6.3 相交线 题型专练 2026--2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦相交线核心概念，以“典例引领+分层训练”构建从定义识别到综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|邻补角、对顶角定义识别|典例结合选择判断，如邻补角图形辨析，夯实概念理解| |技能应用层|性质应用与基础运算|利用对顶角相等、垂直定义求角度，如含角平分线的角度计算| |综合探究层|规律归纳与跨知综合|n条直线相交邻补角组数规律探究，结合网格作图与实际应用，发展模型意识|

苏科版（2024）七年级上册 6.3 相交线 题型专练 【题型1】邻补角的定义与识别 【典例】如图，与是(    ) A.同位角 B.内错角 C.邻补角 D.对顶角 【举一反三1】如图，图中邻补角有几对(    )    A.4对 B.5对 C.6对 D.8对 【举一反三2】如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有            组不重复的邻补角．    【举一反三3】如图，直线AB与CD相交于点O，OE为射线. (1)写出∠AOC的对顶角； (2)写出∠AOE的邻补角； (3)若∠AOC＝38°，∠DOE＝108°，求∠BOE和∠COE的度数. 【题型2】利用邻补角互补求角度 【典例】下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是 (　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知直线相交于点O，平分，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作射线OE，使OB平分，若，则的度数为（    ） A.140° B.135° C.120° D.100° 【举一反三3】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠COF的邻补角有　　　　　个.  【举一反三4】如图，若，则         ． 【举一反三5】如图，直线，，相交于点O．若，，求的度数． 【题型3】对顶角的定义与识别 【典例】如图，直线a，b，c，d两两相交，图中共有对顶角（　　） A.9对 B.10对 C.11对 D.12对 【举一反三1】如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形是 (　　) A. B. C. D. 【举一反三2】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是 (　　) A. B. C. D. 【举一反三3】若条直线两两相交于不同的点时，可形成       对对顶角． 【举一反三4】如图，直线AB，CD，EF 两两相交于点M，N，O，则图中对顶角共有　　　　对.  【举一反三5】如图，直线相交于点，． (1)的对顶角是______； (2)若平分，求的度数． 【题型4】对顶角相等 【典例】如图，直线交于点O，由点O引射线，使，，则是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是　　　　°. 【举一反三3】近年来，新中式风格的装修越来越受到年轻人的喜爱，它不仅具有传统中式装修的古典、雅韵，也自然流露出现代元素的气息，如图是某款式角花的局部示意图，若∠1＝90°，则∠2＝∠1＝90°的依据是　　　　　. 【举一反三4】已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠BOD=26°. (1)求∠AOC的度数； (2)求∠COF的度数. 【举一反三5】如图，直线AB，CD相交于点O， ∠AOC=72°，∠DOE=90°，求∠BOE的度数. 【题型5】画垂线 【典例】用三角板过点A作BC所在直线的垂线，如图，三角板的位置摆放正确的是 (　　) A. B. C. D. 【举一反三1】下列选项中，过点画的垂线，三角板放法正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】作图与探究： 如图，已知点A，O，B是正方形网格的格点(网格线的交点)，点P是∠AOB的边OB上的一点. (1)过点P画OB的垂线，交OA于点E； (2)过点P画OA的垂线，垂足为H； (3)过点P画OA的平行线PC； (4)若每个小正方形的边长是1，则点P到OA的距离是　　　　　　　；  (5)线段PE，PH，OE的大小关系是　　　　　　　.(用“<”连接)  【举一反三3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画直线、射线； (2)画线段，在线段上确定一点E，使； (3)过点A画垂线段，垂足为F． 【题型6】同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【典例】如图，用直角三角板经过直线l外一点P画直线l的垂线，这样的垂线只能画出一条，这里面蕴含的数学道理是（　　） A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【举一反三1】如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q与l垂直的直线.这样的直线能折出 (　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 【举一反三2】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，作一条线段或射线的垂线就是作它们的　      垂线． 【举一反三3】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，其中依据的原理是　　　　　　　　　　　　.(城镇看作一点)  【题型7】利用垂直的定义求角度 【典例】如图，AO⊥BO，垂足为点O，直线CD经过点O．若∠2＝25°，则∠1的度数为（　　） A.135° B.125° C.115° D.105° 【举一反三1】如图，已知OC是的平分线，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】一束光线沿AO射向平静透明的水面BC，这束光线有一部分经过水面反射(平静的水面可以看成平面镜)形成光线OD，即∠AOB＝∠DOC还有一部分光线折射到水中形成光线OE.当入射角α和折射角β满足2α＝3β时，OD⊥OE，此时入射光线与水面的夹角∠AOB的度数为　　　　　. 【举一反三3】已知，线段AB垂直于线段CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF=28°，则∠EOF=　　　　.  【举一反三4】如图，直线和直线相交于点，平分画的反向延长线，过点在内部画射线，使垂直于直线 （1）请用三角尺画出图形，判断是否为的角平分线，并说明理由； （2）若，求的度数． 【举一反三5】如图，点O在直线AB上，∠BOC＝40°，射线OD在∠BOC内部． （1）如图1，当∠BOD＝∠COD时，用量角器画出射线OD，则∠AOD度数为 　   　°； （2）如图2，当∠BOD＝α时，OE⊥OD，垂足为点O，求∠AOE度数（用含α的式子表示）． 【题型8】利用垂直的性质证明 【典例】如图，∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，射线OA在∠COD内部，且OD⊥OC，由此可得∠1＝∠2，其依据为（　　） A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.对顶角相等 D.所有的直角都相等 【举一反三1】如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠1＝50°，则∠2的度数是 A.20° B.40° C.50° D.60° 【举一反三2】如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠CEA＝60°，则∠DEF的度数为 A.100°    B.120°    C.150°    D.160° 【举一反三3】如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是　　　　　　. 【举一反三4】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOD＝125°，求∠COE的度数. 【题型9】垂线段最短 【典例】如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为（　　） A.线段PC的长度 B.线段QD的长度 C.线段PA的长度 D.线段QB的长度 【举一反三2】如图，小智同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→B路线，用几何知识解释其道理是　　　　　　　　　　. 【举一反三3】在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. 【题型10】点到直线的距离 【典例】下列说法正确的是(　　) A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 C.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 D.直线a外一点M与直线a上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3 cm，则点M到直线a的距离是3 cm 【举一反三1】下面是小明对4个几何图形的描述：①图1：直线EF经过点C；②图2：点A在直线l外；③图3：射线OA在∠POB内部；④图4：直线AB，CD相交于点O.其中正确的是 A.①②③    B.①②④ C.①③④    D.②③④ 【举一反三2】点P为直线MN外一点，点A，B，C为直线MN上三点，PA=4 cm，PB=5 cm，PC=3 cm，则点P到直线MN的距离为 (　　) A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.不确定 【举一反三3】如图，AD⊥BC，ED⊥AB，表示点D到直线AB距离的是线段　  　的长度． 【举一反三4】如图，P是∠AOB的边OB上一点． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H； （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C； （3）点O到直线PC的距离是线段　   　的长度； （4）比较PH与CO的大小，并说明理由． 【举一反三5】如图所示，AB⊥BC，BD⊥AC，垂足为点D，BC＝6cm，AB＝8cm，AC＝10cm．则点A到BC的距离是 　   　，点C到AB的距离是 　   　，点B到AC的距离是 　    　． 苏科版（2024）七年级上册 6.3 相交线 题型专练（参考答案） 【题型1】邻补角的定义与识别 【典例】如图，与是(    ) A.同位角 B.内错角 C.邻补角 D.对顶角 【答案】C 【解析】由图可知，与是邻补角． 故选：C． 【举一反三1】如图，图中邻补角有几对(    )    A.4对 B.5对 C.6对 D.8对 【答案】D 【解析】与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：D． 【举一反三2】如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有            组不重复的邻补角．    【答案】 【解析】由①得， 由②可得， 由③可得， 那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有组， 故答案为：． 【举一反三3】如图，直线AB与CD相交于点O，OE为射线. (1)写出∠AOC的对顶角； (2)写出∠AOE的邻补角； (3)若∠AOC＝38°，∠DOE＝108°，求∠BOE和∠COE的度数. 【答案】解　(1)∠AOC的对顶角是∠BOD. (2)∠AOE的邻补角是∠BOE. (3)因为∠AOC＝∠BOD＝38°，∠BOE＝∠BOD＋∠DOE，∠DOE＝108°， 所以∠BOE＝38°＋108°＝146°， 因为∠DOE＋∠COE＝180°， 所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－108°＝72°. 【题型2】利用邻补角互补求角度 【典例】下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是 (　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A项，不是邻补角，本选项不符合题意； B项，是对顶角，本选项不符合题意； C项，是邻补角，本选项符合题意； D项，不是邻补角，本选项不符合题意. 【举一反三1】如图，已知直线相交于点O，平分，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵平分， ， ， ， ， 故选：C． 【举一反三2】如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作射线OE，使OB平分，若，则的度数为（    ） A.140° B.135° C.120° D.100° 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∵OB平分， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三3】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠COF的邻补角有　　　　　个.  【答案】2 【举一反三4】如图，若，则         ． 【答案】 【解析】∵，， ∴； 故答案为：． 【举一反三5】如图，直线，，相交于点O．若，，求的度数． 【答案】解　因为， 所以． 又因为， 所以． 【题型3】对顶角的定义与识别 【典例】如图，直线a，b，c，d两两相交，图中共有对顶角（　　） A.9对 B.10对 C.11对 D.12对 【答案】D 【解析】图中的对顶角有（对）， 故选D. 【举一反三1】如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形是 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【举一反三2】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【举一反三3】若条直线两两相交于不同的点时，可形成       对对顶角． 【答案】 【解析】若三条直线两两相交，最多有3个交点，对对顶角； 四条直线两两相交，最多有个交点，对对顶角； ， 条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角； 故答案为：． 【举一反三4】如图，直线AB，CD，EF 两两相交于点M，N，O，则图中对顶角共有　　　　对.  【答案】6 【举一反三5】如图，直线相交于点，． (1)的对顶角是______； (2)若平分，求的度数． 【答案】解　(1)由对顶角的定义可得的对顶角是， 故答案为：； (2)∵平分，， ∴， ∴． 【题型4】对顶角相等 【典例】如图，直线交于点O，由点O引射线，使，，则是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】                    故选： 【举一反三1】如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设，， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选： 【举一反三2】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是　　　　°. 【答案】50 【解析】因为∠AOC＝75°， 所以∠BOD＝∠AOC＝75°， 因为∠1＝25°， 所以∠2＝∠BOD－∠1＝75°－25°＝50°. 【举一反三3】近年来，新中式风格的装修越来越受到年轻人的喜爱，它不仅具有传统中式装修的古典、雅韵，也自然流露出现代元素的气息，如图是某款式角花的局部示意图，若∠1＝90°，则∠2＝∠1＝90°的依据是　　　　　. 【答案】对顶角相等 【举一反三4】已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠BOD=26°. (1)求∠AOC的度数； (2)求∠COF的度数. 【答案】解　(1)因为∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOD=26°， 所以∠AOC=∠BOD=26°. (2)因为∠COE=90°，∠AOC=26°， 所以∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+26°=116°， 因为OF平分∠AOE， 所以∠AOF=∠EOF=∠AOE=×116°=58°， 所以∠COF=∠AOF-∠AOC =58°-26° =32°. 【举一反三5】如图，直线AB，CD相交于点O， ∠AOC=72°，∠DOE=90°，求∠BOE的度数. 【答案】解　因为∠AOC，∠BOD是对顶角，∠AOC=72°， 所以∠BOD=∠AOC=72°. 因为∠DOE=90°， 所以∠BOE=90°-∠BOD=90°-72°=18°. 【题型5】画垂线 【典例】用三角板过点A作BC所在直线的垂线，如图，三角板的位置摆放正确的是 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选项A中三角板过点A，但不垂直BC，故不符合题意；选项B中三角板过点A且垂直BC，故符合题意；选项C中三角板不过点A，故不符合题意；选项D中三角板过点A但不垂直BC，故不符合题意. 【举一反三1】下列选项中，过点画的垂线，三角板放法正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵三角板有一个角是直角， ∴三角板的一条直角边与直线重合， ∵过点P作直线的垂线， ∴三角板的另一条直角边过点P， ∴符合上述条件的图形只有选项C． 故选：C． 【举一反三2】作图与探究： 如图，已知点A，O，B是正方形网格的格点(网格线的交点)，点P是∠AOB的边OB上的一点. (1)过点P画OB的垂线，交OA于点E； (2)过点P画OA的垂线，垂足为H； (3)过点P画OA的平行线PC； (4)若每个小正方形的边长是1，则点P到OA的距离是　　　　　　　；  (5)线段PE，PH，OE的大小关系是　　　　　　　.(用“<”连接)  【答案】解　(1)(2)(3)如图所示. (4)因为每个小正方形的边长是1， 所以点P到OA的距离是1. (5)PH⊥OA， 所以PH<PE， 因为PE⊥OB， 所以PE<OE， 所以PH<PE<OE. 【举一反三3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画直线、射线； (2)画线段，在线段上确定一点E，使； (3)过点A画垂线段，垂足为F． 【答案】解　(1)如图1，直线、射线即为所求. (2)如图2，线段，点E即为所求. (3)如图3，即为所求. 【题型6】同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【典例】如图，用直角三角板经过直线l外一点P画直线l的垂线，这样的垂线只能画出一条，这里面蕴含的数学道理是（　　） A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】这样的直线只能画出一条，理由是：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 【举一反三1】如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q与l垂直的直线.这样的直线能折出 (　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 【答案】B 【解析】根据垂线的基本事实，可知这样的直线只能折出1条. 【举一反三2】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，作一条线段或射线的垂线就是作它们的　      垂线． 【答案】所在直线的 【解析】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，作一条线段或射线的垂线就是作它们的所在直线的垂线． 故答案为：所在直线的． 【举一反三3】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，其中依据的原理是　　　　　　　　　　　　.(城镇看作一点)  【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【解析】因为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的. 【题型7】利用垂直的定义求角度 【典例】如图，AO⊥BO，垂足为点O，直线CD经过点O．若∠2＝25°，则∠1的度数为（　　） A.135° B.125° C.115° D.105° 【答案】C 【解析】∵AO⊥BO， ∴∠AOB＝90°， ∵∠2＝25°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠2＝65°， ∴∠1＝180°﹣∠AOD＝115°， 故选：C． 【举一反三1】如图，已知OC是的平分线，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三2】一束光线沿AO射向平静透明的水面BC，这束光线有一部分经过水面反射(平静的水面可以看成平面镜)形成光线OD，即∠AOB＝∠DOC还有一部分光线折射到水中形成光线OE.当入射角α和折射角β满足2α＝3β时，OD⊥OE，此时入射光线与水面的夹角∠AOB的度数为　　　　　. 【答案】36° 【解析】根据题意，得∠AOD＝2α，∠AOB＝∠DOC， 因为OD⊥OE， 所以∠DOC＋∠COE＝90°， 因为β＋∠COE＝90°， 所以β＝∠DOC＝∠AOB. 因为∠AOB＋∠AOD＋∠DOE＋β＋90°＝360°， 所以β＋2α＋90°＋β＋90°＝360°， 即2α＋2β＝180°， 因为2α＝3β， 所以3β＋2β＝180°， 所以β＝36°. 【举一反三3】已知，线段AB垂直于线段CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF=28°，则∠EOF=　　　　.  【答案】107°或163° 【解析】因为AB⊥CD，垂足为O， 所以∠AOC=∠COB=90°， 因为OE平分∠AOC， 所以∠AOE=∠COE=∠AOC=45°. 分两种情况： ①如图1，射线OF在∠BOC内部时， 因为∠AOE=45°，∠BOF=28°，所以∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=107°； ②如图2，射线OF在∠BOD内部时， 因为∠COE=45°，∠COB=90°，∠BOF=28°， 所以∠EOF=∠COE+∠COB+∠BOF=163°. 综上所述，∠EOF=107°或163°. 【举一反三4】如图，直线和直线相交于点，平分画的反向延长线，过点在内部画射线，使垂直于直线 （1）请用三角尺画出图形，判断是否为的角平分线，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）解　如图所示，即为所求； 是的角平分线，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线； （2）解　∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三5】如图，点O在直线AB上，∠BOC＝40°，射线OD在∠BOC内部． （1）如图1，当∠BOD＝∠COD时，用量角器画出射线OD，则∠AOD度数为 　   　°； （2）如图2，当∠BOD＝α时，OE⊥OD，垂足为点O，求∠AOE度数（用含α的式子表示）． 【答案】解　（1）如图1， ∵∠BOC＝40°，∠BOD＝∠COD， ∴∠BOD＝∠BOC＝20°， ∴∠AOD＝180°﹣20°＝160°； 故答案为：160； （2）如图2，当OE在AB上方时， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠BOD＝α， ∴∠AOE＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α 如图3，当OE在AB下方时， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠BOD＝α， ∴∠AOE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α． 综上所述：∠AOE＝90°+α或90°﹣α． 【题型8】利用垂直的性质证明 【典例】如图，∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，射线OA在∠COD内部，且OD⊥OC，由此可得∠1＝∠2，其依据为（　　） A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.对顶角相等 D.所有的直角都相等 【答案】A 【解析】∵OD⊥OC， ∴∠DOC＝90°， ∴∠2+∠AOC＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠1+∠AOC＝90°， ∴∠1＝∠2（同角的余角相等）， 故选：A． 【举一反三1】如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠1＝50°，则∠2的度数是 A.20° B.40° C.50° D.60° 【答案】C 【解析】∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB＝∠COD＝90°. ∴∠BOC＝∠AOB－∠1＝90°－50°＝40°， ∴∠2＝∠COD－∠BOC＝90°－40°＝50°. 【举一反三2】如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠CEA＝60°，则∠DEF的度数为 A.100°    B.120°    C.150°    D.160° 【答案】C 【解析】因为∠CEA＝60°， 所以∠BED＝60°， 因为EF⊥AB，所以∠FEB＝90°， 所以∠DEF＝∠BED＋∠FEB＝60°＋90°＝150°. 【举一反三3】如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是　　　　　　. 【答案】 【解析】在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5， 当PC⊥AB时，PC的值最小， 此时三角形ABC的面积＝·AB·PC＝·AC·BC， 所以5PC＝3×4， 所以PC＝. 【举一反三4】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOD＝125°，求∠COE的度数. 【答案】解　因为OE⊥AB， 所以∠BOE＝90°， 又因为∠BOC ＝∠AOD＝125°， 所以∠COE＝∠BOC－∠BOE ＝125°－90° ＝35°. 【题型9】垂线段最短 【典例】如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项． 故选：B． 【举一反三1】小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为（　　） A.线段PC的长度 B.线段QD的长度 C.线段PA的长度 D.线段QB的长度 【答案】C 【解析】根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为：线段AP的长度． 故选：C． 【举一反三2】如图，小智同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→B路线，用几何知识解释其道理是　　　　　　　　　　. 【答案】垂线段最短 【举一反三3】在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. 【答案】解　如图，过点P向河流作垂线段.理由：垂线段最短. 【题型10】点到直线的距离 【典例】下列说法正确的是(　　) A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 C.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 D.直线a外一点M与直线a上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3 cm，则点M到直线a的距离是3 cm 【答案】D 【解析】A选项，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误； B选项，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，故原说法错误； C选项，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误； D选项，直线a外一点M与直线a上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3 cm，则点M到直线a的距离是3 cm，故原说法正确. 【举一反三1】下面是小明对4个几何图形的描述：①图1：直线EF经过点C；②图2：点A在直线l外；③图3：射线OA在∠POB内部；④图4：直线AB，CD相交于点O.其中正确的是 A.①②③    B.①②④ C.①③④    D.②③④ 【答案】B 【解析】①直线EF经过点C，正确，符合题意； ②点A在直线l外，正确，符合题意； ③射线OA在∠POB外部，错误，不符合题意； ④直线AB，CD相交于点O，正确，符合题意. 【举一反三2】点P为直线MN外一点，点A，B，C为直线MN上三点，PA=4 cm，PB=5 cm，PC=3 cm，则点P到直线MN的距离为 (　　) A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.不确定 【答案】D 【解析】当PC⊥MN时，PC是点P到直线MN的距离，即点P到直线MN的距离为3 cm， 当PC不垂直直线MN时，点P到直线MN的距离小于PC的长，即点P到直线MN的距离小于3 cm， 综上所述，点P到直线MN的距离不大于3 cm. 【举一反三3】如图，AD⊥BC，ED⊥AB，表示点D到直线AB距离的是线段　  　的长度． 【答案】DE 【解析】∵ED⊥AB于点E， ∴表示点D到直线AB距离的是线段DE的长度． 故答案为：DE． 【举一反三4】如图，P是∠AOB的边OB上一点． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H； （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C； （3）点O到直线PC的距离是线段　   　的长度； （4）比较PH与CO的大小，并说明理由． 【答案】解　（1）作图， （2）作图， （3）OP， 故答案为：OP； （4）PH＜CO， ∵垂线段最短， ∴PH＜PO，PO＜OC， ∴PH＜CO． 【举一反三5】如图所示，AB⊥BC，BD⊥AC，垂足为点D，BC＝6cm，AB＝8cm，AC＝10cm．则点A到BC的距离是 　   　，点C到AB的距离是 　   　，点B到AC的距离是 　    　． 【答案】8cm，6cm，4.8cm 【解析】∵AB⊥BC，BD⊥AC，垂足为点D，BC＝6cm，AB＝8cm，AC＝10cm， ∴点A到BC的距离是AB＝8cm， 点C到AB的距离是BC＝6cm， ∴，即， ∴BD＝4.8cm， 点B到AC的距离是4.8cm， 故答案为：8cm，6cm，4.8cm． 学科网（北京）股份有限公司 $