n(n为正整数)个分式，并简单说明理由. 题型五、求使分式为正（负）数时未知数的取值范围 17.(2425八年级上河北廊坊期末)已知分式5-x的值为正数，写出一个符合条件的x的正整数值：一 x-2 18.(24-25七年级上上海浦东新阶段练习)分式(x-了的值为负数，求x的取值范围 x-1 19.(23-24八年级上山东聊城单元测试)若分式 x-2的值为负数，则x的取值范围是 5x+3 20.(24-25八年级上山东威海·期中)若分式x+1的值为负数，则x的取值范围 题型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 6x+21 2L.能使分式2x-3值为整数的整数x有—个， 22.(23-24八年级下江苏盐城阶段练习)若使分式2m-的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 10x-11 23.(24-25七年级下浙江杭州阶段练习)若分式2x-1的值为整数，则整数x的值为 4x+4 24.(24-25八年级下江西景德镇期末)己知x为整数，且分式x2一1的值为正整数，则x可取的值有一 题型七、判断分式变形是否正确 25.(24-25八年级上天津和平·期末)下列计算正确的是() 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2x2= 5.27 2x2 B.二+ x 2x 3x 2(b+c)=2 C.a+3(b+c)a+3 D.+y--y-2 xyxy x 26.(24-25七年级上·上海阶段练习)下列式子从左到右变形，正确的是() A.y+1 (y+1)2 B.x+2-x y-1(y-1)(y+1) y+2 y 4x2-2x C.2xy y x x2 D.y-y 27.(24-25八年级上：广西贵港期中)下列各式从左到右的变形中，正确的是（) B.名品 a a-l C.b-b-1 -2+a_2+a D.b b 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 x+y 28.(2425八年级上·重庆长寿阶段练习)若把分式2y中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值 () A.扩为原来的大3倍B.不变 C.缩小为原来的？D.缩小为原来的 x2+y2 29.(23-24七年级下浙江宁波：期末)如果分式2x-3)中的，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值 () A,扩大为原来的2倍 B.扩大为原来的4倍 C.不变 D.不能确定 x-y 30。(23-24八年级上·云南楚雄：期末)如果把分式3y中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值 () A.不变 B.缩小为原来的三C.扩大2倍 D.缩小为原来的4 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 -3x+1 31,(23-24八年级下河南新乡阶段练习)不改变分式x+7x-2的值，使分式的分子、分母中x的最高 次项的系数都是正数，应该是() 3x+1 3x+1 A.x2-7x+2 B.x2+7x+2 3x-1 3x-1 C.X2-7x+2 D.x2-7x-2 1-2x 32.(24-25八年级下-江苏徐州期中)不改变分式的值，使分式严+3x-3的分子、分母中的最高次项的 系数都是正数，则分式可化为() 2x-1 2x-1 2x+1 2x+1 A.2+3x-3 B.X2-3x+3 C. x2+3x-3 D.x+3x+3 2-3x2+x 33.(2024八年级上·全国：专题练习)不改变分式5x+2x一3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， 正确的是() 3x2+x+2 3x2-x+2 3x2+x-2 3x2-x-2 A.5x2+2x-3 B 5x2+2x-3 C.5x-2x+3 D 5x3-2x+3 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 0.2x+1 34.(24-25八年级上北京昌平期中)不改变分式5-0.3的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 0.2x+1 5-0.3x 0.3a+0.02b 35.,(23-24八年级下全国单元测试)不改变分式的值，把分式0.1c-0.03d的分子和分母各项的系数都 化为整数得」 1 0.3m+-n 36.(23-24八年级下江苏南京期中)不改变分式 5的值，把它的分子与分母中的各项系数都化 m-0.4n 成整数，结果为 37.(23-24八年级上全国课后作业)不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数 1 x+。y 1 3 (1)0.2x-0.5y_ -；(2) -a- 2 (3)21 0.7x+0.3y 5 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型十一、约分 a2-ab 38.（2425八年级上广东广州期末)化简分式。2二2b+的结果为 -24x2y3z 39.(24-25七年级下全国周测)约分：(1)8y22 2a(a-1) (2) 8ab21-a) 40.(2425七年级下全国课后作业)约分： 8ab'c (1) 6abc2= 2a-2 (2)a2-1 x2-4x+4 (3) 2x-4 x2+6x+9 (4)x2-9 41.(2025七年级下全国专题练习)化简： (1) 3ab(a-b) 12a(b-a)3 a2-b2 (2)）a2+2ab+6 x2+y2+2xy-4 (3) x+y-2 题型十二、最简分式 42.(24-25八年级下甘肃武威开学考试)下列分式中，为最简分式的是（) x2+y2 x-y 6 x2 A. D. x+y B.x-y C.2x+2y Xy a-3 x-y m 2 48.(23-24八年级上：山东青岛单元测试)下列4个分式中：①+3：②-少：®2m7: m+1, 最简分式有一个. 6/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12b2c5(x+y)2a2+b24a2-b2a-b 44.(23-24八年级下-江苏泰州阶段练习)下列分式40、y+x`3(a+b)2a-bb-a中，最简分 式的个数是一个 45.(22-23七年级上海假期作业)下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式. 3a(a-b)° (2)4b-a· B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1,(2425八年级上江西上饶期末)若分式x+1有意义，则x的取值范围为（) A.x≠1 B.x≠-1 C.x≠0 D.x=-1 2.(2425八年级上湖北武汉期末)下列等式中，从左向右的变形不正确的是() A. 2bc =2b B.2-x=x-2 ac a x x -x2 =-Y c.(x-y)y-x D.x2+9-x+3 x2-9x-3 2x-3y 3.(2425八年级上~云南昆明：期末)把分式x+y中的x'y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（ A.扩大为原来的4倍 B.扩大为原来的8倍C.缩小为原来的4D.不变 1111 4(（2425八年级上湖南水州阶段练习)下面各式中，专+2可5+a4京，分式的个数有《) A,1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2025七年级下全国专题练习)下列约分正确的是() 4.( 2b+c9=2 B.a+3(b+c)a+3 7/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-y 1 C. a+b 2 atb-atb D.x-yx+y 6.(2425八年级上山东泰安期末)下列关于分式的判断，正确的是（) 2x+1 x+2 A.当x=3时，x-3的值为0 B.当x≠-2时，x有意义 3 C.无论x为何值，x+1不可能是整数D.无论x为何值，x+的值总为正数 二、填空题 7.(2425八年级上山东德州：期末)若分式a+2无意义，则a=— -3 8。(2425八年级上河北廊坊：期末)若分式-3的值为零，则x=一 。(2324八年级上南邢州期未)下列式子：1+1+13心 m’2，元’m，3x2分式有—个. 10.(24-25八年级上山东淄博阶段练习)下列各式中，最简分式有一个. 1 .10+4a 4y2+10y ①1-x: ②+2 2x:③2：④ 5+2a:⑤2y+5 25101726 1.(2425八年级上湖南永州阶段练习)观察下列分式：元产F文下，按此规律第10个分 式是 3a+2 12.(2025:吉林模拟预测)若a为正整数，且a也为正整数，则a的值为 三、解答题 13.(23-24八年级上·全国课堂例题)不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整 数： 0.5x- (1) 3y 0.25x-0.2y 5 (2)31 4x-3y 14.(2025七年级下·全国专题练习)约分： -25a2bc3 （1）15ab2c 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2-4 2) ab+2bi 2x2+4xy+2y2 （3) x+y m2-4m+4 （4) 4-m2 5.(2425八年级上山东东营阶段练习)已知V2-3,*取哪些值时： (1y的值是零： (2)分式无意义； (3y的值是正数： 16.(23-24八年级上河北邢台阶段练习)己知：代数式1+m (1)当为何值时，该式无意义？ (2)若该式的值为正数，求m的取值范围： x3 17.(2025八年级下全国专题练习)给定下列分式：y,了，户，了，“(y≠0) (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式. 18.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨期末)我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分 式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 品品1 a-1 3a-1_3(a+)-4_3a+l_4=3-4 a+1a+1a+1a+1 a+1 参考上面的方法，解决下列问题： a-1 a-1 (1)将。+i变形为满足以上结果要求的形式：a+i 4a-3 (2)若。-变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数。的值： a2-2a+3 3)将“。1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(2025七年级下·全国·专题练习)（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式 为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”，例如： 42-8x_4xx-2=4x,则称分式 x-2x-2 4x2-8x x-2是“巧分式”，4x为它的“巧整式”.根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有一一（填序号）； Ox-2x-3x+2) x0x+2)；②2+5ox2-y 9x+3:③x+y· -2x3+2x 2x3+4x2+2x 2诺分式A的“巧整式”为1-x请判断A是否是“巧分式”，并说明理由. 10/10