2.5.2圆与圆的的位置关系（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 前情回顾 思考：我们如何判断直线与圆的位置关系？ 代数法：联立直线和圆的方程 几何法：求圆心到直线的距离 有两解 有一解 无解 相交 相切 相离 比较 学 习 目 标 1 2 3 数形结合理解圆与圆的位置关系及其判断方法. 掌握用代数法和几何法判断两圆的位置关系. 能灵活联立方程求公共弦方程和公共弦长等问题. 我们一起来探究“圆与圆的位置关系”吧！ 读教材 阅读课本P96-P97，5分钟后完成下列问题： 1.圆与圆的位置关系有哪些？用什么方法具体判断呢？ 2.能否类比直线与圆，联立方程判断圆与圆的位置关系呢？ 新课引入 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 类比直线与圆的位置关系的研究方法， 运用圆的方程， 通过定量计算研究圆与圆的位置关系？ 学习过程 01 03 02 目录 1 圆与圆的位置关系 2 相交－－公共弦问题 3 题型训练 问题：回忆初中所学的知识，圆与圆的位置关系有哪些？ 新知探究1 　　 外离 无公共点 外切 1个公共点 相交 2个公共点 内切 1个公共点 内含 无公共点 如何判断圆与圆的位置关系呢？ 新知探究1 探究1 已知两个圆的圆心和半径，如何判断圆与圆的位置关系？ 相交： 内 几何方法能直观的展现圆与圆的位置关系，且计算量不大，作为首选方法 新知探究1 探究1 类比直线与圆，联立两圆方程如何判断圆与圆的位置关系？ 圆与圆相交 圆与圆相切(内切、外切) 圆与圆相离(内含、外离) 两组解 一组解 无解 代数方法能求出交点坐标，但Δ=0，Δ<0 时，不能准确判断圆与圆的位置关系. 运算难 概念 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系： 2.几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系，步骤： (1)求出两圆的 圆心坐标及半径, ； (2)求两圆的圆心距； (3)比较与, 的大小关系，得出结论 两圆位置关系 相交 外离 内含 外切 内切 图形 圆心距与两圆半径的关系 两圆交点个数 2 0 0 1 1 练习巩固 练习1 已知圆:，圆:， 判断圆与圆的位置关系？ 解：圆心 所以； ∴圆与圆外切. 练习巩固 练习2 和的位置关系是( ) A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 B 解：圆心 ， 所以∴圆与圆. 练习巩固 练习3 已知圆，圆只有1个 公共点，则实数的值为___________？ 解：圆心半径，半径 若两圆只有1个公共点，则两圆外切或内切. 若两圆外切，则得； 若两圆内切，则，得. 或 练习巩固 练习4 两圆与的公切线有____条？ 解：圆心半径，半径 ∴圆与圆外切，共有3条公切线. 3 圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 0条 学习过程 01 03 02 目录 1 圆与圆的位置关系 2 相交－－公共弦问题 3 题型训练 新知探究2 思考 当两个圆的一般式方程相减时，会得到什么结果？ 当不全为0时， 此时式表示直线； 当全为0时， 此时式表示两圆圆心重合， 我们将这样的圆称为同心圆； r R 这条直线和两个圆之间有什么关系呢？ 新知探究2 思考 当两个圆的一般式方程相减时，会得到什么结果？ 该直线总与两圆圆心连线垂直； 当两圆相交时，该直线为两圆的公共弦；当两圆相切时，该直线为两圆的公切线. 新知探究2 探究2 当圆与圆相交时，如何求公共弦所在的直线方程的方程？ 设两圆的交点为 点也在两个圆上， 则直线AB的方程为 两圆的一般方程相减 新知探究2 探究2 当圆与圆相交时，如何求公共弦的弦长？ 设两圆的交点为 直线AB的方程为 求出点 方程组的解 ⇳ 两圆的交点坐标 新知探究2 探究2 当圆与圆相交时，如何求公共弦的弦长？ －直线AB的方程为 概念 相交－－公共弦问题 相交－－公共弦问题： 设两圆的交点为 直线AB的方程为 求出点 公共弦方程： 练习巩固 练习1 已知圆:，圆:， 证明圆与圆相交，并求圆与圆的公共弦所在直线的方程？ 解：圆心 ， 所以∴圆与圆. 将圆与圆的方程相交减得 练习巩固 练习2 已知圆和圆. 求两圆公共弦所在直线的方程及弦长？ 解：设两圆交点，联立圆与圆的方程， 得 ，由①－②，得. ∴即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆心， ，∴到直线的距离 ＝ ， ∴2 ＝2 ＝5 ，即两圆的公共弦长为5 . 学习过程 01 03 02 目录 1 圆与圆的位置关系 2 相交－－公共弦问题 3 题型训练 圆与圆的位置关系的应用 题型1 题型探究 例1 已知圆 ，，和，圆则当为何值时，圆与圆 (1)相切？ (2)相交？ (3)外离？ (4)内含？ 解：由题意得圆 圆心半径 ， 圆圆心半径 圆与圆的位置关系的应用 题型1 题型探究 例1 已知圆 ，，和，圆则当为何值时，圆与圆 (1)相切？ (2)相交？ (3)外离？ (4)内含？ 解：(续) (1)当即 时，两圆外切. 当即 时，两圆内切. (2)当即 时，两圆相交. (3)当即 时，两圆外离. (4)当即 时，两圆内含. 圆与圆的位置关系的应用 题型1 题型探究 例2 (1)若圆 与圆 内切， 则 __________？ 解：圆心两圆内切， ∴解得 . <m></m> (2)若圆与圆 相切， 则__________？（用 表示） 解：圆心 当两圆外切时，即；当两圆内切时，即 综上所述或 或 圆与圆的公共弦问题 题型2 题型探究 例3 已知两圆和圆 (1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度？ 解：(1)将两圆的方程写成标准方程为 .所以两圆的圆心和半径分别为： ∴两圆相交. 圆与圆的公共弦问题 题型2 题型探究 例3 已知两圆和圆 (1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度？ 解：(2)因为两圆相交，将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为 (3)F1：由(2)知圆的圆心到直线的距离 ， ∴公共弦长为. F2：设两圆相交于与点，则，两点满足方程组 解得∴.即公共弦长为. 圆与圆的公共弦问题 题型2 题型探究 例4 圆 与圆 相交于 两点. (1)求圆与圆 的公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的长？ 解：(1)联立两个圆的方程 两式相减并化简得公共弦所在直线的方程 (2)易知圆心的坐标为半径 ， 所以到直线的距离故 . 课堂小结 圆与圆的位置关系： 2.几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系，步骤： (1)求出两圆的 圆心坐标及半径, ； (2)求两圆的圆心距； (3)比较与, 的大小关系，得出结论 两圆位置关系 相交 外离 内含 外切 内切 图形 圆心距与两圆半径的关系 两圆交点个数 2 0 0 1 1 课堂小结 相交－－公共弦问题： 设两圆的交点为 直线AB的方程为 求出点 公共弦方程： 感谢聆听! = = = = $