专题01 分式及其基本性质（12大题型）（专项训练）数学人教版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01分式及其基本性质 月录 A题型建模·专项突破 题型一、分式的判断… 题型二、分式有无意义的条件.… .3 题型三、分式值为零的条件… .4 题型四、分式的规律性问题。 .5 题型五、求使分式为正（负）数时未知数的取值范围… 8 题型六、求使分式值为整数时未知数的整数值… .l0 题型七、判断分式变形是否正确… 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化… 13 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数… 14 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 .15 题型十一、约分… 题型十二、最简分式… …17 .19 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、分式的判断 162425八年餐上东器将阶假统习》下列名式和小，名·学之，兰其中分式的个黄有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 之245八年级上测商长沙期末)给出安下式子：@片：②店：@，乙：@点浅中是分式的足 10 4-x () A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.①④ 3.(2425八年级上山东临沂阶段练习)下列各式中，之，+1，x+川，￡是分式的有() x’2+1'元’m A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 424公人年级上山东城树段签习》在华子，，识，，1：中，分式的个数有《) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 题型二、分式有无意义的条件 5.(2425八年级上吉林长春期未)若分式x+2在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是() x-3 A.x=3 B.x≠3 C.x=-2 D.x≠-2 6。(2024八年级上全国，专题练习)要使得分式号有意义，则x满足的条件是() 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.x≠-1 B.x≠士1 C.x≠0 D.x≠1x≠1 元(2425八年级上贵州黔南阶段练习）分式二无意义，则x的取值范围是（） A.x≠1 B.x=1 C.x≠-1 D.x=-1 8(2324八年级上山东泰安阶段练习)若分式7 无意义，则x的值为() A.1 B.-1 C.-1或1 D.0 题型三、分式值为零的条件 9(24-25八年级上重庆长寿阶段练习)若分式+2 x-1 的值为0，则x的值为一 10.(2425八年级上辽宁大连期末)当x=_时，分式-9的值为零. x-3 1.（2425八年级上湖北武汉阶段练习)分式1=0，则x= x+1 12.2425八年级上河南信阳期末)若分式+2x+3到的值为0，则的值为一 x2-4 题型四、分式的规律性问题 13.(24-25八年级上湖南永州-阶段练习)观察下列分式：2，-5,10-1726 7子，按此规律第100个分式 是 14.(23-24八年级上全国单元测试)一组按规律排列的式子：b,-6b_b aa2'。(ab≠0)，则第的个式 子是 15.(23-24八年级上全国单元测试)一组按规律排列的式子：2，-4,6，-8,10， 。20。…其中第7个式子是 ,第n个式子是一（用含n的式子表示，n为正整数）. 6324八年报上全低说后作》理繁下面-列粉式：号手号号（： (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n(n为正整数)个分式，并简单说明理由. 题型五、求使分式为正（负）数时未知数的取值范围 17.(2425八年级上河北廊坊期末)已知分式。1的值为正数，写出一个符合条件的x的正整数值： 5-x 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.245七年级上上海浦东新份段练习》分式子的省为负数。求：的取值范用 19.(23-24八年级上山东聊城单元测试)若分式K-的值为负数，则x的取值范围是」 3x-2 20(2425八年级上：山东威海期中D若分式十的值为负数，则的取值范围 题型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 21.能使分式6x+2值为整数的整数x有一个. 2x-3 22.(23-24八年级下江苏盐城阶段练习)若使分式，4，的值是整数，则所有符合条件的整数m的和 2m-1 为 23.(2425七年级下浙江杭州阶段练习)若分式10-的值为整数，则整数x的值为 2x-1 24.(2425八年级下江西景德镇期末)已知x为整数，且分式牛4的值为正整数，则x可取的值有一 题型七、判断分式变形是否正确 25.(24-25八年级上·天津和平，期末)下列计算正确的是() A.2x2= 2r2 B.5+27 x 2x 3x 2(b+c 2 C. D.x+y_x-y2 a+3(b+ca+3 xyxy x 26.(24-25七年级上·上海阶段练习)下列式子从左到右变形，正确的是() A.y+1 y+)2 B.x+2x y-1y-1)(y+1 ”y+2y c.29y 4x-2x D.= y y2 27.(24-25八年级上·广西贵港期中)下列各式从左到右的变形中，正确的是（) A.a=a b b2 B6动 c8周 D.-2+a=_2+a b b 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 28.(24-25八年级上.重庆长寿阶段练习)若把分式+'中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值 2xy () A.扩为原来的大3倍B.不变 C.缩小为原来的}D.缩小为原来的 3 6 29.（23-24七年级下浙江宁波期末)如果分式+中的，y都扩大为原来的2倍，鄂么分式的值() 2x-3y A.扩大为原来的2倍 B.扩大为原来的4倍 C.不变 D.不能确定 30.(23-24八年级上云南楚雄期末)如果把分式二y申的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值() 30y A,不变 B.缩小为原来的)C.扩大2倍 D.缩小为原来的 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 31.（23-24八年级下河南新乡阶段练习)不改变分式一3x+1,的值，使分式的分子、分母中x的最高次 -x2+7x-2 项的系数都是正数，应该是() 3x+1 3x+1 A.x-7x+2 B. x2+7x+2 3x-1 3x-1 C. x2-7x+2 D. x2-7x-2 2,2425八年级下江苏徐州期中D不改变分式的值，便分式3的分子、分母中的最高次的医 数都是正数，则分式可化为() 2x-1 A. x2+3x-3 B. 2x-1 C. 2x+1 2x+1 D. x2-3x+3 x2+3x-3 x2+3x+3 33.(2024八年级上全国专题练习)不改变分式2-3+x的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， -5x3+2x-3 正确的是() 3x2+x+2 B. 3x2-x+2 A. C. 3x2+x-2 D. 3x2-x-2 5x3+2x-3 5x+2x-3 5x3-2x+3 5x3-2x+3 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 34.(2425八年级上北京昌平期中)不改变分式02'的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数。 5-0.3x 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0.2x+1 5-0.3x 35.(2324八年级下全国单元测试)不改变分式的值，把分式03a+0.02b 的分子和分母各项的系数都化 0.1c-0.03d 为整数得一 36.(2324八年级下江苏南京期中)不改变分式03m+5”的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成 m-0.4n 整数，结果为 37.(23-24八年级上·全国课后作业)不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数. 0.2x-0.5y 1 2 x+- (1) -a--b :(3) 0.7x+0.3y ；(2)2“3 21 a 5 题型十一、约分 38.(24-25八年级上广东广州期末)化简分式a-b a2-2ab+b 。的结果为， 39.(2425七年级下全国周测)约分：(1)-24r2- 8y2z 2a(a-1) (2) 8ab2(1-a) 40.(24-25七年级下.全国课后作业)约分： (1) 8abc Gabc2 (2) 2a-2 a2-1 (3)x2-4x+4 2x-4 (4) x2+6x+9 x2-9 41.(2025七年级下.全国.专题练习)化简： (1) 3ab(a-b)6 12a(b-a)3 (2) a2-b2 a2+2ab+b2 (3)2+y2+2y-4 x+y-2 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型十二、最简分式 42.(24-25八年级下.甘肃武威开学考试)下列分式中，为最简分式的是() 6 A. x2+y2 x-y D.2 x+y B. 2-y2 C.2x+2y xy 43.(23-24八年级上山东青岛单元测试)下列4个分式中：①a-3 2m2n’ 加*7，最 简分式有个. 4.(23-24八年级下江苏泰州-阶段练习)下列分式126c,5(r+少2、。2+64a2-ba-b 4a y+x3(a+b)2a-b"b-a 中，最简分式 的个数是个 45.(22-23七年级上海假期作业)下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式. 1)x2-4x+4 2-4 2)3aa-b° 4b-a3 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2425八年级上江西上饶期末)若分式1有意义，则x的取值范围为() x+1 A,x≠1 B.x≠-1 C.x≠0 D.x=-1 2.(24-25八年级上·湖北武汉，期末)下列等式中，从左向右的变形不正确的是() 4. 2be2b B.-2-x=x-2 ac a xx xy-x2 x C.(x-y-x D.2+9-x+3 x2-9x-3 3.(2425八年级上云南昆明期末)把分式2x一3”中的X,y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值() x+y A.扩大为原来的4倍 B.扩大为原来的8倍C.缩小为原来的}D.不变 1111 4（2425八年级上南水州阶段练习》下面各式中，专+2可中。4切，受分式的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2025七年级下.全国.专题练习)下列约分正确的是() 4.a-b- 2(b+c）2 B. (b-a)2 a+3(b+c)a+3 Ca+b2 D. x-y 1 a2+b2 a+b -方x+ 6.(24-25八年级上山东泰安期末)下列关于分式的判断，正确的是() A.当x=3时， 号的值为0 B.当x+-2时，+2有意义 C无论x为何值，二不可能是整数D,无论为何但， 一，的值总为正数 二、填空题 7.（2425八年级上山东德州：期未)若分式子2无意义，则a= 8.（2425八年级上河北廊坊期末)若分式3的值为零，则x= x-3 9.(23-24八年级上·湖南郴州期末)下列式子： 11,a2+1,3,mm,3x分式有—个， -,1+ +m’2’元'm 10.(24-25八年级上山东淄博阶段练习)下列各式中，最简分式有 个 ①，1；②4y+2,®；④10+4，同4少+10y 1-x 2x 3π 5+2a 2y+5 .2425八年级上满商水州阶段纸习》观察下列分式：子子碧一是华，按北规律第10个分式 是 12.(2025吉林模拟预测)若30+2为正整数，且a也为正整数，则a的值为 a-1 三、解答题 13.(23-24八年级上全国课堂例题)不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： 1 0)05x-3, 0.25x-0.2y 5 4x-3y 14.(2025七年级下.全国.专题练习)约分： (1)-25abc3 15ab'c 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)a2-4 ab+26i (3) 2x2+4xy+2y2 x+y (4)m2-4m+4 4-m2 15.(2425八年级上山东东营阶段练习)已知y=,x取哪些值时： 2-3x (1y的值是零； (2分式无意义： (3y的值是正数； 16.(23-24八年级上河北邢台阶段练习)已知：代数式，3 1+m (1)当m为何值时，该式无意义？ (2)若该式的值为正数，求m的取值范围： 亿225八年级下進专题绕D给定下列分式兰广 ’y≠0). (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式. 18.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨期末)我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式 和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 品 0 a+1 参考上面的方法，解决下列问题： 1)将a一变形为满足以上结果要求的形式： a-1 a+1 a+1 2)若4a-3 变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数Q的值； a-1 B)将4-2a+3化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 a-1 19.(2025七年级下全国.专题练习)（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧 分式”，约分后的整式称为这个分式的巧整式.例如：4r-8x_4(r2)=4x,则称分式4r-8x是巧 x-2x-2 x-2 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分式”，4x为它的“巧整式”.根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有 (填序号)： ①x-2x-3x+2,②2x+5:③-y (x-1)(x+2) x+3 x+y 21若分式2+2x的巧整式”为1-x,请判断2x+4+2x是否是巧分式”，并说明理由. A A 9/9 专题01 分式及其基本性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式的判断 1 题型二、分式有无意义的条件 3 题型三、分式值为零的条件 4 题型四、分式的规律性问题 5 题型五、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 8 题型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 10 题型七、判断分式变形是否正确 11 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 13 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 14 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 15 题型十一、约分 17 题型十二、最简分式 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式的判断 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，其中分式的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解决本题的关键． 根据分式的定义：即分母中含有字母的式子叫做分式，即可一一判定； 【详解】解：，，都是整式，不是分式， ，是分式，共个； 故选：C 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】此题考查了分式，形如（其中、都是整式，且中含有字母），这样的式子叫做分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义进行解答即可． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④，分式有①；③． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念，一般的，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，由此问题可求解，熟练掌握分式的概念是解题的关键． 【详解】解：根据分式的概念可知是分式的有，，，，共个， 故选：． 4．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）在，，，，，中，分式的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式定义是解题的关键，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式。 【详解】解：由此可得，不是分式，，，， 是分式，共4个分式， 故选B 题型二、分式有无意义的条件 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若分式在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式的分母不等于0是分式有意义的条件．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：B 6．（2024八年级上·全国·专题练习）要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 即． 故选：B． 7．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）分式无意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件：分母为0．根据分式有意义的条件，即可解答． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：， 故选：B． 8．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）若分式无意义，则的值为（       ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， 故选：C． 题型三、分式值为零的条件 9．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可． 【详解】解：∵， 解得 ∴x的值为 故答案为： 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当 时，分式的值为零． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分子的值等于且分母的值不等于解答即可求解，掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）分式，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键． 直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 解得：， 故答案为：． 题型四、分式的规律性问题 13．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题主要考查代数式的规律，分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的2倍，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第n个式子是，即可求得第7个式子． 【详解】解∶ ； ； ； ； ； 则第n个式子为 这列分式中的第7个式子是， 故答案为：；． 16．（23-24八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】分式的规律性问题 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 题型五、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 17．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值： ． 【答案】4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对） 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式的值，根据除法的符号法则可知分子与分母同号，又分子，故分母， 从而求出的取值范围，熟练掌握分子与分母同号，分式的值大于0，分子与分母异号，分式的值小于0是解决此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ， 又 ， ， ， 故当时，分式的值为正数， ∴的正整数值可为4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）， 故答案为：4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）． 18．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）分式的值为负数，求x的取值范围 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 19．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查分式的值，根据分式的值为负数，绝对值为非负数，得到且，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴； 故答案为：． 20．（24-25八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 【详解】解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 题型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 21．能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 22．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 ． 【答案】1 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，把握分母是4的因数是解题的关键；由题意，是4的因数，且为奇数，由此可求得m的值，进而求得所有整数m的和． 【详解】解：要使分式的值是整数，则是4的因数， 故， 但是奇数，则， 所以或0 ； 所以； 故答案为：1． 23．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 24．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有 ． 【答案】2，3，5 【知识点】约分、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的化简，先根据分式的性质化简分式，然后根据题意得到x的取值，进而可求解． 【详解】解： ， ∵x为整数，且分式即的值为正整数， ∴x可取的值有2，3，5， 故答案为：2，3，5． 题型七、判断分式变形是否正确 25．（24-25八年级上·天津和平·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】杠题主要考查分式的运算，分别根据分式的运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项A计算错误，不符合题意； B．，故选项B计算错误，不符合题意； C．，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 26．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 27．（24-25八年级上·广西贵港·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质即可判断． 【详解】解：A、不一定成立，故选项不符合题意； B、正确，故选项符合题意； C、不一定成立，故选项不符合题意； D、不成立，故选项不符合题意； 故选：B． 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 28．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 29．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为 ， 所以分式的值扩大为原来的2倍， 故选：A． 30．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大2倍 D．缩小为原来的 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， 则， 即分式的值缩小为原来的， 故选：B． 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 31．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 32．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 33．（2024八年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【解析】略 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 34．（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【答案】（答案不唯一） 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 35．（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 36．（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 37．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数． （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3） 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 题型十一、约分 38．（24-25八年级上·广东广州·期末）化简分式的结果为 ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．先对分子和分母因式分解，然后根据分式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·全国·周测）约分：（1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分： （1）利用分式的基本性质，进行约分即可． （2）利用分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）约分： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． （1）先将分子分母提公因式，再约分即可； （2）先将分子分母因式分解，再约分即可； （3）先将分子因式分解，再约分即可； （4）先将分子分母因式分解，再约分即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 41．（2025七年级下·全国·专题练习）化简： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分； （1）直接约分即可求解； （2）先把分子分母因式分解，再约分； （3）先把分子分母因式分解，再约分． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． （3） 故答案为：． 题型十二、最简分式 42．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）下列分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】约分、最简分式 【分析】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 43．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 【答案】 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②，不是最简分式，不合题意； ③，不是最简分式，不合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有个， 故答案为：． 44．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的定义； 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】解：，，，，均不是最简分式； 是最简分式，最简分式的个数是1， 故答案为：1． 45．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【知识点】最简分式、约分 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分母不为零列出不等式计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式中，从左向右的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据判断A；再根据可判断B；然后根据，再约分可判断C；最后根据判断D． 【详解】解：因为，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，不能化简，所以D不正确． 故选：D． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质计算即可． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 4．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）下面各式中，，分式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：是整式， 是分式， 故选B． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的约分，先对分子分母的多项式因式分解，再根据分式的基本性质进行约分，据此依次计算即可． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． 分母不是乘积形式，不能约分，故该选项不正确，不符合题意； C． ，分母不能因式分解，已经是最简分式故该选项不正确，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，不可能是整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性，熟练掌握分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性是解决本题的关键． 根据分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性解答此题． 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不符合题意； B、当时，有意义，故此选项不符合题意； C、当时，的值是整数，故此选项不符合题意； D、根据偶次方的非负性，得，即无论x为何值，的值总为正数，故此选项不符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·山东德州·期末）若分式无意义，则 ． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件——分式的分母等于0是解题的关键．根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了使分式的值为0时，求的值，要保证分子为0的同时，分母不为0，计算出结果即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 又， ∴取． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子：，，，，，分式有 个． 【答案】3 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键． 根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，，的分母中含有字母，属于分式，共有3个． 故答案为：3． 10．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 【答案】 【知识点】最简分式 【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可， 掌握最简分式的概念是解题的关键． 【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 12．（2025·吉林·模拟预测）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】或/6或2 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，将分式化简为，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可． 【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且， ∴当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 三、解答题 13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）约分： （）； （）； （）； （）． 【答案】（）；（）；（）；（） 【知识点】完全平方公式分解因式、约分、平方差公式分解因式 【分析】（）先分子分母提公因式，再约分即可； （）先分子分母因式分解，再约分即可； （）先分子因式分解，再约分即可； （）先分子分母因式分解，再约分即可； 本题考查了分式的约分，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式； （）原式； （）原式； （）原式． 15．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查的是分式的值，分式无意义的条件，解一元一次不等式组，掌握分式的值为正数、值为零、分式有意义、无意义的条件是解题的关键． （1）分式的分子为0，分母不为0时，y的值为0； （2）分式的分母为0时，分式无意义； （3）分式的分子、分母同号时，y的值是正数； 【详解】（1）解：当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0， 所以，解得， 此时，所以当时，y的值为0； （2）当分母为0时，分式无意义，则时，即时分式无意义； （3）因为y的值为正数，所以可得：①或②， 解①得，此时无解，解②得，解为， ∴当时，y的值为正数． 16．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知：代数式 (1)当m为何值时，该式无意义？ (2)若该式的值为正数，求m的取值范围； 【答案】(1)时，该式无意义 (2) 【知识点】分式无意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案； （2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义； 所以时，该式无意义． （2）由题意得，该式的值为正数时，， 即． 【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 18．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【知识点】约分、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $